第三章线性系统时域分析(用)

自动控制原理第三章时域分析法第三章时域分析法控制系统的数学模型，是分析、研究、设计控制系统的基础。一旦建立起合理的、便于分析的控制系统数学模型，就可以运用适当的方法对系统的控制性能进行全面的分析和计算。对于线性定常系统，常用的工程方法有时域分析法、根轨迹法和频率法。后两种方法都是以时域分析法为基础，并且应用了时域分析法中的许多结论。自动控制原理第三章时域分析法时域分析法是根据系统的微分方程，以拉普拉斯变换作为数学工具，直接解出控制系统的时间响应。然后，依据响应的表达式及其描述曲线来分析系统的控制性能，如稳定性、快速性、稳态精度等，并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。时域分析法是一种直接分析法，还是一种比较准确的方法，可以提供系统时间响应的全部信息。自动控制原理第三章时域分析法3.1典型输入信号及性能指标一个系统的时间响应，不仅取决于系统本身的结构与参数，而且还同系统的初始状态以及加在系统上的外作用信号有关。为了分析和比较控制系统的优劣，通常对初始状态和外作用信号做一些典型化处理。初始状态：零状态外作用：自动控制原理第三章时域分析法一、典型输入信号1．阶跃函数其表达式为0()00atrtt　≥　　　当a=1时，称为单位阶跃函数，记作1(t)，则有101()00ttt　≥　　　单位阶跃函数的拉氏变换为1()[1()]RstsL自动控制原理第三章时域分析法2．速度函数（斜坡函数）其表达式为0()00attartt　≥，为常量　　　当a=1时，r(t)=t，称为单位速度函数，其拉氏变换为21()[1()]RsttsL自动控制原理第三章时域分析法3．加速度函数（抛物线函数）其表达式为20()00attartt　≥，为常量　　　当a=1/2时，称为单位加速度函数，其拉氏变换为2311()[1()]2RsttsL自动控制原理第三章时域分析法4．脉冲函数其表达式为10()00trttt，单位脉冲函数δ(t)，其数学描述为0()()d100ttttt且单位脉冲函数的拉氏变换为()[()]1RstL自动控制原理第三章时域分析法5．正弦函数其表达式为sin0()00attrtt≥其拉氏变换为22()[sin1()]aRsattsLotr(t)自动控制原理第三章时域分析法二、阶跃响应的性能指标分析时假定控制系统是单位反馈的、初始条件为零、给定输入为单位阶跃函数。控制系统的时间响应，从时间顺序上，可以划分为过渡过程和稳态过程。过渡过程是指系统从初始状态到接近最终状态的响应过程。稳态过程是指时间趋于无穷时系统的输出状态。自动控制原理第三章时域分析法自动控制原理第三章时域分析法0.5td①延迟时间td0.10.9tr②上升时间tr③峰值时间tptp④超调量%%⑤调节时间ts误差带ts⑥振荡次数N⑦稳态误差ess控制系统的典型单位阶跃响应ess=1-h()p()()%100%()hthh自动控制原理第三章时域分析法延迟时间上升时间峰值时间调节时间快速性超调量振荡次数稳态误差平稳性最终(稳态)精度自动控制原理第三章时域分析法3.2一阶系统分析由一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。一、一阶系统的数学模型一阶系统的微分方程为d()()()dctTctrtt其闭环传递函数为()11()1()11CssRsTssK惯性环节惯性环节惯性环节惯性环节惯性环节自动控制原理第三章时域分析法二、一阶系统的单位阶跃响应单位阶跃输入的拉氏变换为1()Rss11()()()1CssRsTss取C(s)的拉氏变换，可得一阶系统的单位阶跃响应111111()11htTssssTLL自动控制原理第三章时域分析法则()1,(0)tThtet≥或写成sstt()htcc一阶系统中的单位阶跃响应曲线是一条由零开始，按指数规律上升并最终趋于1的曲线。响应曲线具有非振荡特征，故又称为非周期响应。css=1代表稳态分量1ttetTc代表动态分量自动控制原理第三章时域分析法一阶系统的阶跃响应①没有超调量；②调节时间ts=3T(5%)ts=4T(2%)③没有稳态误差，即ss1()110eh初自动控制原理第三章时域分析法0.1100sR(s)C(s)-例一阶系统如图所示,试求系统单位阶跃响应的调节时间ts。如果要求ts＝0.1s，试问系统的反馈系数应调整为何值？解：(1)由结构图写出闭环传递函数()100/10()100()0.1110.1CsssRsss自动控制原理第三章时域分析法从(s)的分母多项式看出时间常数T=0.1s，故调节时间s330.1s0.3stT(2)计算ts＝0.1s的反馈系数值设反馈系数为Kh，则系统闭环传递函数hhh1/100/()1000.0111KssKssK故h0.01=TK自动控制原理第三章时域分析法sh0.03=3=tTK要求ts=0.1s，代入上式得h0.030.1=K所以h=0.3K调节时间自动控制原理第三章时域分析法练习：根据定义，求一阶系统的动态性能指标：td=?tr=?自动控制原理第三章时域分析法3.3二阶系统分析由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。