第21讲随机向量函数的分布

在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形.当随机变量X1,X2,…,Xn的联合分布已知时，如何求出它们的函数Yi=gi(X1,X2,…,Xn),i=1,2,…,m的联合分布?一、离散型分布的情形例1若X、Y独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,求Z=X+Y的概率函数.解:)()(rYXPrZPriirYPiXP0)()(=a0br+a1br-1+…+arb0riirYiXP0),(由独立性此即离散卷积公式r=0,1,2,…解：依题意riirYiXPrZP0),()(例2若X和Y相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布,证明Z=X+Y服从参数为21,21的泊松分布.由卷积公式i=0,1,2,…j=0,1,2,…!)(ieiXPi11!)(jejYPj22riirYiXPrZP0),()(由卷积公式ri0i-r2-i1-i)!-(rei!e21rire0i-r2i1)(i)!-(ri!r!!21,)(!21)(21rre即Z服从参数为的泊松分布.21r=0,1，…例3设X和Y相互独立，X~B(n1,p),Y~B(n2,p),求Z=X+Y的分布.回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释:我们给出不需要计算的另一种证法:同样，Y是在n2次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率为p.若X~B(n1,p),则X是在n1次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率都为p.故Z=X+Y是在n1+n2次独立重复试验中事件A出现的次数，每次试验中A出现的概率为p，于是Z是以（n1+n2，p）为参数的二项随机变量，即Z~B(n1+n2,p).例4设X和Y的联合密度为f(x,y),求Z=X+Y的密度.解:Z=X+Y的分布函数是:FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)Ddxdyyxf),(这里积分区域D={(x,y):x+y≤z}是直线x+y=z左下方的半平面.一、连续型分布的情形化成累次积分,得zyxZdxdyyxfzF),()(yzZdydxyxfzF]),([)(固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令x=u-y,得zZdyduyyufzF]),([)(zdudyyyuf]),([变量代换交换积分次序由概率密度与分布函数的关系,即得Z=X+Y的概率密度为:由X和Y的对称性,fZ(z)又可写成dyyyzfzFzfZZ),()()('以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.dxxzxfzFzfZZ),()()('zZdudyyyufzF]),([)(特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为:dyyfyzfzfYXZ)()()(这两个公式称为卷积公式.dxxzfxfzfYXZ)()()(下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域例5若X和Y独立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.其它,010,1)(xxfdxxzfxfzfYXZ)()()(解:由卷积公式1010xzx也即zxzx110为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域其它,021,210,)(110zzZzzdxzzdxzf如图示:1010xzx也即zxzx110于是dxxzfxfzfYXZ)()()(教材上例5请自已看.注意此例的结论：用类似的方法可以证明:),(~222121NYXZ若X和Y独立,),,(~),,(~222211NYNX结论又如何呢?此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论.若X和Y独立,具有相同的分布N(0,1),则Z=X+Y服从正态分布N(0,2).有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.更一般地,可以证明:从前面例4可以看出，在求随机向量(X,Y)的函数Z=g(X,Y)的分布时，关键是设法将其转化为(X,Y)在一定范围内取值的形式，从而利用已知的分布求出Z=g(X,Y)的分布.若每一个问题都这样求，是很麻烦的.下面我们介绍一个用来求随机向量(X,Y)的函数的分布的定理.对二维情形,表述如下：2.假定变换和它的逆都是连续的;3.假定偏导数iiyh1.设y1=g1(x1,x2),y2=g2(x1,x2)是到自身的一对一的映射,即存在定义在该变换的值域上的逆变换:x1=h1(y1,y2),x2=h2(y1,y2)2（i=1,2,j=1,2）存在且连续;定理设(X1,X2)是具有密度函数f(x1,x2)的连续型二维随机变量,4．假定逆变换的雅可比行列式则Y1,Y2具有联合密度w(y1,y2)=|J|f(h1(y1,y2),h2(y1,y2))（*）0),(2212211121yhyhyhyhyyJ即J(y1,y2)对于在变换的值域中的(y1,y2)是不为0的.例6设(X1,X2)具有密度函数f(x1,x2).令Y1=X1+X2，Y2=X1-X2试用f表示Y1和Y2的联合密度函数.故由(*)式,所求密度函数为解:令y1=x1+x2,y2=x1-x2，则逆变换为,2211yyx,2212yyx02/12/12/12/12/1),(21yyJ)2,2(21),(212121yyyyfyyw有时，我们所求的只是一个函数Y1=g1(X1,X2)的分布.