全国高考文科数学试题及答案福建卷

2009福建数学试题（文史类）第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合|0.|3AxxBxx，则AB等于A．{|0}xxB.{|03}xxC.{|4}xxDR解析本题考查的是集合的基本运算.属于容易题.解法1利用数轴可得容易得答案B.解法2（验证法）去X=1验证.由交集的定义，可知元素1在A中，也在集合B中，故选B.2.下列函数中，与函数1yx有相同定义域的是A.()lnfxxB.1()fxxC.()||fxxD.()xfxe解析由1yx可得定义域是0.()lnxfxx的定义域0x；1()fxx的定义域是x≠0；()||fxx的定义域是;()xxRfxe定义域是xR。故选A.3．一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表组别(0,10](20,20](20,30)(30,40)(40,50](50,60](60,70]频数1213241516137则样本数据落在(10,40)上的频率为A.0.13B.0.39C.0.52D.0.64解析由题意可知频数在10,40的有：13+24+15=52，由频率=频数总数可得0.52.故选C.4.若双曲线222213xyaoa的离心率为2，则a等于A.2B.3C.32D.1解析由22223123xyaaac可知虚轴b=3，而离心率e=a，解得a=1或a=3，参照选项知而应选D.5.如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12。则该集合体的俯视图可以是解析解法1由题意可知当俯视图是A时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是12，知其是立方体的一半，可知选C.解法2当俯视图是A时，正方体的体积是1；当俯视图是B时，该几何体是圆柱，底面积是21424S，高为1，则体积是4；当俯视是C时，该几何是直三棱柱，故体积是1111122V，当俯视图是D时，该几何是圆柱切割而成，其体积是211144V.故选C.6.阅读图6所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是A．-1B.2C.3D.4解析当1,2nS代入程序中运行第一次是1S，然后赋值此时2n；返回运行第二次可得111(1)2S，然后赋值3n；再返回运行第三次可得12112S，然后赋值4n，判断可知此时2S，故输出4n，故选D。7.已知锐角ABC的面积为33，4,3BCCA，则角C的大小为A.75°B.60°B.45°D.30°解析由正弦定理得113··sinC3343sinCsinC222SBCCA，注意到其是锐角三角形，故C=60°，选B8.定义在R上的偶函数fx的部分图像如右图所示，则在2,0上，下列函数中与fx的单调性不同的是A．21yxB.||1yxC.321,01,0xxyxxD．,,0xxexoyex解析根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在2,0上单调递减，注意到要与fx的单调性不同，故所求的函数在2,0上应单调递增。而函数21yx在,1上递减；函数1yx在,0时单调递减；函数0,10,123xxxxy在（]0,上单调递减，理由如下y’=3x20(x0),故函数单调递增，显然符合题意；而函数0,0,xexeyxx，有y’=-xe0(x0),故其在（]0,上单调递减，不符合题意，综上选C。9.在平面直角坐标系中，若不等式组101010xyxaxy（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a的值为A.-5B.1C.2D.3解析如图可得黄色即为满足010101yaxyxx的可行域，而与的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是23；当a=3时，面积恰好为2，故选D.10.设,mn是平面内的两条不同直线；12,ll是平面内的两条相交直线，则//的一个充分而不必要条件是A.1////ml且B.12////mll且nC.////mn且D.2////mnl且解析要得到,//必须是一个平面内的两条相交直线分别与另外一个平面平行。若两个平面平行，则一个平面内的任一直线必平行于另一个平面。对于选项A，不是同一平面的两直线，显既不充分也不必要；对于选项B，由于1l与2l时相交直线，而且由于1l//m可得//2l，故可得,//，充分性成立，而//不一定能得到1l//m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选B.对于选项C，由于m,n不一定的相交直线，故是必要非充分条件.对于选项D，由2//ln可转化为C，故不符合题意。综上选B.11.若函数fx的零点与422xgxx的零点之差的绝对值不超过0.25，则fx可以是A.41fxxB.2(1)fxxC.1xfxeD.12fxInx解析41fxx的零点为x=41,2(1)fxx的零点为x=1,1xfxe的零点为x=0,12fxInx的零点为x=23.现在我们来估算422xgxx的零点，因为g(0)=-1,g(21)=1,所以g(x)的零点x(0,21),又函数fx的零点与422xgxx的零点之差的绝对值不超过0.25，只有41fxx的零点适合，故选A。12.设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，ac∣a∣=∣c∣,则∣b•c∣的值一定等于A．以a，b为邻边的平行四边形的面积B.以b，c为两边的三角形面积C．a，b为两边的三角形面积D.