4.3 角与角的大小比较

角本节内容4.34.3.1角与角的大小比较观察如图，钟面上的时针与分针、圆规的两只脚之间、折扇的扇骨与扇骨之间都给我们以什么样的形象？这里有许多角……角是由具有公共端点的两条射线组成的图形.如图，将射线OA绕点O旋转到OB位置时，就出现了角的形象.因此，我们把一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一位置时所成的图形叫做角.其中，射线的端点O叫做角的顶点.始边角的内部BOA射线原来所在的位置OA叫做角的始边，旋转后的位置OB叫做角的终边，角的始边和终边统称为角的边.从始边旋转到终边所扫过的区域，叫做角的内部.角的大小由角的始边绕顶点旋转至终边时旋转的量的大小决定.当射线绕端点旋转到与原来的位置在同一直线上但方向相反时，所成的角叫做平角.如图.当射线绕端点旋转一周，又重新回到原来的位置时，所成的角叫做周角.如图.角的始边可以绕顶点沿顺时针或逆时针方向旋转，本书只研究角的大小，不计方向.注意如果没有特别说明，本书所讲的角只限于不大于平角的角.角通常可用如图所示的方法来表示.OAB1α∠AOB，∠BOA或∠O∠1α怎样比较图中的∠ABC和∠DEF的大小？探究BCAEFD可用量角器量与线段长短的比较类似，可以把它们叠合在一起比较大小先将∠DEF移动，使它的顶点E与∠ABC的顶点B重合，并且使∠DEF的一条边EF与∠ABC的一条边BC重合，边ED，BA都在BC的同侧.这时可能出现的情形如下表：情形图形∠ABC与∠DEF的关系ED与BA重合∠ABC=∠DEFED落在∠ABC内部∠ABC∠DEFED落在∠ABC外部∠ABC∠DEFA(D)C(F)B(E)AC(F)B(E)DDC(F)B(E)A以一个角的顶点为端点的一条射线，如果把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线.如图，若OC是∠AOB的平分线，12AOCBOCAOB.则OABC练习1.图中有哪几个角？用适当的方式将这些角表示出来．答：∠ABC，∠BCE，∠BCD，∠ECD.图3-242.对于如图所示的各个角，用“”、“”或“=”填空：∠AOB∠AOC，∠DOB∠BOC，∠BOC∠AOD，∠AOD∠BOD.图3-253.在一张纸片上画一个角，通过折纸折出这个角的平分线.4.3.2角的度量与计算我们用角的始边绕顶点旋转到终边位置的旋转量来度量角的大小，旋转量用“度”来表示.把一个周角（即它的旋转量）分为360等份，每一等份叫做1度，记做1°，如图.因此，一个周角等于360°，一个平角等于180°.平角的一半（即90°的角）叫做直角.小于直角（即小于90°）的角叫做锐角.大于直角但小于平角（即大于90°但小于180°）的角叫做钝角.我们可以用量角器来测量一个角的大小，但有时一个角的度数并不一定是整数，这时与长度单位一样，需要考虑用更小的单位来度量.把1°的角分成60等份，每一等份叫做1分，记做1′；再把1′的角分成60等份，每一等份叫做1秒，记做1″.即''''''''111=601=601=1=6060,,,.度、分、秒是角的基本度量单位.度、分、秒之间的换算是60进制，这与时间的时、分、秒之间的换算是一样的.例1用度、分、秒表示54.26°.解54.26°=54°+0.26°.又0.26°=0.26×60′=15.6′=15′+0.6′，而0.6′=0.6×60″=36″，因此，54.26°=54°15′36″.例2用度表示48°25′48″.解''''148=48=0.860,'125.8=25.8=0.4360,因此，48°25′48″=48.43°例3计算：（1）37°28′+24°35′；（2）83°20′-45°38′20″解（1）37°28′+24°35′=61°63′=62°3′；（2）83°20′-45°38′20″=82°79′60″-45°38′20″=37°41′40″.练习1.填空：（1）0.65°=′；（2）32.43°=°′″；（3）120°38′54〃=°；（4）108°40′24″=°.39322548120.65108.673.计算：（1）72°12′+50°40′30″；（2）113°50′40″-57°48′42″.122°52′30″56°1′58″3.10时整，钟表的时针与分针之间所成的角的度数是多少？15时整呢？答：10点整，钟表的时针与分针之间所成的角度数为60度，15点整所成的角是90度.做一做如图，量一量，算一算，∠1+∠2，∠3+∠4的度数分别是多少？1234∠1=30°,∠2=60°∠1+∠2=90°.∠3=120°,∠4=60°∠3+∠4=180°.如果两个角的和等于一个平角，那么说这两个角互为补角(简称互补)，也说其中一个角是另一个角的补角.如果两个角的和等于一个直角，那么说这两个角互为余角(简称互余)，也说其中一个角是另一个角的余角.例如，34°的角与56°的角互为余角，图(a)中的∠1与∠2互为余角；48°的角与132°的角互为补角，图(b)中∠3与∠4互为补角.12（a）34（b）（1）如图（a），∠1与∠2互补，∠1与∠3互补，那么∠2与∠3的大小有什么关系？动脑筋相等（a）由于∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，所以∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠1.因此∠2=∠3（等量代换）.（a）结论同角(或等角)的补角相等.（2）如图（b），∠4与∠5互余，∠4与∠6互余，那么∠5与∠6的大小有什么关系？相等（b）类似地，我们可以得到∠5=∠6.（b）结论同角或等角的余角相等.例4如图，∠AOB与∠BOD互为余角，OC是∠BOD的平分线，∠AOB=29.66°，求∠COD的度数.解因为∠AOB与∠BOD互为余角，所以∠BOD=90°-∠AOB=90°-29.66°=60.34°.又因为OC是∠BOD的平分线，因此，∠COD的度数为30.17°.29.66°60.34°所以11==60.34=30.17.22CODBOD°°∠∠×30.17°例5已知一个角的余角是这个角的补角的，求这个角的度数13解设这个角为x°，则这个角的余角为（90-x）°，补角为（180-x）°.根据题意，得，解得x=45.因此，这个角的度数为45°.190=1803xx--()练习1.填空：（1）105°26′的补角等于；（2）28°25′32″的余角等于.74°34′61°34′28″2.如图，∠BOD=118°，∠COD是直角，OC平分∠AOB，求∠AOB的度数.答：∠AOB的度数为56度.小结与复习1.直线、射线、线段有什么区别与联系？怎样比较线段的长短？2.什么样的图形是角？3.角的大小用什么单位表示？怎样比较两个角的大小？4.同角或等角的余角有什么关系？同角或等角的补角有什么关系？本章知识结构几何图形立体图形平面图形直线射线线段角两点确定一条直线长短比较两点之间线段最短度量与计算大小比较余角与补角角平分线同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等1.为了区分有公共顶点的几个角，一般用三个大写字母表示角.注意2.角的大小由始边绕顶点旋转到终边位置的旋转量确定，与所画角的边的长短无关（角的边是两条射线）.3.角的度、分、秒之间的换算是60进制.4.如果没有特别说明，本书中所讲的角只限于不大于平角的角.中考试题例1如图所示，图中小于平角的角的（）.A.4个B.5个C.6个D.7个解析图中小于平角的角有：∠B，∠BAD，∠BAC，∠BDA，∠ADC，∠C，∠DAC共7个.故，应选择D.D结束