导数与函数的单调性练习题

2.2.1导数与函数的单调性基础巩固题：1.函数f(x)=21xax在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a的取值范围为（）A.0a21B.a-1或a21C.a21D.a-2答案：C解析：∵f(x)=a+221xa在(-2,+∞)递增，∴1-2a0,即a21.2．已知函数f(x)＝x2＋2x＋alnx，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是()A．a≥0B．a－4C．a≥0或a≤－4D．a0或a－4答案：C解析：∵f′(x)＝2x＋2＋ax，f(x)在(0,1)上单调，∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0,1)上恒成立，即2x2＋2x＋a≥0或2x2＋2x＋a≤0在(0,1)上恒成立，所以a≥－(2x2＋2x)或a≤－(2x2＋2x)在(0,1)上恒成立．记g(x)＝－(2x2＋2x),0x1，可知－4g(x)0，∴a≥0或a≤－4，故选C.3．函数f(x)＝x＋9x的单调区间为________．答案：(－3,0)，(0,3)解析：f′(x)＝1－9x2＝x2－9x2，令f′(x)0，解得－3x0或0x3，故单调减区间为(－3,0)和(0,3)．4新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆函数32xxy的单调增区间为，单调减区间为___________________新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆答案：2(0,)3；2(,0),(,)3解析：'22320,0,3yxxxx或5．确定下列函数的单调区间:(1)y=x3－9x2+24x(2)y=3x－x3(1)解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4)令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2.∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4.∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4)(2)解：y′=(3x－x3)′=3－3x2=－3(x2－1)=－3(x+1)(x－1)令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1.∴y=3x－x3的单调增区间是(－1，1).令－3(x+1)(x－1)＜0，解得x＞1或x＜－1.∴y=3x－x3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)6．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为__________．[答案](－∞，－1)[解析]函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，令f(x)＝x2－x－2，f′(x)＝2x－10，得x12，∴函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为(－∞，－1)7．已知y＝13x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的范围为________．[答案]b－1或b2[解析]若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，则Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，∴－1≤b≤2，由题意b＜－1或b＞2.8.已知x∈R,求证：ex≥x+1．证明:设f（x）=ex－x－1,则f′（x）=ex－1．∴当x=0时，f′（x）=0,f（x）=0．当x＞0时，f′（x）＞0,∴f（x）在（0,+∞）上是增函数．∴f（x）＞f（0）=0．当x＜0时，f′（x）＜0,f（x）在（－∞,0）上是减函数，∴f（x）＞f（0）=0．9．已知函数y=x+x1，试讨论出此函数的单调区间.解：y′=(x+x1)′=1－1·x－2=222)1)(1(1xxxxx令2)1)(1(xxx＞0.解得x＞1或x＜－1.∴y=x+x1的单调增区间;是(－∞，－1)和(1，+∞).令2)1)(1(xxx＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.∴y=x+x1的单调减区间是(－1，0)和(0，1)10．已知函数32()fxxbxcxd的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为076yx．（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间．解：（Ⅰ）由f(x)的图象经过P（0，2），知d=2，所以,2)(23cxbxxxf.23)(2cbxxxf由在M(-1,f(-1))处的切线方程是076yx，知.6)1(,1)1(,07)1(6fff即326,23,121.0,3.bcbcbcbcbc即解得故所求的解析式是.233)(23xxxxf（Ⅱ）22()363.3630,fxxxxx令2210.xx即解得.21,2121xx当;0)(,21,21xfxx时或当.0)(,2121xfx时故)21,()(在xf内是增函数，在)21,21(内是减函数，在),21(内是增函数．点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．11.已知函数f(x)=x3-21x2若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围;解（1）)(xf=3x2-x+b,因f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，则)(xf≥0.即3x2-∴b≥x-3x2在（-∞，+∞）恒成立.设g(x)=x-3x2当x=61时，g(x)max=121,∴b≥121.12.