自动控制原理-胡寿松-第四章-线性系统的根轨迹法

第四章线性系统的根轨迹法问题的引入（为什么要画根轨迹？）从第三章的学习我们知道：系统的动态特性和稳定性主要取决于系统闭环特征方程的根的分布。但是，求解高阶系统的特征根非常困难（除了用matlab)。1948年，伊文思(w．R．Evans)，在“控制系统的图解分析”一文中，提出了根轨迹法——根轨迹法由开环传递函数间接判断闭环特征根的概略图，从而避免了直接求解系统闭环特征根的困难。根轨迹法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用非常简便，特别在进行多回路系统分析时，应用起来比其他方法更为方便，在工程实践中广泛应用。(举例：嫦娥发射，吴宏鑫院士的报告)（P控制时）本章内容结构基本概念根轨迹图的绘制根轨迹图分析(考试、考研）根轨迹绘制(考试重点）根轨迹的绘制(考研会考）参量根轨迹的绘制(考研会考）018000本章目录4-1根轨迹的基本概念4-2180度根轨迹的绘制4-30度根轨迹的绘制4-4参量（数）根轨迹的绘制4-5利用根轨迹分析系统性能4-6控制系统复域设计4-1根轨迹法的基本概念1.根轨迹的定义例1定义：当开环系统的某一参数从零到无穷变化时，闭环特征根在s平面上形成的轨迹，叫做根轨迹。2.根轨迹与系统性能(为何要绘制根轨迹，根轨迹的用途）有了根轨迹图，可以立即分析系统的各种性能。1)稳定性：当参数变化时，若根轨迹是否进入S平面的右半平面？参数为何值时进入？当所有根轨迹分支都在左半平面时，系统稳定。2)稳态性能：回忆：稳态性能主要取决于系统的开环增益和积分环节个数。由根轨迹图不仅可以方便的确定开环增益和积分环节个数，而且可以根据给定系统的稳态误差要求,确定闭环极点位置的容许范围。3)动态性能：回忆：动态性能形态主要取决于系统的——闭环极点。从根轨迹图上，可以直观地看到特征根随着参数的变化情况，从而，可以方便地确定动态性能随着参数的变化情况。3.根轨迹法的基本任务如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。一旦确定闭环极点后，传递函数的形式便不难确定，因为闭环零点可由开环传递函数直接求得。在已知闭环传递函数的情况下，闭环系统的时间响应可利用拉氏变换的方法求出。简而言之，就是由根轨迹图求系统的闭环极点。4.根轨迹方程（首一式）（首一式）与静态误差系数法所用的标准形式不同221212*12212221121121fiiqviiszKsssGsKsTsTsTssp2*12212KKTT注意：首一式和尾一式的转换关系尾一式首一式根轨迹增益与开环增益的转换关系5.绘制根轨迹的两个基本条件也就是说，绘制根轨迹时，只需要使用相角条件即可。纯粹用试验点的办法手工作图，工作量是十分巨大的，而且对全貌的把握也很困难，于是人们研究根轨迹图的基本规则，以便使根轨迹绘图更快更准。4-2180度根轨迹（常规根轨迹）的绘制*11,limlim0,ninmimssjjspnmKsnmsz（无穷零点）（无穷极点）(1)nm（续）且均为实数开环零、极点。（续）（续）由两个极点（实数极点或者复数极点）和一个有限零点组成的开环系统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当从零变化到无穷时，闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到重根点的距离为半径的一个圆，或圆的一部分。这在数学上是可以严格证明的。*K小结论：（续）另外，如果开环系统只有无限零点，则在重根点方程中取110mjjdz0（续）实际上是条件极值问题。闭环系统特征方程具有实数等根或者复数等根时，为某一极值。(参考文献）*K（续）例4-3P155（续）考试要求做成如上形式的图形。根与系数的关系可证此结论，P158规则9对于判断根轨迹的走向很有用。