第二部分 命题区间七 概率与统计

第二部分命题热点大揭秘命题区间七概率与统计命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五返回概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，也是高中数学中占有课时最多的一个知识板块，已成为近几年新课标高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．本部分内容高频考点是：随机抽样、用样本估计总体、变量间的相关关系及统计案例、概率初步．——丁一嘉返回[例1](2012·广州调研)某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户．为了调查社会购买力的某项指标，采用分层抽样的方法从中抽取1个容量为若干户的样本，若高收入家庭抽取了25户，则低收入家庭被抽取的户数为________．返回[解析]设低收入家庭被抽取的户数为x，由每个家庭被抽取的概率相等得25125＝x95，解得x＝19.[答案]19返回1．今年“3·5”，某报社做了一次关于“什么是新时代的雷锋精神？”的调查，从A，B，C，D四个单位回收的问卷数依次成等差数列，共回收1000份，因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本，若在B单位抽30份，则在D单位抽取的问卷是________份．返回解析：根据分层抽样的等比例性，所抽取的样本也成等差数列，设为a1，a2，a3，a4，则a2＝30，根据等差数列的性质，a1＋a3＝2a2＝60，又a1＋a2＋a3＋a4＝150，故a4＝60.答案：60返回2．某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10个人的样本，恰好抽到了4个男生、6个女生．给出下列命题：①该抽样可能是简单的随机抽样；②该抽样一定不是系统抽样；③该抽样女生被抽到的概率大于男生被抽到的概率．其中真命题的个数为()A．0B．1C．2D．3返回解析：只有命题①正确．看似分层抽样，实际上哪种方法都可能出现这个结果．答案：B返回[例2](2012·豫南九校)下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图甲中从左向右第一组的频数为4000.在样本中记月收入在[1000,1500)，[1500,2000)，[2000,2500)，[2500，3000)，[3000,3500)，[3500,4000)的人数依次为A1、A2、…、A6.图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，图乙输出的S＝________.(用数字作答)返回返回[解析]样本总量为40000.0008·500＝10000，由图知S＝A2＋A3＋A4＋A5＋A6而A2、A3、A4、A5、A6中频率分别为0．2,0.15,0.125,0.075,0.05.∴S＝10000(0.2＋0.15＋0.125＋0.075＋0.05)＝6000.[答案]6000返回3．如图所示，是某环卫工人在革命公园9天内捡到的矿泉水瓶的数据所绘制出来的茎叶图，去掉一个最高个数和一个最低个数，则他在每天可捡到的矿泉水瓶方差为()返回798444679136A.476B．9C.387D.807返回解析：去掉一个最高个数和一个最低个数，剩下的数据的平均数为17(84＋84＋84＋86＋87＋91＋93)＝87，所以方差s2＝17[(84－87)2＋(84－87)2＋(84－87)2＋(86－87)2＋(87－87)2＋(91－87)2＋(93－87)2]＝807.答案：D返回4．某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30.第6小组的频数是7.返回返回(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；(2)若由直方图来估计这组数据的中位数，指出它在第几组内，并说明理由；(3)现欲从这个班的同学中抽取10人来调查他们的体育锻炼时间与他们的铅球测试成绩之间是否有关系，则第5小组应抽取几人？返回解：(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，∴此次测试总人数为70.14＝50(人)．∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)．返回(2)直方图中中位数两侧的面积相等，即频率相等．前三组的频率和为0.28，前四组的频率和为0.56，∴中位数位于第4组内．(3)设第5小组应抽取x人，则x15＝1050，解得x＝3.即第5小组应抽取3人．返回[例3](2012·南通模拟)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：返回日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差x(℃)101113128发芽数y(颗)2325302616该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．返回(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程＝bx＋a；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？返回[解](1)设抽到不相邻两组数据为事件A，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种，所以P(A)＝1－410＝35.(2)由数据，求得x＝12，y＝27.由公式，求得b＝52，a＝y－bx＝－3.返回所以y关于x的线性回归方程为y^＝52x－3.(3)当x＝10时，y^＝52×10－3＝22，|22－23|2；同样，当x＝8时，y^＝52×8－3＝17，|17－16|2.所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．返回5．已知变量x与y之间的回归直线方程为y^＝－3＋2x，若i＝110xi＝17，则i＝110yi的值等于()A．