4.微分方程模型(战争模型)

微分方程模型实例3——战争模型近年来爆发战争的国家很多，比如上世纪末的车臣战争（俄罗斯）、海湾战争（伊拉克）、科索沃战争（前南联盟），21世纪的这头10年里爆发的伊拉克战争、阿富汗战争、苏丹内战、索马里内战、柬泰边界冲突、利比亚战争等等。近期有战争的国家主要有六个，分别是：利比亚（过渡委武装与前政府军及支持卡扎菲的残余势力之间）、叙利亚（内部矛盾引发当局与反对派冲突，不过近期有缓和趋势）、也门（当局与反对派冲突）、阿富汗（阿塔与当局及驻阿美军）、伊拉克（部族武装之间的冲突，以及反美武装与驻伊美军之间）以及索马里（索马里政府军与反政府军之间）。5.3.4战争模型微分方程模型实例3——战争模型早在第一次世界大战期间，F.W.Lanchester就提出了几个预测战争结局的数学模型，其中包括作战双方均为正规部队；作战双方均为游击队；作战的一方为正规部队，另一方为游击队。正规战争模型游击战争模型混合战争模型后来人们对这些模型作了改进和进一步的解释，用以分析历史上一些著名的战争，如二次世界大战中的美日硫黄岛之战和1975年的越南战争。5.3.4战争模型微分方程模型实例3——战争模型影响战争胜负的因素有很多，兵力的多少和战斗力的强弱是两个主要的因素。士兵的数量会随着战争的进行而减少，这种减少可能是因为阵亡、负伤与被俘，也可能是因为疾病与开小差，分别称之为战斗减员与非战斗减员。士兵的数量也可随着增援部队的到来而增加。从某种意义上讲，当战争结束时，如果一方的士兵人数为零，那么另一方就取得了胜利。问题：如何定量地描述战争中相关因素之间的关系呢？如何描述增加士兵数量与提高士兵素质之间的关系。5.3.4战争模型微分方程模型实例3——战争模型模型假设一.正规战争模型-双方均以正规部队作战(i)双方士兵公开活动。x方士兵的战斗减员仅与y方士兵人数有关。记双方士兵人数分别为x(t),y(t)，则x方士兵战斗减员率为ay(t)，a表示y方每个士兵的杀伤率.可知yypra，yr为y方士兵的射击率（每个士兵单位时间的射击次数），yp每次射击的命中率。同理，用b表示x方士兵对y方士兵的杀伤率，即xxprb。(ii)双方的非战斗减员率仅与本方兵力成正比，减员率系数分别为,。(iii)设双方的兵力增援率为)(),(tvtu。微分方程模型实例3——战争模型)()(tvybxytuxayx正规战争模型•甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力•乙方方战斗减员率只取决于甲方的兵力和战斗力•忽略非战斗减员•假设没有增援00)0(,)0(yyxxbxyayxa~乙方每个士兵的杀伤率b~甲方每个士兵的杀伤率a=rypy,ry~射击率，py~命中率b=rxpx,rx~射击率，px~命中率其中x0,y0为双方战前的兵力微分方程模型实例3——战争模型)(ty)(tx0ak0k0kbk0k正规战争模型为判断战争的结局，不求x(t),y(t)而在相平面上讨论x与y的关系00)0(,)0(yyxxbxyayxaybxdxdy2020bxaykkbxay22000yxk时平方律模型甲方胜0k平局0kyyxxprprabxy200乙方胜微分方程模型实例3——战争模型平方律模型yyxxprprabxy200上式是y方占优势的条件。若交战双方都训练有素，且都处于良好的作战状态，则xr与yr，zp与yp相差不大，上式右边近似为1。上式式左边表明，初始兵力比例被平方地放大了。即双方初始兵力之比00xy，以平方的关系影响着战争的结局。比如说，如果y方的兵力增加到原来的2倍，x方兵力不变，则影响着战争的结局的能力将增加4倍。此时，x方要想与y方抗衡，须把其士兵的射击率xr增加到原来的4倍(yyxprp,,均不变)。微分方程模型实例3——战争模型每一方的兵力随时间的变化关系讨论对上式两边对t求导，得abxdtdyadtxd22，即022abxdtxd初始条件为000,)0(aydtdxxxt，解得)(sh)(ch)(00tabybatabxtx同理可求得)(ty的表达式为)(sh)(ch)(00tabxabtabyty。00)0(,)0(yyxxbxyayx微分方程模型实例3——战争模型二.游击战争模型-双方都用游击部队作战模型假设(i)y方士兵看不见x方士兵，x方士兵在某个面积为xS的区域内活动。y方士兵不是向x方士兵射击，而是向该区域射击。此时，x方士兵的战斗减员不仅与y方兵力有关，而且随着x方兵力增加而增加。因为在一个有限区域内，士兵人数越多，被杀伤的可能性越大。