通信原理樊昌信第六版第3章随机信号

阜阳师范学院物电学院第三章随机过程主讲：赵发勇阜阳师范学院物电学院2008年9月阜阳师范学院物电学院回顾:概率论与随机变量§３.1随机过程的基本概念§３.2平稳随机过程§３.3高斯随机过程§３.4平稳随机过程通过线性系统§３.5窄带随机过程§３.6正弦波加窄带高斯噪声§３.7高斯白噪声和带限白噪声阜阳师范学院物理系回顾:概率论与随机变量1、随机实验（E）：满足下面三个条件的实验。相同条件下，实验可以重复进行。每次实验结果可具有多种可能性，所有可能的结果在实验前可以确定。每次实验不能准确预言哪个结果出现。2、样本空间(S)：随机实验中所有可能结果的集合。3、随机事件(A)：E中S的子集称为E的随机事件。4、概率(P)：设E、S对E的每个A赋予一个实数，记P(A)，表征事件A发生的可能性大小。有P(A)≥0,P(S)=1。阜阳师范学院物电学院5、随机变量：设有E和S={e},如果对于一个e∈S，有一个X(e)与之对应，这样定义在S上的单值函数x=x(e)称为随机变量。是定义在实验结果集合上的函数。是定义在样本空间上具有某种可测性折实值函数。可以应用随机变量表示事件：{X≤x}表示一个实验结果的集合（事件）。定义事件{x=}和{x=-∞}的概率为0。6、分布函数：定义Fx(x)=P(X≤x)为随机变量的分布函数，其定义在（-∞，+∞）上的函数。7、密度函数：f(x)=dFx(x)/dx。特殊分布；正态分布，指数分布，均匀分布等。8、数字特征阜阳师范学院物电学院1)、数学期望(E)2)、方差（δ2）Exf(x)dx22(xE(x))f(x)dx阜阳师范学院物理系通信过程是有用信号通过通信系统的过程，在这一过程中常伴有噪声的传输。分析与研究通信系统，离不开对信号和噪声的分析。通信系统中的信号通常具有某种随机性。他们的某个或几个参数不能预知或不能完全预知。如果能预知,通信就失去了意义。§３.1随机过程的基本概念随机信号:具有随机性的信号。通信系统中必然遇到噪声，是不能预测的。凡是不能预测的噪声统称为随机噪声，简称为噪声。从统计数学的角度看随机信号和噪声统称为随机过程。统计数学中有关随机过程的理论可以运用到随机信号和噪声的分析中来。阜阳师范学院物理系什么是随机过程？随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度看：§３.1随机过程的基本概念阜阳师范学院物电学院N部通信机的噪声输出记录例如有N台性能完全相同的通信机,工作条件相同,用N部记录仪同时记录他们的输出噪声角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。阜阳师范学院物理系角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。在任一给定时刻t1上，每一个样本函数i(t)都是一个确定的数值i(t1)，但是每个i(t1)都是不可预知的。在一个固定时刻t1上，不同样本的取值{i(t1),i=1,2,…,n}是一个随机变量，记为(t1)。换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。因此，我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。§３.1随机过程的基本概念阜阳师范学院物理系设Ｅ是随机实验，Ｓ={e}是其样本空间，对于每个e∈S，确定§(e,t)[t∈T],当e取遍Ｓ时，就可得到定义在Ｔ上的一族普通时间函数，以此t为参数的函数称为随机过程。通常省略e,简记为§(t)。在任一时刻t0上观察到的值是不确定的,是一个随机变量。在任一个e，§(t)为一个单值的实值函数。在任一个e和t0，§(t)为一个实值标量。§３.1随机过程的基本概念随机过程的定义阜阳师范学院物理系随机过程的统计特性通过概率分布（分布函数、概率密度函数）和数字特征（数学期望、方差、相关函数等）加以表述。统计特性阜阳师范学院物电学院设§(t)表示一个随机过程，则在任一时刻t1上§(t1)是一个随机变量，称分布F1（x1,t1)=P｛§(t1)≤x1｝为§(t)的一维分布函数。此函数依赖于t1，等于事件｛x(t1)≤x1｝的概率。如果存在əF1（x1,t1)/əx1=f1（x1,t1)，则称f1（x1,t1)为§(t)的一维概率密度函数。１、分布函数和密度函数阜阳师范学院物电学院考察任意n个不同的时刻t1,t2,…tn，引入n维随机变量§(t1),§(t2),定义Fn(x1,x2…xn；t1,t2,…tn)=P{§(t1)≤x1,§(t2)≤x2,…§(tn)≤xn},称为§(t)的n维分布函数。如果存在əFn（x1,x2，…xn;t1，t２，…tn)/əx1,əx2,…əxn=fn（x1,x2,…xn,t1，t２…tn)则称fn（x1,x2,…xn,t1，t２…tn)为§(t)的n维概率密度函数。N越大，用n维概率密度函数或n维分布函数描述§(t)的统计特性越充分。阜阳师范学院物电学院1)、数学期望：Ｅ〔§(t)〕＝＝是随机过程的所有样本函数在时刻t的函数值的平均值，也称随机过程的均值。表示了随机过程§(t)在每个时刻的波动中心，反映了随机过程的一维统计特性。一般情况下，它是时间的函数。dxtxfx),(1)(t２、数字特征阜阳师范学院物电学院记为＝也称均方值，是随机过程的所有样本函数在时刻t与均值偏离量的平方的统计平均，是一维统计特性，总是正数，一般情况也是时间t的函数。2)()()(tEtEtD)(2t2)、方差：衡量随机过程任意两时刻上获得的随机变量的统计相关特性时，常用协方差函数和相关函数来表示。衡量同一过程的相关程度，又称为自协方差函数、自相关函数。衡量不同过程的相关程度，又称为互协方差函数、互相关函数。描述了随机过程§(t)在任意两个时刻t1和t2，相对均值的起伏量之间的相关程度。