电磁感应中的动量守恒经典题

电磁感应中的动量守恒经典题1.如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定于同一水平面内，导轨间的距离为L，导轨上平行放置两根导体棒ab和cd，构成矩形回路。已知两根导体棒的质量均为m、电阻均为R，其它电阻忽略不计，整个导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B，导体棒均可沿导轨无摩擦的滑行。开始时，导体棒cd静止、ab有水平向右的初速度v0，两导体棒在运动中始终不接触。求：（1）开始时，导体棒ab中电流的大小和方向；（2）从开始到导体棒cd达到最大速度的过程中，矩形回路产生的焦耳热；（3）当ab棒速度变为43v0时，cd棒加速度的大小。【解析】：（12分）（1）ab棒产生的感应电动势0=BLvEab，（1分）ab棒中电流RBLvREIab2=2=0，（1分）方向由ba→（1分）（2）当ab棒与cd棒速度相同时，cd棒的速度最大，设最大速度为v由动量守恒定律mvmv2=0（1分）∴012vv（1分）由能量守恒关系Q＝21mv20－21（2m）v2（1分）∴Q＝41mv20（1分）（3）设ab棒的速度为034v时，cd棒的速度为v′由动量守恒定律：vmvmmv′+43=00（1分）041=′∴vv。043=vBLEab；041=vBLEcd；I＝REEcdab2=RvvBL2)4143(00∴I＝RBLv40（2分）cd棒受力为2204BLvFIBLR（1分）；此时cd棒加速度为2204BLvFamRm（1分）bacdBRMNPQLIbacdBRMNPQ2.如图，相距L的光滑金属导轨，半径为R的1/4圆弧部分竖直放置、直的部分固定于水平地面，MNQP范围内有方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场．金属棒ab和cd垂直导轨且接触良好，cd静止在磁场中，ab从圆弧导轨的顶端由静止释放，进入磁场后与cd没有接触．已知ab的质量为m、电阻为r，cd的质量为3m、电阻为r．金属导轨电阻不计，重力加速度为g．（1）求：ab到达圆弧底端时对轨道的压力大小（2）在图中标出ab刚进入磁场时cd棒中的电流方向（3）若cd离开磁场时的速度是此刻ab速度的一半，求：cd离开磁场瞬间，ab受到的安培力大小【解析】：（1）设ab到达圆弧底端时受到的支持力大小为N，ab下滑机械能守恒，有：221mvmgR…①由牛顿第二定律：RmvmgN2…②；联立①②得：mgN3…③由牛顿第三定律知：对轨道压力大小为mgN3…④（2）如图（2分）（如用文字表达，正确的照样给分。如：d到c，或d→c）（3）设cd离开磁场时ab在磁场中的速度vab，则cd此时的速度为abv21，ab、cd组成的系统动量守恒，有：ababvmvmmv213…⑤ab、cd构成的闭合回路：由法拉第电磁感应定律：abBLvE…⑥闭合电路欧姆定律：rEI2…⑦安培力公式：BILFab…⑧联立①④⑤⑥⑦得rgRLBFab5222…⑨3.（20分）如图所示，电阻均为R的金属棒a．b，a棒的质量为m，b棒的质量为M，放在如图所示光滑的轨道的水平部分，水平部分有如图所示竖直向下的匀强磁场，圆弧部分无磁场，且轨道足够长；开始给a棒一水平向左的的初速度v0，金属棒a．b与轨道始终接触良好．且a棒与b棒始终不相碰。请问：（1）当a．b在水平部分稳定后，速度分别为多少？损失的机械能多少？（2）设b棒在水平部分稳定后，冲上圆弧轨道，返回到水平轨道前，a棒已静止在水平轨道上，且b棒与a棒不相碰，然后达到新的稳定状态，最后a，b的末速度为多少？（3）整个过程中产生的内能是多少?【解析】（1）对a．b棒水平轨道分析，动量守恒；1v是稳定时a．