可设，x方的战斗减员率为cxy，其中c为y方战斗效果系数，xryyyySSrprc，其中yr仍为射击率，命中率yp为y方一次射击的有效面积（ryS）与x方活动面积（xS）之比。假设(ii)，(iii)同模型一的假设(ii)，(iii)。微分方程模型实例3——战争模型二.游击战争模型-双方都用游击部队作战•甲(乙)方战斗减员率还随着甲(乙)方兵力的增加而增加•忽略非战斗减员•假设没有增援00)0(,)0(yyxxdxyycxyxc=rypyry~射击率py~命中率py=sry/sxsx-甲方活动面积sry-乙方射击有效面积)()(tvydxydtdytuxcxydtdxd=rxpxrx~射击率px~命中率px=sxy/sysy-乙方活动面积srx-甲方射击有效面积微分方程模型实例3——战争模型)(tycm0dm)(tx0m0m0m游击战争模型00)0(,)0(yyxxdxyycxyx00dxcymmdxcy乙方胜时000yxmyryyxrxxssrssrcdxy00线性律模型甲方胜0m平局0mcddxdy微分方程模型实例3——战争模型yryyxrxxssrssrcdxy00线性律模型乙方获胜的条件即初始兵力之比00xy以线性关系影响战斗的结局。当双方的射击率yxrr,与有效射击面积ryrxSS,一定时，增加活动面积yS与增加初始兵力0y起着同样的作用。微分方程模型实例3——战争模型)(ty)(tx0乙方胜,0n平局,0n甲方胜,0n00)0(,)0(yyxxbxycxyx三.混合战争模型-甲方为游击部队，乙方为正规部队020222bxcynnbxcy02002cxbxy乙方胜0n02002xsrsprxyryyxxx经验表明：只有当兵力y0/x0远远大于1时，正规部队y才能战胜游击队。微分方程模型实例3——战争模型结果的进一步分析02002xsrsprxyryyxxx一般来说，正规部队以火力强而见长，游击队以活动灵活，活动范围大而见长。这可以通过一些具体数据进行计算。不妨设1000x，命中率1.0xp，21yxrr，活动区域的面积610xSm2，y方有效射击面积1rySm2，则y方取胜的条件为10010012101.01.026200xy0010xy，y方的兵力是x方的10倍。美国人曾用这个模型分析越南战争。根据类似于上面的计算以及四五十年代发生在马来亚、菲律宾、印尼、老挝等地的混合战争的实际情况估计出，正规部队一方要想取胜必须至少投入8倍于游击部队一方的兵力，而美国至多只能派出6倍于越南的兵力。越南战争的结局是美国不得不接受和谈并撤军，越南人民取得最后的胜利。微分方程模型实例3——战争模型四.一个战争实例J.H.Engel用二次大战末期美日硫黄岛战役中的美军战地记录，对正规战争模型进行了验证，发现模型结果与实际数据吻合得很好。硫黄岛位于东京以南660英里的海面上，是日军的重要空军基地。美军在1945年2月开始进攻，激烈的战斗持续了一个月，双方伤亡惨重，日方守军21500人全部阵亡或被俘，美方投入兵力73000人，伤亡20265人，战争进行到28天时美军宣布占领该岛，实际战斗到36天才停止。美军的战地记录有按天统计的战斗减员和增援情况。日军没有后援，战地记录则全部遗失。微分方程模型实例3——战争模型基本模型用)(tA和)(tJ表示美军和日军第t天的人数，忽略双方的非战斗减员，则21500)0(,0)0()(JAbAdtdJtuaJdtdA(1)美军战地记录给出增援率)(tu为其它,065,1300032,600010,54000)(ttttu并可由每天伤亡人数算出)(tA，36,,2,1t。下面要利用这些实际数据代入(1)式，算出)(tA的理论值，并与实际值比较。微分方程模型实例3——战争模型模型求解利用给出的数据，对参数ba,进行估计。对(1)式两边积分，并用求和来近似代替积分，有ttuJaAtA11)()()0()((2)tAbJtJ1)()0()((3)为估计b在(3)式中取36t，因为0)36(J，且由)(tA的实际数据可得3612037000)(ttA，于是从(3)式估计出0106.0b。再把这个值代入(3)式即可算出)(tJ，36,,2,1t。微分方程模型实例3——战争模型模型求解然后从(2)式估计a。令36t，得361361)()36()(JAua(4)其中分子是美军的总伤亡人数，为20265人，分母可由已经算出的)(tJ得到，为372500人，于是从(4)式有0544.0a。把这个值代入(2)式得ttuJtA11)()(0544.0)((5)由(5)式就能够算出美军人数)(tA的理论值，与实际数据吻合得很好。