阜阳师范学院物电学院2121212221121221121),;,()()(),()()()()(),(dxdxttxxftxtxttBttttEttB3)、自协方差函数:B(t1,t2)4)、自相关函数：R（t1,t2)212121221212121),;,(),()()(),(dxdxttxxfxxttRttEttRt1和t2上的两个随机变量，§(t1)、§(t2)是随机过程§(t)在任意两个时刻。自协方差函数、自相关函数体现了随机过程的二维统计特性。阜阳师范学院物电学院自协方差函数与自相关函数的关系：)()(),(),(212121tEtEttRttB)()(),(),(212121ttttRttB)()()()(),()()(),(),(212121212121ttttttRttttBtt表示在任意两个时刻t1、t2上的两个变量§(t1)、§(t2)的相关程度ρ(t1、t2)＝0，B(t1、t2)＝0表明§(t1)、§(t2)不相关。5)、相关系数ρ(t1、t2)阜阳师范学院物理系§３.2平稳随机过程平稳过程是随机过程中非常重要的过程之一，它具有许多突出的特性，并且提供了一类分析问题的方法，许多非平稳随机过程可以化为局部平稳过程来分析，实际中我们关心的通信信号正是采用了这样的分析方法和思路。分为严格平稳过程和宽平稳过程。阜阳师范学院物理系平稳随机过程:是指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关.即一个随机过程§(t)，如果在时域上时移τ，而其统计特性不变，则称之为严格的平稳随机过程（或狭义平稳过程）。即对于任意的正整数n和任意的实数t1,t2,..tn,τ,随机过程§(t)的n维概率密度函数满足:),...,;,...,(),...,;,...,(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf称§(t)是严格平稳随机过程。一、严格平稳随机过程阜阳师范学院物电学院平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而不同，它的一维分布与t无关，二维分布只与时间间隔τ有关。数学期望与t无关，为α。自相关函数只与时间间隔τ有关平稳过程所有样本曲线都在水平直线x(t)=ux上下波动，平均偏离度为σx。)(),(11RttR阜阳师范学院物理系如果一个随机过程的数学期望与时间t无关，而其相关函数只与时间间隔τ有关，则称这个随机过程是宽平稳的或广义平稳的。因此平稳随机过程的数字特征，完全可由随机过程中的任一实现的数字特征来决定。严格平稳一定宽平稳，反之不然。平稳信号称为时不变信号，非平稳信号称为时变信号。平稳随机过程有一个非常有用的特性---遍历性（或各态历经性。二、宽平稳过程阜阳师范学院物理系随机过程的数学期望（统计平均），可以由任一实现的时间平均来代替。随机过程的自相关函数，也可以有“时间平均”来代替“统计平均”。设平稳随机过程§(t)的一次试验样本函数为x(t)，则其统计平均可以用如下的时间平均来代替。三、各态历经性从随机过程中得到的任一实现，好象它经历了随机过程的所有可能状态。或者说平稳随机过程的各个样本函数都同样经历了随机过程的所有可能状态。阜阳师范学院物电学院平稳随机过程§(t)数学期望的时间平均表示为：平稳随机过程§(t)方差的时间平均表示为：t2tt21limx(t)x(t)dttR()t2tt21limx(t)dt(t)tE{}2t22tt2D{(t1limx(t))tt}d平稳随机过程的自相关函数时间平均表示为：与时间起点无关即1212R(t,t)R(tt)R()阜阳师范学院物理系例3-1:题略思路:证明是否具有各态历经性,即统计平均是否等于时间平均,统计平均求均值和相关函数,然后计算其时间平均,观察是否相等.三、各态历经性阜阳师范学院物理系设§(t)为实平稳随机过程，它的自相关函数的主要性质有：1、为平稳信号§(t)的平均功率2、R(τ)=R(-τ)R(τ)是偶函数证明：2R(0)E(t)s11R()E{(t)(t)}E{(t)(t)}E{(t)(t)}R()四、自相关函数阜阳师范学院物电学院3、R(τ)的上界4、§(t)的直流功率5、方差、§(t)的交流功率)0()(RR22R()E(t)2)()0(RR阜阳师范学院物电学院对于确定信号,我们常在时域和频域中来分析、讨论问题。确定信号的自相关函数与其功率谱之间是一对傅立叶变换对。下面讨论随机信号的相关问题。五、功率谱密度对于确定功率信号f(t),它的功率谱密度PS（ω)FT(ω)是f(t)的截短函数fT(t)的频谱函数。2)(lim)(TFPTTs阜阳师范学院物电学院对于随机过程，样本函数的频谱没有意义.不过它的每一个实现是功率信号,每一个实现的功率谱也可以由上式表示。但是，随机过程中哪一个实现出现是不能预知的，因此，某一个实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度，过程的功率谱密度是每一个可能实现的功率谱的统计平均即为f的确定函数,不具有随机性,可作为定义。阜阳师范学院物电学院设§(t)的一次实现的功率谱密度为定义为随机过程的功率谱密度,与确知信号相同,对平稳随机过程来说,其功率谱密度与其自相关函数也是一对傅立叶变换.()()()limTfTEFfPfEPfT2证明过程略()()limTfTFfPfT2阜阳师范学院物电学院222221)(212222221)(2122222221122211221212121)(1)()()(1)()()(1)()()(1)(TTTTttjTTTTTttjTTTTTtjtjTtjTtjTTdtdtettRTTFEdtdtetftfETTFEdtetfdtetfTETFEdtetfdtetfETTFE