一个办法是：对任意y,找出{Y1≤y}在(x1,x2)平面上对应的区域{g1(X1,X2)≤y}，记为D.求出Y1的分布.Ddxdxxxf2121),(P{Y1≤y}=然后由教材上的例6就是一例，请自己看.另一个办法是配上另一个函数g2(X1,X2)，使(X1,X2)到(Y1,Y2)成一一对应变换,2211),()(1dyyywyfY下面我们用一例来说明.找出(Y1,Y2)的联合密度函数w(y1,y2),最后,Y1的密度函数由对w(y1,y2)求边缘密度得到：w(y1,y2)=|J|f(h1(y1,y2),h2(y1,y2))(*)然后利用定理,按例7设(X1,X2)具有密度函数f(x1,x2),求Y=X1X2的概率密度.按(*)式得Y和Z的联合密度为解:令Y=X1X2,Z=X1，它们构成(x1,x2)到(y,z)的一对一的变换,逆变换为:x1=z,x2=y/z雅可比行列式为:0/1//110),(2zzyzzyJ||1),(zzyzf所配函数dzzzyzfyfY||1),()(按(*)式得Y和Z的联合密度为||1),(zzyzf再求Y的边缘密度得此即求两个r.v乘积的密度函数公式将定理推广到n维随机变量，我们可求得n维随机变量函数的分布，见教材124页.休息片刻再继续三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),我们来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.又由于X和Y相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:即有FM(z)=FX(z)FY(z)FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z)P(Y≤z)=P(X≤z,Y≤z)由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z，故有分析：P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是下面进行推广即有FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]=1-P(Xz,Yz)FN(z)=P(N≤z)=1-P(Nz)=1-P(Xz)P(Yz)设X1,…,Xn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为我们来求M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函数.)(xFiX(i=0,1，…,n)用与二维时完全类似的方法，可得特别，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有N=min(X1,…,Xn)的分布函数是M=max(X1,…,Xn)的分布函数为:FM(z)=[F(z)]nFN(z)=1-[1-F(z)]n)](1[1)(1zFzFXN…)](1[zFnX)()(1zFzFXM)(zFnX…若X1,…,Xn是连续型随机变量，在求得M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函数后，不难求得M和N的密度函数.留作课下练习.当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有FM(z)=[F(z)]nFN(z)=1-[1-F(z)]n需要指出的是，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时,常称M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn)为极值.由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值.下面我们再举一例，说明当X1,X2为离散型r.v时，如何求Y=max(X1,X2)的分布.解一:P(Y=n)=P(max(X1,X2)=n)=P(X1=n,X2≤n)+P(X2=n,X1n)nkknpqpq1111111nkknpqpqqqqpnn1112qqqpnn11112)2(11nnnqqpq记1-p=q例8设随机变量X1,X2相互独立,并且有相同的几何分布:P(Xi=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,…(i=1,2)求Y=max(X1,X2)的分布.n=0,1,2,…解二:P(Y=n)=P(Y≤n)-P(Y≤n-1)211][nkkpq=P(max(X1,X2)≤n)-P(max(X1,X2)≤n-1)=P(X1≤n,X2≤n)-P(X1≤n-1,X2≤n-1)2111][nkkpq22]11[qqpn2)1(nq212]11[qqpn21)1(nq)2(11nnnqqpqn=0,1,2,…那么要问，若我们需要求Y=min(X1,X2)的分布，应如何分析？留作课下思考这一讲，我们介绍了如何求r.v函数的分布.但有时我们无法精确求出此分布.当这个积分无法精确求出时，一个可取的方法是采用计算机模拟.例如，想求两个独立连续型r.v之和X+Y的分布函数.X的分布函数为F，Y的分布函数为G，在理论上，可以求得：dxxfxXtYXPtYXP)()|()(dxxfxtG)()(其中f(x)是X的密度函数.请看演示如果想了解如何用计算机模拟求随机变量函数的分布.随机变量函数的分布这一讲，我们介绍了求随机向量函数的分布的原理和方法，需重点掌握的是：请通过练习熟练掌握.1、已知两个随机变量的联合概率分布，会求其函数的概率分布；2、会根据多个独立随机变量的概率分布求其函数的概率分布．