3B．4C．0.4D．40返回解析：依题意x＝1710＝1.7，而直线y^＝－3＋2x一定经过(x，y)，所以y＝－3＋2x＝－3＋2×1.7＝0.4，于是i＝110yi＝10y＝10×0.4＝4.答案：B返回6．(2011·广东高考全真模拟卷)有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.优秀非优秀总计甲班10乙班30合计105返回已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为.(1)请完成上面的列联表：(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；返回解：(1)表格如下：优秀非优秀总计甲班104555乙班203050合计3075105(2)根据列联表中的数据，得到k＝105×10×30－20×45255×50×30×75≈6.1093.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．返回[例4]设连续掷两次普通立方体骰子得到的点数分别为m、n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．(1)求使得事件“a⊥b”发生的概率；(2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率；(3)求使得事件“直线y＝mnx与圆(x－3)2＋y2＝1相交”发生的概率．返回[解](1)由题意，知m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)所有可能的取法共36种，使得a⊥b，即m＝3n的取法共有2种，为(3,1)，(6,2)，所以使得事件“a⊥b”发生的概率P＝236＝118.返回(2)|a|≤|b|，即m2＋n2≤10.共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)这6种情况，故使得事件“|a|≤|b|”发生的概率P＝636＝16.返回(3)由直线与圆的位置关系，得d＝|3m|m2＋n21，即mn24，共有13，14，15，16，26这5种情况，所以直线y＝mnx与圆(x－3)2＋y2＝1相交的概率P＝536.返回7．正方形ABCD内接于圆O，若在圆O内部随机取一个点Q，则点Q取自正方形ABCD内部的概率等于________．返回解析：设正方形的边长为1，则圆的半径为22，∴正方形的面积为1，圆的面积为12π.∴点Q取自正方形ABCD内部的概率等于112π＝2π.答案：2π返回8．从x2m－y2n＝1(其中m，n∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为()A.12B.47C.23D.34返回解析：方程x2m－y2n＝1(其中m，n∈{－1,2,3})表示圆锥曲线时，对应的(m，n)共有以下7种可能情况：(－1，－1)，(2，－1)，(2,2)，(2,3)，(3，－1)，(3,2)，(3,3)．其中(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)对应的方程表示焦点在x轴上的双曲线的方程，因此所求概率为47.答案：B返回9．某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是12，构造数列{an}，使得an＝1当第n次出现正面时，－1当第n次出现反面时，记Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an(n∈N*)．(1)若抛掷4次，求S4＝2的概率；(2)已知抛掷6次的基本事件总数是N＝64，求前两次均出现正面且2≤S6≤4的概率.返回解：(1)S4＝2，需4次中有3次正面1次反面．设其概率为P1，再设正面向上为a，反面向上为b.则基本事件空间为Ω＝{aaaa，aaab，aaba，abaa，baaa，bbbb，bbba，bbab，babb，abbb，aabb，bbaa，baab，abba，abab，baba}，所以P1＝416＝14.返回(2)6次中前两次均出现正面，且要使2≤S6≤4，则后4次中有2次正面，2次反面或3次正面1次反面，设其概率为P2，N＝64，由(1)，知前两次均出现正面且2≤S6≤4的情况有10种，所以P2＝1064＝532.返回[例5](2012·洛阳模拟)某学校共有高一、高二、高三学生2000名，各年级男、女人数如下图：返回已知在全校学生中随机抽取1名，抽取高二年级女生的概率是0.19.(1)求x的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取60名学生，问应在高三年级抽取多少名？(3)已知y≥245，z≥245，求高三年级中女生比男生多的概率．返回[解](1)由已知得x2000＝0.19.∴x＝380.(2)由(1)知高二学生750人，又高一学生750人，所以高三男女生共500人，按分层抽样，高三年级应抽取602000×500＝15人．返回(3)因为y＋z＝500，y≥245，z≥245，所以基本事件有：(245,255)，(246,254)，(247,253)，(248,252)，(249,251)，(250,250)，(251,249)，(252,248)，(253,247)，(254,246)，(255,245)，共11个基本事件．其中女生比男生多，即yz的基本事件有：(251,249)，(252,248)，(253,247)，(254,246)，(255,245)共5个基本事件，故女生比男生多的概率为511.返回10．为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据(单位：人)见下表：返回高校相关人数抽取人数A18xB362C54y现若从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，则这2人都来自高校C的概率为________．返回解析：由题意可得，x18＝236＝y54，所以x＝1，y＝3.经列举可知从高校B、C抽取的5人中选2人共有10种选法，而所选的2人均来自高校C共有3种选法，故所求概率为310.答案：310返回11．某公司有一批专业技术人员，对他们进