熟记P157表4-1，考试、考研必考根轨迹的绘图与定性、定量讨论。(考试时，标准根轨迹概略图如何画？）请牢记三句话：绘制根轨迹——依据的是开环零极点分布，遵循的是不变的相角条件，画出的是闭环极点的轨迹。注意：规则9的体现，左右平衡（草图）应当指出，由于matlaba软件包功能十分强大，运行相应的matlab文本，可以方便的获得系统准确的根轨迹图。今天，在计算机上绘制根轨迹已经是很容易的事，由于计算机强大的计算能力，所以计算机绘制根轨迹大多采用直接求解特征方程的方法，也就是每改变一次增益K求解一次特征方程。让K从零开始等间隔增大，只要K的取值足够多足够密，相应解特征方程的根就在S平面上绘出根轨迹补充：用matlab绘制精确的根轨迹图用Matlab绘制根轨迹图十分准确、快捷。现在用一个例子来说明用法。[例]考虑负反馈系统,设其中)14.1)(6)(4()42()()(22sssssssKsHsG用Matlab绘制根轨迹只要知道开环传递函数分子分母的系数，并分别填入分子向量num和分母向量den中，然后调用绘制根轨迹的专用函数rlocus就行了。num=[124];den=[111.63943.6240];rlocus(num,den)在Matlab的命令窗（CommandWindow）中执行这个程序，运行后就自动绘出根轨迹如图，从根轨迹图可以看出：当0K14或64K195时闭环系统稳定。用光标敲击根轨迹上的某一点会出一个文字框，标出该点的座标、K值、阻尼系数、超调量、频率等。对于本例，最简单的程序就是：)14.1)(6)(4()42()()(22sssssssKsHsG在MATLAB窗中，进入File\Export，可将绘出的根轨迹图存为需要的图形文件，比如命名为kka.jpg，这个图形文件可以插入Word文挡。与绘制根轨迹有关的函数还有：pzmap——绘制根轨迹的开环零、极点rlocfind——计算给定点的K值sgrid——在连续系统根轨迹图上绘制阻尼系数和自然频率栅格zgrid——在离散系统根轨迹图上绘制阻尼系数和自然频率栅格例如，在上列程序之后增加语句：[k,p]=rlocfind(num,den)执行后用光标（十字）左单击根轨迹上的任一点，会同时在每支根轨迹上出现红十字——标出n个闭环极点的位置，命令窗中出现这n个闭环极点的座标该点和它们对应的K值。Matlab文本：G=tf([1],[1320]);pzmap(G);rlocus(G);例考虑负反馈系统,其中11,))(1()3()()(2aasssssKsHsG如果按基本规则，图6（a）和6（b）两种形状都有可能性，实际上用Matlab绘出是图6（a），当a增加时根轨迹的中间部分在变化，当a=12Matlab绘出根轨迹如图6（b）。(b)(a)图4-6两种根轨迹4-30度根轨迹的绘制一般来说，零度根轨迹的来源有两个：一种是非最小相位系统中包含S最高次幂的系数为负的因子；其二是控制系统中包含有正反馈的内回路。前者是被控对象本身特性所产生的，或者是在系统结构图变换过程中所产生的；后者是由于某种性能指标要求，是的复杂的控制系统设计中，必须包含正反馈内回路所致。（P165）注：非最小相位系统概念指在S右半平面具有开环零极点的控制系统。0度根轨迹的规制规则熟记P166，表4-34.84-4参量根轨迹的绘制为4-5利用根轨迹分析系统的性能1.闭环极点的确定4.41）比较简单的做法是：先绘制根轨迹图，然后用试探法确定实数闭环极点的数值，最后用综合除法得到其余的闭环极点。2）Matlab求解会很简单（降幂长除法）模值条件2.附加开环零点对系统性能的影响在控制系统设计时，我们常用附加位置适当的开环零点的方法来改善系统性能。因此，研究开环零点变换时的根轨迹变化，有很大的意义。规则9的体现3.闭环系统零、极点位置对系统时间响应的影响（结合根轨迹图）若具有靠近原点的偶极子，则这种偶极子不能省去。(实际3-6倍即可。)