3第三章 4稳定性及其判据

稳定是控制系统的重要性能指标，也是系统能够工作的充要条件。实际控制系统在运行时，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动。系统参数的变化，环境条件的改变等。如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下，偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因此如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一。1、大范围稳定：如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态，则这种系统称为大范围稳定的系统。2、小范围稳定：如果系统受到有界干扰后，只有当扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态，否则就不能恢复到初始平衡状态，则这样的系统称为小范围稳定的系统。3、线性系统的稳定性设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定。对于稳定的线性系统，它必然在大范围内和小范围内都能稳定。注意：线形系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。闭环特征方程式的根须都位于S的左半平面系统稳定充要条件nnnnmmmmasasasbsbsbsb)s(1111110)ss()ss()zs(Knknkkrkiqijmj2211112设闭环系统的传递函数为m传递函数零点总数n传递函数极点总数q实极点数r共轭复数极点对数)ss()ss()zs(K)s(Cnknkkrkiqijmj2211112rknknkkKkiiqissCsBssA12212qinkrkktnkkktisitcoseBeA)t(c1121tsineCnkrkktnkkk1210)t(climt故要使成立，即系统要稳定则：闭环特征方程式的根须都位于S的左半平面闭环特征方程式的根须都位于S的左半平面系统稳定充要条件一个在零输入下稳定的系统，会不会因某个参考输入信号的加入而使其稳定性受到破坏？？ssR1)(单位阶跃函数分析)2()()()()(22111nknkkrkjqjimiSSPSSSSKssGrkknktkqjtpjteBeAAtCnkj12101sin)(rkknktkteCnk121cos瞬态分量瞬态分量系统的结构和参数确定参考输入一个在零输入下的稳定系统，在参考输入信号作用下仍将继续保持稳定。衰减稳态分量衰减振荡1、劳斯判据令系统的闭环特征方程为闭环特征方程式的根须都位于S的左半平面系统稳定充要条件0122110nnnnnaSaSaSaSa将各项系数，按下面的格式排成劳斯表102113212321343212753116420fSeeSdddScccSabbbSaaaaSaaaaSnnnn0122110nnnnnaSaSaSaSa121211141713131512121311170613150412130211,,,,eeddefbbaabcbbaabcbbaabcaaaaabaaaaabaaaaab表中这样可求得n+1行系数如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。劳斯判据（充要条件）：1354s3s2400s52s(2×3)-(1×4)2=151s(1×4)-(2×5)1=-6解：故该系统不稳定。05432234ssss例1：设系统特征方程为：稳定判据判别该系统的稳定性，若不稳，确定正实部，试用劳斯根的数目。054322345sssss例2：设系统特征方程为：试用劳斯稳定判据判别该系统的稳定性。为了简化计算，可用一正整数去乘或除劳斯表中某一行的各项，不改变稳定性的结论。解：列劳斯表该表第一列系数符号不全为正，因而系统是不稳定的；且符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面。4115s5324s023213s0313s0592s321s50s劳斯判据特殊情况劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没有其余项。如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定是以一个很小的正数ε来代替为零的这项据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列解决的办法由于表中第一列中的各项数值的符号改变了两次，则系统是不稳定，且有两个正实部根。解：列劳斯表已知系统的特征方程式为试判别相应系统的稳定性。0122234ssss例31114s0223s1)0(2s0221s10s例4、已知系统的特征方程式为02223SSS试判别相应系统的稳定性。2)(022110123SSSS由于表中第一列ε上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为（临界）不稳定。解：列劳斯表劳斯表中出现全零行用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助方程，并以这个辅助方程导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。解决的办法劳斯表中某行各项为零，说明特征方程有关于原点对称的根（即大小相等符号相反的实根或共轭虚根），系统为不稳定。相应的根可通过求解辅助方程得到。例5判断稳定性，一个控制系统的特征方程为0161620128223456SSSSSS列劳斯表16038166248000161220161221620810123456SSSSSSS2,2jj系统不稳定16122)(24sssFssdssdF248)(30)4)(2(2)86(216122)(222424sssssssF3、赫尔维茨判据0...)(110nnnasasasD设线性系统的特征方程：naaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa000000000531642075318642097531行列式这是一个n×n的行列式，特征方程中不存在的系数，以零来代替。系统稳定的充分必要条件是在a00的情况下，上述行列式的各阶主子式均大于零。nnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa0000000005316420753186420975310111aa020312aaaa00314205313aaaaaaaa0n例6系统的特征方程为试判别系统是否稳定。010532234ssss0111a075231325121032005100103200514解：系统是不稳定的。2、分析系统参数变化对稳定性的影响1、判别系统的稳定性3、检验稳定裕量不用解方程，用胡尔维茨、劳斯阵列表可判断线性系统的稳定性，这是胡尔维茨和劳斯判据的优点。但是，它不能给出系统的品质指标，这是代数判据的不足。例7、已知某调速系统的特征方程式为0)1(16705175.4123KSSS求该系统稳定的K值范围。解：列劳斯表)1(167005.41)1(16705175.410)1(16705.41051710123KSKSKSS由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。可得：0)1(16700)1(2.40517KK9.111K实际系统希望S左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线s=-a右侧设s=s1-a=z-a代入原方程式中，得到以s11sa0稳定判据能回答特征方程式的根在S平面上的分布情况，而不能确定根的具体数据。解决的办法例8、用劳斯判据检验下列特征方程041310223SSS是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在垂线s=－1的右方。解：列劳斯表42.121081304101320123SSSS第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。令s=z-1代入特征方程：04)1(3)1(10)1(223ZZZ014223ZZZ列劳斯表12114120123SSSS第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线s=-1的右边。041310223SSS0205015020)10)(5(23SSSSSS排劳斯表20152075020155010123SSSS第一列均为正值，S全部位于左半平面，故系统稳定Gc(s)=1时，闭环系统的特征方程为解：例9、已知一单位反馈控制系统如图所示，试回答Gc(s)=1时，闭环系统是否稳定？时，闭环系统的稳定条件是什么？ssKsGpc)1()(Gc(s)R(s)C(s)))((10520sssssKsGpc)()(1开环传递函数)10)(5()1(20)()(2SSSSKsGsGpc闭环特征方程为0)1(20)10)(5(2SKSSSp020205015234ppKSKSSS列劳斯表pppppppKsKKKKsKKsKsKps20152075020152015207502015207500201520501091234/)(利用劳斯稳定判据可确定系统一个或两个可调参数对系统稳定性的影响。欲使系统稳定第一列的系数必须全为正值0pK5.37020750ppKK020525015152075001520750)151520750(20pppppKKKKK5.26pK5260.pK