自动控制原理(11J-10)

1§3.5自动控制系统的代数稳定判据本节主要内容：•系统稳定的概念•系统稳定的充分必要条件•稳定性的判定方法•稳定判据的应用2稳定是一个控制系统能否在实际中投入使用的首要条件。定性描述：稳定性是系统恢复原平衡状态的能力,是系统自身的固有属性，它只与系统自身的结构、参数有关（与输入无关）。系统处于平衡状态下，受到外界扰动作用后会偏离平衡状态（偏差）。如果该扰动消除后，系统在有限时间内能自动恢复到原平衡状态，则系统具有恢复原平衡状态的能力，这个系统是稳定系统；否则系统是不稳定。（图例）系统稳定性定义(BIBO)：在有界输入作用下，若动态系统输出响应也有界，则系统为稳定系统。3.5－1系统稳定性的概念稳定性是控制理论中的一项重要研究内容。33.5－2线性定常系统稳定的充要条件从系统的微分方程入手，可以确定系统稳定的充分必要条件。设线性定常系统微分方程为：)()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn系统传递函数为：4nnnnmmmasasasabsbsbsbsHsGsGsRsCsm1110110..........)()(1)()()()(1qjrknknkkjmiinmspszsKpspspszszszsK112212121)2()()())......()(())......()((q－实数极点的个数r－复共轭极点的对数系统阶次:n=q+2r5系统总响应＝通解＋特解通解取决于系统的固有特性－自然响应取决于系统的特征根（极点）－系统的结构及参数特解取决于系统的输入－强迫响应（控制作用）通解的一般形式：6为了使系统只受输入信号的控制，希望通解很快消失－是暂态响应。为此，令：0)(lim1tct线性定常系统稳定的充分必要条件为：系统特征方程的所有根（即闭环传递函数的所有极点）均具有负的实部。（或特征方程的所有根均在S平面的左半部）。0)(附：进一步的条件说明7根据充要条件，如果能将系统所有的极点求出，则可立即判断系统稳定性。但是对于高阶系统，系统极点是不易求出的。劳斯、霍尔维茨研究了线性系统稳定性判定方法，提出了代数稳定判据。1.劳斯(Routh)稳定判据2.霍尔维茨(Hurwitz)稳定判据3.谢绪恺稳定判据3.5－3系统稳定性判定方法－代数稳定判据8劳斯判据是基于代数方程式的根pi与系数ai关系而建立的线性系统稳定性判据。劳斯(Routh)判据设n阶系统的特征方程为：D(s)=a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an=(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=09要保证特征方程的全部特征根都具有负实部，必须满足：（1）特征方程的各项系数ai均不为零。(不能缺项)（2）特征方程的各项系数的符号必须相同。(全为正号)由此得：系统稳定的必要条件是特征方程的各项系数ai均大于零（也不能缺项）。（如何应用？）10sna0a2a4a6……sn-1a1a3a5a7……sn-2b1b2b3b4……sn-3c1c2c3c4……………s2f1f2s1g1s0h1,,,,,,141713131512121311171603151402131201bbbaacbbbaacbbbaacaaaaabaaaaabaaaaab其中：稳定的充分必要条件：特征方程的各项系数ai均大于零，并且劳斯表中第一列的所有元素均大于零。在此基础上，劳斯建立了判定系统稳定的充分必要条件。将特征方程的系数排成下面的行和列，即为劳斯阵列(劳斯表)。总行数应为n+111注意：劳斯表的每一行右边要计算到出现零为止；●总行数应为n+1;●如果计算过程无误，最后一行应只有一个数，且等于an；●可用一个正整数去乘或除劳斯表中的任意一行，不改变判断结果。