2015届高三数学立体几何专题训练及详细答案

2015届高三数学立体几何专题训练1．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π解析：选A.原几何体为组合体：上面是长方体，下面是圆柱的一半(如图所示)，其体积为V＝4×2×2＋12π×22×4＝16＋8π.2．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器厚度，则球的体积为()A.500π3cm3B.866π3cm3C.1372π3cm3D.2048π3cm3解析：选A.如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝12AB＝12×8＝4(cm)．设球的半径为Rcm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5，∴V球＝43π×53＝500π3(cm3)．3．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析：选D.根据所给的已知条件作图，如图所示．由图可知α与β相交，且交线平行于l，故选D.4．(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A.23B.33C.23D.13解析：选A.法一：如图，连接AC，交BD于点O，由正四棱柱的性质，有AC⊥BD.因为CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD.又CC1∩AC＝C，所以BD⊥平面CC1O.在平面CC1O内作CH⊥C1O，垂足为H，则BD⊥CH.又BD∩C1O＝O，所以CH⊥平面BDC1，连接DH，则DH为CD在平面BDC1上的射影，所以∠CDH为CD与平面BDC1所成的角．设AA1＝2AB＝2.在Rt△COC1中，由等面积变换易求得CH＝23.在Rt△CDH中，sin∠CDH＝CHCD＝23.法二：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0，0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则DC→＝(0,1,0)，DB→＝(1,1,0)，DC1→＝(0,1,2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥DB→，n⊥DC1→，所以有x＋y＝0，y＋2z＝0，令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sinθ＝|cosn，DC→＝n·DC→|n||DC→|＝23.5．(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A.23B.33C.23D.13解析：选A.法一：如图，连接AC，交BD于点O，由正四棱柱的性质，有AC⊥BD.因为CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD.又CC1∩AC＝C，所以BD⊥平面CC1O.在平面CC1O内作CH⊥C1O，垂足为H，则BD⊥CH.又BD∩C1O＝O，所以CH⊥平面BDC1，连接DH，则DH为CD在平面BDC1上的射影，所以∠CDH为CD与平面BDC1所成的角．设AA1＝2AB＝2.在Rt△COC1中，由等面积变换易求得CH＝23.在Rt△CDH中，sin∠CDH＝CHCD＝23.法二：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0，0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则DC→＝(0,1,0)，DB→＝(1,1,0)，DC1→＝(0,1,2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥DB→，n⊥DC1→，所以有x＋y＝0，y＋2z＝0，令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sinθ＝|cosn，DC→＝n·DC→|n||DC→|＝23.6．(2013·高考山东卷)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是()A．45，8B．45，83C．4(5＋1)，83D．8,8解析：选B.由正视图知：四棱锥的底面是边长为2的正方形，四棱锥的高为2，∴V＝13×22×2＝83.四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底为2，高为5，∴S侧＝4×12×2×5＝45.7．(2013·高考山东卷)已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：选B.如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，设O为△ABC的中心，由题意知：PO⊥平面ABC，连接OA，则∠PAO即为PA与平面ABC所成的角．在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝3，则S＝34×(3)2＝334，VABC­A1B1C1＝S×PO＝94，∴PO＝3.又AO＝33×3＝1，∴tan∠PAO＝POAO＝3，∴∠PAO＝π3.8．(2013·高考浙江卷)设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β解析：选C.A项，当m∥α，n∥α时，m，n可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；B项，当m∥α，m∥β时，α，β可能平行也可能相交，故错误；C项，当m∥n，m⊥α时，n⊥α，故正确；D项，当m∥α，α⊥β时，m可能与β平行，可能在β内，也可能与β相交，故错误．故选C.9．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O­xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()解析：选A.根据已知条件作出图形：四面体C1­A1DB，标出各个点的坐标如图(1)所示，可以看出正视图是正方形，如图(2)所示．