一般周期的傅里叶级数

第八节一般周期函数的傅里叶级数一、以2l为周期的函数的傅里叶展开机动目录上页下页返回结束第十一章Section7.3.3,SCU一、以2l为周期的函数的傅里叶展开周期为2l函数f(x)周期为2函数变量代换lxz将F(z)作傅氏展开f(x)的傅氏展开式机动目录上页下页返回结束()()Fzfx设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为(在f(x)的连续点处)naxlxnxflbllndsin)(1其中定理.l1xlxnxflldcos)(),2,1,0(n),2,1(n机动目录上页下页返回结束证明:令lxz,则令,)(zlf则))2(()2(zlfzF)2(lzlf)(zlf所以且它满足收敛定理条件,将它展成傅里叶级数:(在F(z)的连续点处))(xf是以2为周期的周期函数,机动目录上页下页返回结束zznzFandcos)(1其中zznzFbndsin)(1令lxzlan1xlxnxflbllndsin)(1),2,1,0(n),3,2,1(n),2,1,0(n),3,2,1(n(在f(x)的连续点处)xlxnxflldcos)(证毕机动目录上页下页返回结束说明:),2,1(dsin)(nxlxnxfbn其中(在f(x)的连续点处)如果f(x)为偶函数,则有(在f(x)的连续点处)),2,1,0(dcos)(nxlxnxfan其中注:无论哪种情况,在f(x)的间断点x处,傅里叶级数收敛于如果f(x)为奇函数,则有机动目录上页下页返回结束naxlxnxflbllndsin)(1l1xlxnxflldcos)(),2,1,0(n),2,1(n)(tfto0d)1sin()1sin(ttntn例1.交流电压经半波整流后负压消失,试求半波整流函数的解:这个半波整流函数22l,它在na0dcossinttntE傅里叶级数.上的表达式为的周期是22机动目录上页下页返回结束1()cosdllntfttll000d2sintt时1n0d)1sin()1sin(ttntn2Eantnn)1cos()1(12E0tnn)1cos()1(1111)1(111)1(21nnnnEnn)1(1)1(21nEn,)41(22kEkn2机动目录上页下页返回结束tttEbdsinsin01ttntnEd)1cos()1cos(20)1()1sin(2ntnEbn0)1()1sin(0ntn022sin2ttEn1时机动目录上页下页返回结束0sinsindEtntt由于半波整流函数f(t)Etf)(tEsin2tkkEk2cos411212直流部分说明:交流部分由收敛定理可得to22)(tf上述级数可分解为直流部分与交流部分的和.机动目录上页下页返回结束例2.把展开成(1)正弦级数;(2)余弦级数.解:(1)将f(x)作奇周期延拓,则有2oyx2022xbnxxnd2sin0222sin22cos2xnnxnxnnncos414)(nxf2sin)1(1xnnn)20(x在x=2k处级数收敛于何值?机动目录上页下页返回结束24l2oyx(2)将作偶周期延拓,2022xanxxnd2cos0222cos22sin2xnnxnxn224(1)1nnxxf)(200d22xxa则有1222)12(cos)12(181kxkk)20(x机动目录上页下页返回结束说明:此式对也成立,8)12(1212kk由此还可导出121nn8261212nn1222)12(cos)12(181)(kxkkxxf)20(x据此有2oyx机动目录上页下页返回结束0()xFx是的连续点当函数定义在任意有限区间上时,方法1令,2abzx即2abxzzabzfxfzF,)2()()(2,2abab在2,2abab上展成傅里叶级数)(zF周期延拓将2abxz在代入展开式上的傅里叶级数其傅里叶展开方法:机动目录上页下页返回结束2Tlba方法2令zazfxfzF,)()()(ab,0在ab,0上展成正弦或余弦级数)(zF奇或偶式周期延拓将代入展开式axz在即axz上的正弦或余弦级数机动目录上页下页返回结束2()ba周期为)(zFz55例3.将函数展成傅里叶级数.解:令设)55()10()()(zzzfxfzF将F(z)延拓成周期为10的周期函数,理条件.由于F(z)是奇函数,故5052zbnzznd5sinnn10)1(),2,1(n则它满足收敛定5sin)1(10)(1znnzFnn)55(z机动目录上页下页返回结束ex6,P239,SCU傅氏级数为正弦级数.内容小结1.周期为2l的函数的傅里叶级数展开公式)(xf20a(x间断点)其中xlxnxfllldcos)(1xlxnxfllldsin)(1),1,0(n),2,1(n当f(x)为奇函数时,(偶)(余弦)2.在任意有限区间上函数的傅里叶展开法变换延拓机动目录上页下页返回结束作业:习题册习题课目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束Li,XS---DepartmentofMathematicsIfyouhaveanyquestions,pleasecontactme.