以b，c为邻边的平行四边形的面积解析假设a与b的夹角为，∣b•c∣=︱b︱·︱c︱·∣cosb，c∣=︱b︱·︱a︱•∣cos(900)∣=︱b︱·︱a︱•sin,即为以a，b为邻边的平行四边形的面积，故选A。第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。13.复数2i1+i的实部是-1。解析2i1+i=-1-I,所以实部是-1。14.点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为。解析如图可设1AB,则1AB,根据几何概率可知其整体事件是其周长3，则其概率是23。15.若曲线2fxaxInx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是.解析由题意该函数的定义域0x，由12fxaxx。因为存在垂直于y轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为0x范围内导函数12fxaxx存在零点。解法1（图像法）再将之转化为2gxax与1hxx存在交点。当0a不符合题意，当0a时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当0a如图2，此时正好有一个交点，故有0a应填,0或是|0aa。解法2（分离变量法）上述也可等价于方程120axx在0,内有解，显然可得21,02ax16.五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1.第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为。解析这样得到的数列这是历史上著名的数列，叫斐波那契数列.寻找规律是解决问题的根本，否则，费时费力.首先求出这个数列的每一项除以3所得余数的变化规律，再求所求就比较简单了.这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，那么有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987……分别除以3得余数分别是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0……由此可见余数的变化规律是按1、1、2、0、2、2、1、0循环，周期是8.在这一个周期内第四个数和第八个数都是3的倍数，所以在三个周期内共有6个报出的数是三的倍数，后面6个报出的数中余数是1、1、2、0、2、2，只有一个是3的倍数，故3的倍数总共有7个，也就是说拍手的总次数为7次17．(本小题满分12分）等比数列{}na中，已知142,16aa（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）若35,aa分别为等差数列{}nb的第3项和第5项，试求数列{}nb的通项公式及前n项和nS。解：（Ⅰ）设{}na的公比为q由已知得3162q，解得2q（Ⅱ）由（I）得28a，532a，则38b，532b设{}nb的公差为d，则有1128432bdbd解得11612bd从而1612(1)1228nbnn所以数列{}nb的前n项和2(161228)6222nnnSnn18．（本小题满分12分）袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球（Ⅰ）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；（Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率。解：（Ⅰ）一共有8种不同的结果，列举如下：（红、红、红、）、（红、红、黑）、（红、黑、红）、（红、黑、黑）、（黑、红、红）、（黑、红、黑）、（黑、黑、红）、（黑、黑、黑）（Ⅱ）记“3次摸球所得总分为5”为事件A事件A包含的基本事件为：（红、红、黑）、（红、黑、红）、（黑、红、红）事件A包含的基本事件数为3由（I）可知，基本事件总数为8，所以事件A的概率为3()8PA19．（本小题满分12分）已知函数()sin(),fxx其中0，||2（Ⅰ）若coscos,sinsin0,44求的值；（Ⅱ）在（I）的条件下，若函数()fx的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于3，求函数()fx的解析式；并求最小正实数m，使得函数()fx的图像象左平移m个单位所对应的函数是偶函数。解法一：（I）由3coscossinsin044得coscossinsin044即cos()04又||,24（Ⅱ）由（I）得，()sin()4fxx依题意，23T又2,T故3,()sin(3)4fxx函数()fx的图像向左平移m个单位后所对应的函数为()sin3()4gxxm()gx是偶函数当且仅当3()42mkkZ即()312kmkZ从而，最小正实数12m解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）由（I）得，()sin()4fxx依题意，23T又2T，故3,()sin(3)4fxx函数()fx的图像向左平移m个单位后所对应的函数为()sin3()4gxxm()gx是偶函数当且仅当()()gxgx对xR恒成立亦即sin(33)sin(33)44xmxm对xR恒成立。sin(3)cos(3)cos(3)sin(3)44xmxmsin3cos(3)cos3sin(3)44xmxm即2sin3cos(3)04xm对xR恒成立。cos(3)04m故3()42mkkZ()312kmkZ从而，最小正实数12m20．（本小题满分12分）如图，平行四边形ABCD中，60DAB，2,