sna0a2a4a6……sn-1a1a3a5a7……sn-2b1b2b3b4……sn-3c1c2c3c4……………s2f1f2s1g1s0h1劳斯判据：劳斯表中第一列的所有计算值均大于零，则系统稳定。如果第一列中出现小于或等于零的数，则系统不稳定。而且第一列各系数符号的改变次数，等于特征方程正实部根的数目。12关于劳思判据的几点说明•如果第一列元素中出现一个负值，则系统不稳定；•第一列元素符号改变的次数等于系统特征方程正实部根的数目，即系统中不稳定根的个数;•如果第一列中有元素等于零，或某一行值全为零,也说明系统不稳定。此时要特殊处理才可确定不稳定根。130322130asasasa000030130211312203asaaaaasaasaas例1三阶系统稳定性分析。已知三阶系统特征方程为：可以证明：二阶系统稳定的充要条件为：各项系数均大于零。结论：三阶系统稳定的充要条件为各系数大于零，并且满足：a1a2a0a3。劳斯阵列为：14例2系统特征方程为S4＋2S3＋3S2＋4S＋5=0试用劳斯判据判别系统是否稳定；若不稳定，确定正实部根的数目。因第一列出现负数，系统是不稳定的。且第一列系数符号改变两次，故特征方程有两个正实部根。解根据特征方程系数计算劳斯表15例2验证p=[1,2,3,4,5];r=roots(p)r=0.2878+1.4161i0.2878-1.4161i-1.2878+0.8579i-1.2878-0.8579i结果：有两个正实部的根。16例3某系统特征方程为：S4＋3S3＋3S2＋2S＋2=O试用劳斯判据判断系统的稳定性。因第一列出现负数，系统是不稳定的。且第一列系数符号改变两次，故特征方程有两个正实部根。解根据特征方程系数计算劳斯表17例3验证p=[1,3,3,2,2];r=roots(p)r=-1.5661+0.4588i-1.5661-0.4588i0.0661+0.8641i0.0661-0.8641i结果：有两个正实部的根。18例4系统特征方程：06423sss65.264110123ssss验证：p=[1,-4,1,6];r=roots(p)r=3.00002.0000-1.0000结果：有两个正实部的根。劳斯表中第一列元素符号改变两次，系统有2个右半平面的根。它有一个系数为负的，故系统不稳定。但究竟有几个正实部根，可用列劳斯表判定：19(不稳定)特殊情况一劳斯表某一行的第一个元素为零，而其他各项不为零。此时系统不稳定,但特征方程有几个正实部根需要进一步分析确定。这时可用一个足够小的正数取代为零的项，然后继续计算劳斯表余下系数，完成劳斯判据。例5系统的特征方程为S4+3S3+S2+3S＋1=0,试判别系统的稳定性。s4s3s2s1s011133013301因是非常小的正数,第四行符号变为负，系统不稳定；解:列劳斯表.由于符号变化两次,所以特征方程有两个正实部根。20例5验证p=[1,3,1,3,1];r=roots(p)r=-2.96560.1514+0.9885i0.1514-0.9885i-0.3372结果：有两个正实部的根。21（不稳定）特殊情况二：计算劳斯表时,若某一行各项全为零，则此系统不稳定的。这表明特征方程具有对称于原点的根（共轭虚根或符号相反的实根）。那些对称于原点的根可由辅助多项式等于零所构成的辅助方程求得：这时可将全为零行的前一行(即不为零的最后一行)的各项构成一个辅助多项式，再对辅助多项式求导，用所得方程的系数代替全部为零行的各项。进一步计算余下各行，即可求得对称于原点的根。22例6系统特征方程为S5＋S4十3s3十3s2＋2S＋2=0，试判别系统的稳定性。构成辅助方程：Q（s）=S4＋3S2＋2=0求导后得:4S3十6S=0用其系数取代全为零的行，继续计算余下各行。由于劳斯表第一列元素未改变符号，所以系统没有位于S右半平面的根.