b棒共同速度10)(vMmmv①--3分，解得)(01Mmmvv②-1分，损失的机械能为2120)(2121vMmmvE)(220mMMmv③-4分（2）由于b棒在冲上又返回过程中,机械能守恒,返回时速度大小不变12vv④--2分b棒与a棒向右运动过程中，直到稳定，动量守恒：32)(vmMMv⑤-3分达到新的稳定状态a，b的末速度:203)(mMMmvv⑥-2分（3）整个过程中产生的内能等于系统机械能的减少量2320)(2121vmMmvQ⑦---3分解得：))(1(213220mMmMmvQ⑧--2分4.(18分)如图所示，电阻不计的两光滑金属导轨相距L，放在水平绝缘桌面上，半径为R的1/4圆弧部分处在竖直平面内，水平直导轨部分处在磁感应强度为B，方向竖直向下的匀强磁场中，末端与桌面边缘平齐。两金属棒ab、cd垂直于两导轨且与导轨接触良好。棒ab质量为2m，电阻为r，棒cd的质量为m，电阻为r。重力加速度为g。开始棒cd静止在水平直导轨上，棒ab从圆弧顶端无初速度释放，进入水平直导轨后与棒cd始终没有接触并一直向右运动，最后两棒都离开导轨落到地面上。棒ab与棒cd落地点到桌面边缘的水平距离之比为3:1。求：（1）棒ab和棒cd离开导轨时的速度大小；（2）棒cd在水平导轨上的最大加速度；（3）两棒在导轨上运动过程中产生的焦耳热。【解析】：（1）设ab棒进入水平导轨的速度为1v，ab棒从圆弧导轨滑下机械能守恒：212212mvmgR①（2分）离开导轨时，设ab棒的速度为/1v，cd棒的速度为/2v，ab棒与cd棒在水平导轨上运动，动量守恒，/2/1122mvmvmv②（2分）依题意/1v/2v，两棒离开导轨做平抛运动的时间相等，由平抛运动水平位移vtx可知/1v:/2v=x1:x2=3:1③（2分），联立①②③解得gRv276/1，gRv272/2（2分）（2）ab棒刚进入水平导轨时，cd棒受到的安培力最大，此时它的加速度最大，设此时回路的感应电动势为，BLv④（1分），rI2⑤（1分）cd棒受到的安培力为：BILFcd⑥（1分）根据牛顿第二定律，cd棒的最大加速度为：mFacd⑦（1分）BabcdR联立④⑤⑥⑦解得：mrgRLBa2222（2分）（3）根据能量守恒，两棒在轨道上运动过程产生的焦耳热为：)21221(2212/22/121mvmvmvQ⑧（2分）联立①⑧并代入/1v和/2v解得：mgRQ4922（2分）5．（20分）如图所示，宽度为L的平行光滑的金属轨道，左端为半径为r1的四分之一圆弧轨道，右端为半径为r2的半圆轨道，中部为与它们相切的水平轨道。水平轨道所在的区域有磁感应强度为B的竖直向上的匀强磁场。一根质量为m的金属杆a置于水平轨道上，另一根质量为M的金属杆b由静止开始自左端轨道最高点滑下，当b滑入水平轨道某位置时，a就滑上了右端半圆轨道最高点(b始终运动且a、b未相撞），并且a在最高点对轨道的压力大小为mg，此过程中通过a的电荷量为q，a、b棒的电阻分别为R1、R2，其余部分电阻不计。在b由静止释放到a运动到右端半圆轨道最高点过程中，求：（1）在水平轨道上运动时b的最大加速度是多大？（2）自b释放到a到达右端半圆轨道最高点过程中系统产生的焦耳热是多少？（3）a刚到达右端半圆轨道最低点时b的速度是多大？解析：（20分）（1）由机械能守恒定律：12121MgrMvb∴112grvb-4分b刚滑到水平轨道时加速度最大，E=BLvb1，21RREI，由牛顿第二定律有：F安=BIL=Ma∴)(221122RRMgrLBa-4分（2）由动量定理有：-BILt=Mvb2–Mvb1，即：-BLq=Mvb2–Mvb1∴MBLqgrvb122根据牛顿第三定律得：N=N΄=mg，221rvmNmga∴212grva∵QrmgmvMvMgrab22122122121∴MqLBmgrBLqgrQ23222221-6分（3）∵能量守恒有2122221212aamvmvmgr∴226grva3分∵动量守恒定律231abbmvMvMv∴21362grMmgrvb3分6．