P81P168e1欠阻尼二阶系统的超调量考试、考研题型：给定超调量，利用主导极点的概念求出满足超调量要求的增益。闭环极点分布与暂态分量的运动形式（模态的概念）σj——闭环极点位置的共轭——4.性能分析举例4.64.7（两种情况）第四章考试、考研题型题型一1.给定系统的开环传递函数，绘制系统的根轨迹2.根据稳定性或者稳态误差的要求，确定更轨迹增益的取值或取值范围。进而确定响应的闭环极点。3.讨论改善系统性能的举措（添加零极点等）题型二1.给定系统的开环传递函数，绘制根轨迹图。2.进一步给定系统的动态性能要求（比如阻尼比），利用主导极点的概念确定系统的闭环极点，和所对应的根轨迹增益。题型三参数根轨迹绘制注：以上题型不会单独出，往往会结合第二章和第三章的题一起出。4-6控制系统的复域设计控制系统根轨迹设计法的基本思路：首先，利用已知的系统开环零、极点分布绘制系统的根轨迹图，根轨迹图应当是准确的(可以利用matlab绘制）。第一种情况：由系统的稳定性及稳态误差等要求确定下根轨迹增益，利用根轨迹图通过图解法找出闭环极点(试探法、综合除法等）。一旦确定闭环极点后，闭环传递函数的形式便不难确定，因为闭环零点利用开环传递函数很容易直接得到。在已知闭环传递函数的情况下，闭环系统的时间响应可利用拉氏变换的方法求出。第二种情况：由系统的性能指标（超调量，振荡与否等），先确定系统的闭环极点，进而利用模值条件确定根轨迹增益。(通常这种设计方法与闭环主导极点、二阶系统的阻尼比联系比较密切）第三种情况：复杂校正装置的设计，如附加开环零点等。例4-9自动平衡称系统要求完成以下工作：1）建立系统的模型及信号流图2）在根轨迹图上确定根轨迹增益的取值3）确定系统的主导极点并使设计后的系统达到以下性能指标要求：1）阶跃输入作用下无稳态误差。2）欠阻尼响应:3）调节时间：解题思路：建模后，绘出参数根轨迹，利用主导极点的概念和希望的阻尼比确定出期望的主导极点，最后算出根轨迹增益。（本质上此题很简单，只是建模复杂。）0.52(2%)sts解：1）首先弄清工作原理后，建立系统数学模型。建立各个环节的数学模型，画出系统的信号流图，利用梅森公式求出系统的数学模型。系统的闭环传递函数为：32322/()()1(/)(/)(/)(/)wiimsimsfiimscimsfllKKKJsXsWsflJsKKKslKKKWJsflKKKJs系统的信号流图见图4-28，从信号流图中看出，系统中含有一个积分环节，因此为1型系统，因此系统对阶跃输入信号的稳态误差为0。2）为了绘制电动机传递系数（含放大器附加增益）变化时系统的根轨迹，可将有关参数代入传递函数中，并将系统的特征方程进行整理，等价根轨迹增益方程为：mK**2()(6.936.93)(6.936.93)11()(13.86)PssjsjKKQsss绘制系统的根轨迹为：G=zpk([-6.93+6.93i-6.93-6.93i],[00-13.86],1);z=0.5;figure(1);rlocus(G);sgrid(z,'new');axis([-405-1010])在根轨迹图上，做希望的阻尼比线，得闭环极点0.51,234.497.77,30.4sjs根据模值条件，不难求得与上述闭环极点对应的。*25.5K3）在上述设计中，显然，为系统的主导极点；为非主导极点，其对动态响应的影响甚微，可略去不计。因而本设计完成的自动平衡称系统必为的欠阻尼响应。330.4s1,24.497.77sj0.5系统的调节时间为：满足设计指标要求。4.40.98(2%)sts系统的单位阶跃响应时间曲线如图：figure(2);rlocus(G);holdon;K=25.5;rlocus(G,K)sys=tf([3.0596],[0.051.968817.6946122.3838]);figure(3);step(sys)例4-10自动焊接头控制自动焊接头需要进行精确定位控制，其控制系统结构图如图所示，图中，为放大器增益，为测速反馈系数。设计要