但此时有位于虚轴上的共轭虚根（临界稳定）。解：列劳斯表23虚轴上根的求取由辅助方程:S4＋3s2＋2=0求得:（S2＋1）•（S2＋2）=0故:S1、2=±j，S3、4=±j结论:此系统有2对纯虚根,系统是不稳定的.2验证:p=[1,1,3,3,2,2];r=roots(p)r=-1.00000.0000+1.4142i0.0000-1.4142i-0.0000+1.0000i-0.0000-1.0000i243.5－4稳定判据的应用3．检验稳定裕量（相对稳定性）。2．分析系统参数变化对稳定性影响：利用稳定判据可以研究某个参数变化对系统稳定性的影响，确定使系统稳定的参数取值范围。1．判别系统的稳定性；25例7设控制系统结构图如图所示，试确定满足稳定要求时K1的取值范围.解系统的闭环传递函数为特征方称为：为使系统稳定，必须有（1）K10（2）由劳斯表得：a1a2-a0a30,应使K16综合考虑，使系统稳定的K1取值范围应为：0K1626应用稳定判据检验稳定裕量检验系统的稳定裕量，即检验系统的相对稳定性，采用以下方法：（3）利用代数判据对新的z特征方程进行稳定性判别。如新系统稳定,则说明原系统所有特征根均在新虚轴之左,原系统具有稳定裕量。否则其稳定裕量小于。（2）将s平面的虚轴向左移动某个数值,即令s=z-(为正实数）,代入系统特征方程,则得到关于z的特征方程。（1）判断原系统是否稳定。只有原系统稳定时,才有检验稳定裕量的必要。27例8已知系统特征方程为2S3＋10s2＋13s＋4=0，希望系统稳定裕量=1，试检验系统是否能达到此稳定裕量。（3）利用劳斯判据对新特征方程进行稳定性判断。（2）令：s=z-=z-1,代入特征方程得：2z3+4z2-z-1=0由于所有系数均大于零，且a1a2-a0a30,因此系统稳定。解（1）首先判别系统是否稳定问题:试确定系统的稳定裕量=?第一列符号变化一次,系统不稳定。则原系统达不到=1的稳定裕量。28例9结构不稳定系统问题系统结构图如图所示，试分析参数K1，K2，K3和T对系统稳定性的影响。32123321)()(KKKsTsKKKsRsC0)(32123KKKsTssD由于特征方程缺项，不论K1，K2，K3和T取何值,系统总是不稳定的，此为结构不稳定系统。特征方程为:解:系统的闭环传递函数29要使系统稳定，必须改变系统的结构。如在原系统的前向通道中引入一比例微分环节，如图所示：)1()1()1()()(3212321sKKKTsssKKKsRsC0)(32132123KKKsKKKsTssD特征方程为:变结构后系统的闭环传递函数为:30列劳斯阵列：32103213211321232131KKKsTKKKKKKsKKKsKKKTsTKKKT及0,0321即对于结构不稳定系统，改变系统结构后，只要适当选配参数就可使系统稳定。系统稳定的充分必要条件为：31练习题设系统的特征方程为：0433ss试用劳思判据确定正实部根的个数。32解：将特征方程系数列成劳斯表321104sss－3由表可见，第二行中的第一列项为零，所以第三行的第一列项出现无穷大。为避免这种情况，可用取代0，作进一步分析。也可用因子(s+a)乘以原特征式，其中a可为任意正数，这里取a=1。3340ss33于是得到新的特征方程为：043)1)(43(2343sssssss将特征方程系数列成劳斯表：43210134114424sssss结论：系统不稳定。第一列有两次符号变化，故特征方程有两个正实部根。34谢绪恺判据系统的特征方程式：上式根全部具有负实部的必要条件为其根全部具有负实部的充分条件为1976年中国学者聂义勇进一步证明，可将此充分条件放宽为此判据被称为谢绪恺判据。谢绪恺判据完全避免了除法，且节省了计算量。35补充题:反馈控制系统如图所示，其中：201)(;)10()40()(ssHsssKsG（1）确定使系