利用函数与方程的思想解希望杯试题两例(王文新)

利用函数与方程的思想解“希望杯”试题两例（王文新）第十一届“希望杯”数学邀请赛高一第1试的第5、第25题，体现了邀请赛的宗旨——提高学生的创新精神及高考应试能力。比较深入地考查了函数与方程的思想。现说明如下。题5定义域为R的函数f(x),g(x)都有反函数，并且函数f(x+1)和g1(x-2)的图象关于直线y=x对称，若g(5)=1999，那么f(6)=()（A）1999。（B）2000。（C）2001。（D）2002。此题固然可由数形结合求解，但用函数与方程的思想求解更为准确迅速。解因为g(5)=1999，所以g1(1999)=5,即g1(2001-2)=5,即（2001，5）是方程y=g1(x-2)的解。由f(x+1)与g1(x-2)的图象关于直线y=x对称，可知f(x+1)与g1(x-2)互为反函数。故点（2001，5）关于直线y=x的对称点（5，2001）在f(x+1)的图象上。即（5，2001）是方程y=f(x+1)的解，所以f(5+1)=2001，即f(6)=2001。选（C）。题25已知,2,0,31cossin则cossin的取值范围是，coscos的取值范围是。此题若单纯用三角变换及不等式求解，则较麻烦，不妨转换成二次函数的最值问题。解由,91cossin,31cossin22得所以,91)sin1(sin22.91sinsinsin222设),1sin1(,91sinsinsin222y易知,9891sin2y即,322|sinsin|即.322sinsin322同理，由可得,91cossin22,91cos)cos1(22即有.91coscoscos222易知.322coscos322注第25题的原答案（0，322）有误，不妨取,31cossin,31sinsin由题设可得,1tan,43取则由;32sin,3143cossin可得取32arcsin，显然满足0≤α；β2π。