故选A.10．(2013·高考安徽卷)在下列命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析：选A.A，不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B，是平面的基本性质公理；C，是平面的基本性质公理；D，是平面的基本性质公理．11．(2013·高考北京卷)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有()A．3个B．4个C．5个D．6个解析：选B.如图，取底面ABCD的中心O，连接PA，PC，PO.∵AC⊥平面DD1B，又PO⊂平面DD1B，∴AC⊥PO.又O是BD的中点，∴PA＝PC.同理，取B1C与BC1的交点H，易证B1C⊥平面D1C1B，∴B1C⊥PH.又H是B1C的中点，∴PB1＝PC，∴PA＝PB1＝PC.同理可证PA1＝PC1＝PD.又P是BD1的三等分点，∴PB≠PD1≠PB1≠PD，故点P到正方体的顶点的不同距离有4个．12．(2013·高考辽宁卷)已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.3172B．210C.132D．310解析：选C.因为直三棱柱中AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝122＋52＝13，即R＝132.13．(2013·高考浙江卷)在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B＝fπ(A)．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1＝fβ[fα(P)]，Q2＝fα[fβ(P)]，恒有PQ1＝PQ2，则()A．平面α与平面β垂直B．平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°C．平面α与平面β平行D．平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°解析：选A.设P1＝fα(P)，P2＝fβ(P)，则PP1⊥α，P1Q1⊥β，PP2⊥β，P2Q2⊥α.若α∥β，则P1与Q2重合、P2与Q1重合，所以PQ1≠PQ2，所以α与β相交．设α∩β＝l，由PP1∥P2Q2，所以P，P1，P2，Q2四点共面．同理P，P1，P2，Q1四点共面．所以P，P1，P2，Q1，Q2五点共面，且α与β的交线l垂直于此平面．又因为PQ1＝PQ2，所以Q1、Q2重合且在l上，四边形PP1Q1P2为矩形．那么∠P1Q1P2＝π2为二面角α­l­β的平面角，所以α⊥β.14．(2013·高考湖南卷)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于()A.32B．1C.2＋12D.2解析：选D.由于该正方体的俯视图是面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，因此该几何体的正视图是一个长为2，宽为1的矩形，其面积为2.15．(2013·高考江西卷)一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．200＋9πB．200＋18πC．140＋9πD．140＋18π解析：选A.由三视图可知该几何体的下面是一个长方体，上面是半个圆柱组成的组合体．长方体的长、宽、高分别为10、4、5，半圆柱底面圆半径为3，高为2，故组合体体积V＝10×4×5＋9π＝200＋9π.16.(2013·高考四川卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是()A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台解析：选D.由俯视图是圆环可排除A，B，由正视图和侧视图都是等腰梯形可排除C，故选D.17．(2013·高考广东卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是()A.16B.13C.23D．1解析：选B.如图，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，有一条侧棱和底面垂直，且其长度为2，故三棱锥的高为2，故其体积V＝13×12×1×1×2＝13，故选B.18．(2013·高考广东卷)设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：选B.选项A，若l∥α，l∥β，则α和β可能平行也可能相交，故错误；选项B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故正确；选项C，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故错误；选项D，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系有三种可能：l⊥β，l∥β，l⊂β，故错误．故选B.19．(2013·高考湖南卷)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于()A．1B.2C.2－12D.2＋12解析：选C.当正方体的俯视图是面积为1的正方形时，其正视图的最小面积为1，最大面积为2.因为2－121，因此所给选项中其正视图的面积不可能为2－12，故选C.20．(2013·高考江西卷)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝()A．8B．9C．10D．11解析：选A.取CD的中点H，连接EH，HF.在四面体CDEF中，CD⊥EH，CD⊥FH，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，所以正方体的左、右两个侧面与EF平行，其余4个平面与EF相交，即n＝4.又因为CE与AB在同一平面内，所以CE与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即m＝4，所以m＋n＝4＋4＝8.21．(2013·高考重庆卷)某几何体的三视图