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函数，试确定实数a的取值范围.解f(x)=x(x-1)(x-a)=x3-(a+1)x2)(xf=3x2-要使函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2,+∞)上是增函数，只需)(xf=3x2-2(a+1)x+a在（2，+∞）上满足)(xf≥0即可)(xf=3x2-2(a+1)x+a的对称轴是x=31a∴a的取值应满足：0(2)231fa或0)31(231afa解得:a≤38.∴a的取值范围是a≤38.13．已知函数232()4()3fxxaxxxR在区间1,1上是增函数，求实数a的取值范围．解：'2()422fxaxx，因为fx在区间1,1上是增函数，所以'()0fx对1,1x恒成立，即220xax对1,1x恒成立，解之得：11a所以实数a的取值范围为1,1．点拨：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0fx；若函数单调递减，则'()0fx”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．14.已知函数daxbxxxf23)(的图象过点P（0，2），且在点M（－1，)1(f）处的切线方程076yx，（1）求函数)(xfy的解析式；（2）求函数)(xfy的单调区间。解：（1）由)(xf的图象经过P（0，2），知2d，所以2)(23cxbxxxf，cbxxxf23)(2由在点M（)1(,1f）处的切线方程为076yx∴6)1(,1)1(ff即∴121623cbcb解得3cb故所求的解析式是233)(23xxxxf（2）363)(2xxxf令03632xx，解得21,2121xx当21x或21x时，0)(xf当2121x时，0)(xf故23)(23xxxf在)21,(内是增函数，在)21,21(内是减函数在),21(内是增函数点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．15．已知函数f(x)＝2x－b(x－1)2，求导函数f′(x)，并确定f(x)的单调区间．解析：f′(x)＝2(x－1)2－(2x－b)·2(x－1)(x－1)4＝－2x＋2b－2(x－1)3＝－2[x－(b－1)](x－1)3令f′(x)＝0，得x＝b－1且x≠1.当b－1＜1，即b＜2时，f′(x)的变化情况如下表：x(－∞，b－1)b－1(b－1,1)(1，＋∞)f′(x)－0＋－当b－1＞1，即b＞2时，f′(x)的变化情况如下表：x(－∞，1)(1，b－1)b－1(b－1，＋∞)f′(x)－＋0－所以，当b＜2时，函数f(x)在(－∞，b－1)上单调递减，在(b－1,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．当b＞2时，函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，b－1)上单调递增，在(b－1，＋∞)上单调递减．当b－1＝1，即b＝2时，f(x)＝2x－1，所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递减．强化提高题：16．设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f′(x)，g′(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且满足f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)0，则当axb时，有()A．f(x)g(b)f(b)g(x)B．f(x)g(a)f(a)g(x)C．f(x)g(x)f(b)g(b)D．f(x)g(x)f(b)g(a)答案：C解析：令y＝f(x)·g(x)，则y′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)，由于f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)0，所以y在R上单调递减，又xb，故f(x)g(x)f(b)g(b)．17．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________．[答案][3，＋∞)[解析]y′＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax0在区间(0,2)内恒成立，即a32x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3.18．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a的取值范围为________．[答案]a≥1[解析]由已知a＞1＋lnxx在区间(1，＋∞)内恒成立．设g(x)＝1＋lnxx，则g′(x)＝－lnxx2＜0(x＞1)，∴g(x)＝1＋lnxx在区间(1，＋∞)内单调递减，∴g(x)＜g(1)，∵g(1)＝1，∴1＋lnxx＜1在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a≥1.19．函数y＝x2e－x的单调递增区间是________．答案：(0,2)解析：y′＝(2x－x2)e－x＞0⇔0＜x＜2，故选填(0,2)．20新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆若32()(0)fxaxbxcxda在R增函数，则,,abc的关系式为是_______________新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆答案：20,3abac且解析：'2()320fxaxbxc恒成立，则220,0,34120aabacbac且21．若函数y=－34x3+bx有三个单调区间，则b的取值范围是________．答案：b0解析：y′=－4x2+b，若y′值有正、有负，则b0．22.定义在R上的奇函数f(x)在［-a,-b］(ab0)上是减函数且f(-b)0,判断F（x）=［f(x)］2在［b,a］上的单调性并证明你的结论.解析：设b≤x1x2≤a,则-b≥-x1-x2