两足够长且不计其电阻的光滑金属轨道，如图所示放置，间距为d=100cm，在左端斜轨道部分高h=1.25m处放置一金属杆a，斜轨道与平直轨道以光滑圆弧连接，在平直轨道右端放置另一金属杆b，杆A．b电阻Ra=2Ω，Rb=5Ω，在平直轨道区域有竖直向上的匀强磁场，磁感强度B=2T。现杆b以初速度v0=5m/s开始向左滑动，同时r1bar2BMNPQBBabddCDIII由静止释放杆a，杆a滑到水平轨道过程中，通过杆b的平均电流为0.3A；a下滑到水平轨道后，以a下滑到水平轨道时开始计时，A．b运动图象如图所示(a运动方向为正)，其中ma=2kg，mb=1kg，g=10m/s2，求（1）杆a落到水平轨道瞬间杆a的速度v；（2）杆a在斜轨道上运动的时间；（3）在整个运动过程中杆b产生的焦耳热。【解析】：（1）25m/svgh，（2）b棒，20vmtIBdb，得5ts（3）共产生的焦耳热为22011161()226ababQmghmvmmvJB棒中产生的焦耳热为5115J19J256QQ7.（12分）如图所示，两根间距为L的金属导轨MN和PQ，电阻不计，左端向上弯曲，其余水平，水平导轨左端有宽度为d、方向竖直向上的匀强磁场I，右端有另一磁场II，其宽度也为d，但方向竖直向下，磁场的磁感强度大小均为B。有两根质量均为m、电阻均为R的金属棒a和b与导轨垂直放置，b棒置于磁场II中点C、D处，导轨除C、D两处（对应的距离极短）外其余均光滑，两处对棒可产生总的最大静摩擦力为棒重力的K倍，a棒从弯曲导轨某处由静止释放。当只有一根棒作切割磁感线运动时，它速度的减小量与它在磁场中通过的距离成正比，即vx。求：（1）若a棒释放的高度大于h0，则a棒进入磁场I时会使b棒运动，判断b棒的运动方向并求出h0为多少？（2）若将a棒从高度小于h0的某处释放，使其以速度v0进入磁场I，结果a棒以02v的速度从磁场I中穿出，求在a棒穿过磁场I过程中通过b棒的电量q和两棒即将相碰时b棒上的电功率Pb为多少？【解析】（12分）：（1）根据左手定则判断知b棒向左运动。（2分）a棒从h0高处释放后在弯曲导轨上滑动时机械能守恒，有2012mghmv得：02vgh（1分）a棒刚进入磁场I时EBLv,此时感应电流大小2EIR此时b棒受到的安培力大小FBIL，依题意，有FKmg,求得：2220442KmgRhBL（3分）（2）由于a棒从小于进入h0释放，因此b棒在两棒相碰前将保持静止。流过电阻R的电量qIt；又因：EBSIRRtRt总总总所以在a棒穿过磁场I的过程中，通过电阻R的电量：,故：2BSBLdqRR总（3分）（没有推导过程得1分）将要相碰时a棒的速度00002224vvvvdvd（1分）此时电流：028BLvBLvIRR（1分），此时b棒电功率：2222064bBLvPIRR8．（2014届海淀期末10分）如图21所示，两根金属平行导轨MN和PQ放在水平面上，左端向上弯曲且光滑，导轨间距为L，电阻不计。水平段导轨所处空间有两个有界匀强磁场，相距一段距离不重叠，磁场Ⅰ左边界在水平段导轨的最左端，磁感强度大小为B，方向竖直向上；磁场Ⅱ的磁感应强度大小为2B，方向竖直向下。质量均为m、电阻均为R的金属棒a和b垂直导轨放置在其上，金属棒b置于磁场Ⅱ的右边界CD处。现将金属棒a从弯曲导轨上某一高处由静止释放，使其沿导轨运动。设两金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。（1）若水平段导轨粗糙，两金属棒与水平段导轨间的最大摩擦力均为51mg，将金属棒a从距水平面高度h处由静止释放。求：金属棒a刚进入磁场Ⅰ时，通过金属棒b的电流大小；若金属棒a在磁场Ⅰ内运动过程中，金属棒b能在导轨上保持静止，通过计算分析金属棒a释放时的高度h应满足的条件；（2）若水平段导轨是光滑的，将金属棒a仍从高度h处由静止释放，使其进入磁场Ⅰ。设两磁场区域足够大，求金属棒a在磁场Ⅰ内运动过程中，金属棒b中可能产生焦耳热的最大值。