一、二阶系统的数学模型位置随动系统原理图自动控制原理第三章时域分析法pAmaamb/()KKCiGssLsRJsfCK前向通道的传递函数折算转动惯量和粘性摩擦系数2aLaL22111ZJJJfffiiiZ自动控制原理第三章时域分析法则2()KGsJsFs闭环传递函数为c2r()()()sKssJsFsKLa很小，La≈0，同时令pAma/()KKCiRKmbaCKfFR与自动控制原理第三章时域分析法系统的特征方程20JsFsKF称为实际阻尼系数。当24FJK时，特征方程有一对相等的负实根，系统处于临界阻尼状态。令Fc为临界阻尼系数，则c2FJK自动控制原理第三章时域分析法闭环传递函数的分子、分母同除以J22()KKJsFKJsFsKssJJ引入两个新的参量2nn2KJFJn称为无阻尼自然频率或固有频率称为阻尼比自动控制原理第三章时域分析法c2FFFJK实际阻尼系数临界阻尼系数闭环传递函数写成如下一般形式2n22nn()2sss其闭环特征方程为22nn20ss方程的特征根为21,2nn1s22nn()ssR(s)C(s)-自动控制原理第三章时域分析法阻尼比的取值不同，二阶系统的特征根(闭环极点)在s平面上的分布：n21,2n1jsn1,2s011欠阻尼状态临界阻尼状态自动控制原理第三章时域分析法100n1,2n21s过阻尼状态零阻尼状态负阻尼状态n1,2jsnn21,21(1)j0s自动控制原理第三章时域分析法二、二阶系统的单位阶跃响应1.过阻尼1的情况系统闭环特征方程有两个不相等的负实根。22nn121120ssssTT式中12n22n1111TT122n12121212TTTTTTTT自动控制原理第三章时域分析法于是闭环传递函数为1212121()1()1111TTCsRsTsTsssTT因此，过阻尼二阶系统可以看成两个时间常数不同的惯性环节的串联。自动控制原理第三章时域分析法当输入为单位阶跃信号时1()Rss系统的输出1211()11CsTsTss取C(s)的拉氏反变换，得到单位阶跃响应1211211211()1ee,(0)/1/1ttTThttTTTT≥稳态分量为1，动态分量为两项指数项。自动控制原理第三章时域分析法过阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线自动控制原理第三章时域分析法过阻尼二阶系统调节时间特性取相对变量ts/T1及T1/T2经计算机解算后制成曲线。当T1=T2(=1的临界阻尼情况):调节时间ts=4.75T1；当T1=4T2(=1.25)时:ts≈3.3T1；当T14T2(1.25)时:ts≈3T1。自动控制原理第三章时域分析法2.临界阻尼=1的情况系统具有两个相等的负实根s1,2=-n。所以2n2n1()Csss取C(s)的拉氏反变换，得临界阻尼下二阶系统的单位阶跃响应nn()11ethtt自动控制原理第三章时域分析法3.欠阻尼01的情况欠阻尼二阶系统具有一对实部为负的共轭复根，时间响应呈衰减振荡特性，故又称为振荡环节。系统闭环传递函数的一般形式为2n22nn()()2CsRsss特征根为一对共轭复根21,2nndj1js衰减系数d阻尼振荡频率自动控制原理第三章时域分析法当输入信号为单位阶跃作用时2n22nnnn2222ndnd1()21Cssssssss取C(s)的拉氏变换，得欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应nndd22dd2()1ecossin1e11cossin1tthttttt自动控制原理第三章时域分析法或者写成(0)nd2e()1sin()1thttt≥式中21arctan或arccos121系统的响应由稳态分量和动态分量两部分组成，稳态分量的值等于1，动态分量是一个随时间t的增长而衰减的振荡过程。自动控制原理第三章时域分析法欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线自动控制原理第三章时域分析法采用无因次时间nt作为横坐标，则时间响应就仅仅是阻尼比的函数。n2n2e()1sin1arccos1thtt阻尼正弦振荡的滞后角为n2arccos1t自动控制原理第三章时域分析法=0.707时的单位阶跃响应曲线自动控制原理第三章时域分析法02468101200.20.40.60.811.21.41.61.82=0=0.1=0.2=0.3=0.4=0.5=0.6=0.7=0.8=0.9=1.0=2.0ht()nt二阶系统单位阶跃响应的通用曲线自动控制原理第三章时域分析法平稳性：阻尼比越大，超调量越小，响应的振荡倾向越弱，平稳性越好。反之，阻尼比越小，振荡越强，平稳性越差。当=0时，零阻尼响应为(0)0nn()1sin901coshtttt≥响应为具有频率为n的不衰减(等幅)振荡。自动控制原理第三章时域分析法由于2dn1所以,在一定的阻尼比下，n越大，振荡频率d也越高，系统响应的平稳性越差。结论：要使系统单位阶跃响应的平稳性好，就要求阻尼比大，自然频率n小。阻尼比和超调量σ%的关系曲线自动控制原理第三章时域分析法快速性：过大，系统响应迟钝，调节时间ts长，快速性差；过小，虽然响应的起始速度较快，但因为振荡强烈，衰减缓慢，所以调节时间ts也长，快速性差。对于一定的阻尼比，所对应的无因次时间的响应是一定的。因此，当一定时，n越大，调节时间ts也就越短，即快速性越好。自动控制原理第三章时域分析法稳态精度：瞬态分量随时间t的增长衰减到零，而稳态分量等于1。因此，欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应不存在稳态误差。n2n2e()1sin1arccos1thtt自动控制原理第三