第6章 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计

第6章无限脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计第6章无限脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计6.1数字滤波器的基本概念6.2模拟滤波器的设计6.3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器6.4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器6.5数字高通、带通和带阻滤波器的设计第6章无限脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计6.1数字滤波器的基本概念数字滤波器是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的线性移不变系统、数字器件或程序。数字滤波的概念和模拟滤波相同，只是信号的形式和实现滤波方法不同。因为数字滤波通过数值运算实现滤波，所以数字滤波器处理精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。如果要处理的是模拟信号，可通过A/DC和D/AC，同样可以使用数字滤波器对模拟信号进行滤波。第6章无限脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计数字滤波器是对信号实现滤波的线性移不变系统（数字系统或时域离散系统）。x(n)y(n)h(n)1.数字滤波器的滤波原理输入序列x(n)，通过单位抽样响应为h(n)的线性移不变系统（数字滤波器）后，其输出响应y(n)为：nmnxmhnhnxny)()()()()(将上式两边经过傅里叶变换，可得：)()()(jjjeHeXeY式中，Y(ejω)、X(ejω)分别为输出序列和输入序列的频谱，H(ejω)是系统的频率响应。第6章无限脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计如果|H(ejω)|的值在某些频率上是比较小的，则输入信号经过滤波后在这些频率点上的幅值被抑制。因此，可以按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择H(ejω)，使得滤波后的X(ejω)H(ejω)符合要求，这是滤波器的滤波原理。)()()(jjjeHeXeY上式可以理解为：输入序列原频谱为X(ejω)，经过数字滤波器（频率响应为H(ejω)）滤波后，频谱变为X(ejω)H(ejω)。第6章无限脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计2.数字滤波器的分类经典滤波器的特点是其输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带，通过一个合适的选频（1）数字滤波器总体上可分为两大类：经典滤波器和现代滤波器。第6章无限脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计用经典滤波器从噪声中提取信号输入信号x(t)中含有干扰，其时域波形。x(t)频谱图，可见信号和干扰的频带互不重叠低通滤波器滤除干扰,得到纯信号第6章无限脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计但是，如果信号和干扰的频谱相互重叠，则经典滤波器不能有效地滤除干扰，为了最大限度地恢复信号，这时就需要现代滤波器，例如维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等最佳滤波器。现代滤波器是根据随机信号的一些统计特性，在某种最佳准则下，最大限度地抑制干扰，同时最大限度地恢复信号，从而达到最佳滤波的目的。本课程仅介绍经典滤波器的设计分析与实现方法，而现代滤波器属于随机信号处理范畴。第6章无限脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计（2）经典数字滤波器从幅度特性上分类，可以分成低通、高通、带通和带阻等滤波器（选频滤波器）理想低通、高通、带通和带阻滤波器幅度特性)(ejHo－2－2)(ejHo－2－2)(ejHo－2－2)(ejHo－2－2(a)(b)(c)(d)低通高通带通带阻||c||c保留介于低频和高频之间的频率分量滤除介于低频和高频之间的频率分量第6章无限脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计数字滤波器的频率响应函数H(ejω)都是以2π为周期的，低通滤波器的通频带中心位于2π的整数倍处，而高通滤波器的通频带中心位于π的奇数倍处，与模拟滤波器不同。一般在数字频率的主值区[-π,π]描述数字滤波器的频率响这种幅度特性为理想矩形的滤波器是不可能实现的，因为它们的单位脉冲响应均是非因果且无限长的。只能在误差容限内逼近理想滤波器，即按照某些逼近指标来设计滤波器。第6章无限脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计（3）数字滤波器从单位脉冲响应长度或者从实现的网络结构分类，可以分成无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器和有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为：两式分别是N阶IIR数字滤波器系统函数和N-1阶FIR数字滤波器系统函数。这两种数字滤波器的设计方法有很大区别，分成两章分别进行学习。01()1MkkkNkkkbzHzaz10()()NnnHzhnz第6章无限脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计（4）根据滤波器对信号的处理作用又将其分为选频滤波器和其他滤波器。上述低通、高通、带通和带阻滤波器均属于选频滤波器，其他滤波器有微分器、希尔伯特变换器、频谱校正等滤波器可用于信号过滤、信号分离、信道均衡、信号检测、参数估计、波形形成和调制解调等。所以学习滤波第6章无限脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计3.数字滤波器的技术指标常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。设数字滤波器的频率响应函数H(ejω)表示为：H(ejω)=|H(ejω)|ejθ(ω)式中，|H(ejω)|称为幅频特性函数;θ(ω)称为相频特性函数。幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分振幅衰减情况，而相频特性反映信号通过该滤波器后各频率成分的延时情况。因此，即使两个滤波器幅频特性相同，而相频特性不同，对相同的输入，滤波器输出的信号波形也是不一样的。第6章无限脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计一般选频滤波器可以根据幅频特性指标来设计，后面介绍的几种典型滤波器（如巴特沃斯滤波器），都是根据幅频特性指标来设计的。但如果对输出波形的相位有要求，则需要考虑相频特性技术指标，例如波形传输、图像信号处理等。下面介绍的IIR数字滤波器的设计中主要研究根据幅频特性指标来设计选频滤波器。如果对输出波形有严格要求（有相位要求），则需要设计线性相位数字滤波器（FIR数字滤波器），这部分内容在第7章介绍。第6章无限脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计对于各种理想选频滤波器，因为它们的单位脉冲响应均是非因果且无限长的，所以是不可能实现的，我们必须设计一个因果稳定的滤波器去近似实现，同时也要考虑复杂性与成本问题。第6章无限脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计低通滤波器的幅频特性指标示意图1-δ1)(ejH通带过渡带阻带o1ωpωstπωωc0.707δ2因此实际的选频滤波器的通带和阻带中都允许一定的误差容限，即通带不是完全水平的，阻带不是绝对衰减到零，而且在通带与阻带之间还存在一定宽度的过渡带。第6章无限脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计ωp和ωs分别称为通带截止频率和阻带截止频率；通带频率范围为0≤|ω|≤ωp，在通带中要求(1-δ1)|H(ejω)|≤1；阻带频率范围为ωs≤|ω|≤π，在阻带中要求|H(ejω)|≤δ2；从ωp到ωs称为过渡带，过渡带上的频响一般是单调下降的。1-δ1)(ejH通带过渡带阻带o1ωpωstπωωc0.707δ2低通滤波器的幅频特性第6章无限脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计通常，通带内和阻带内允许的衰减一般用分贝数表示，通带内允许的最大衰减用p表示，阻带内允许的最小衰减用s表示。1-δ1)(ejH通带过渡带阻带o1ωpωstπωωc0.707δ2低通滤波器的幅频特性第6章无限脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计对低通滤波器，通带最大衰减p和阻带最小衰减s分别定义为：1-δ1)(ejH通带过渡带阻带o1ωpωstπωωc0.707δ2低通滤波器的幅频特性jppjmax|(e)|20lgdB,0min|(e)|HH通带中通带中jsjmax|(e)|20lgdBmax|(e)|HH通带中阻带中第6章无限脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计1-δ1)(ejH通带过渡带阻带o1ωpωstπωωc0.707δ2低通滤波器的幅频特性显然，p越小,通带波纹越小，通带逼近误差就越小；s越大,阻带波纹越小，阻带逼近误差就越小；ωp与ωs间距越小,过渡带就越窄。所以低通滤波器的设计指标完全由通带截止频率ωp、通带最大衰减p、阻带截止频率ωs和阻带最小衰减s确定。第6章无限脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计低通滤波器的幅频特性指标示意图若幅频特性单调下降幅频特性，p和s可以分别表示为：dB|)e(||)e(|lg20pj0jpHHdB|)e(||)e(|lg20sj0jsHH对其他类型的滤波器，H(ej0)应改成，ω0为滤波器通)(0jeH第6章无限脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计低通滤波器的幅频特性指标示意图如果将|H(ej0)|归一化为1，p和s可以分别表示为：dB|)e(|lg20pjpHdB|)e(|lg20sjsH第6章无限脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计低通滤波器的幅频特性指标示意图当幅度下降到时，标记ω=ωc，此时，称ωc为3dB通带截止频率。2/2cj20lg|(e)|3dBHωp、ωc和ωs统称为截止频率，它们是滤波器设计中的重要的参数。第6章无限脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计（1）按照实际任务要求，确定滤波器的性能指标（2）用一个因果稳定的线性移不变系统去逼近这一性能要求。根据不同要求可以用IIR系统函数，也可以用FIR系统函数去逼近。（3）利用有限精度算法来实现这个系统函数。包括：选择运算结构，选择合适的字长（包括系数量化及输入变量、中间变量和输出变量的量化）以及有效数字的处理方法（舍入、截尾）等。（4）实际的技术实现，包括：用通用计算机软、专用数字滤波器硬件、或用专业的或通用的数字信号处理器来实现。本章只研究第二步骤。4.数字滤波器设计方法概述第6章无限脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法完全不同。IIR滤波器设计方法有间接法和直接法。间接法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。设计步骤是：先设计过渡模拟滤波器得到系统函数Ha(s)，然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。采用间接法设计IIR滤波器是因为模拟滤波器的设计方法已经很成熟，不仅有完整的设计公式，还有完善的图表和曲线供查阅；还有一些典型的优良滤波器类型可供使用。直接法是直接在频域或者时域中设计数字滤波器，由于要解联立方程，设计时需要计算机辅助设计。FIR滤波器不能采用间接法，常用的设计方法有窗函数法、频率采样法和切比雪夫等波纹逼近法。第6章无限脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计对于线性相位滤波器，经常采用FIR滤波器。可以证明，FIR滤波器的单位脉冲响应满足一定条件时，其相位特性在整个频带是严格线性的，这是模拟滤波器无法达到的。当然，也可以采用IIR滤波器，但必须使用全通网络对其非线性相位特性进行校正，这样增加了设计与实现的本章只介绍IIR滤波器的间接设计方法。所以先介绍模拟低通滤波器的设计，再介绍模拟滤波器映射成数字滤波器的方法。第6章无限脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计6.2模拟滤波器的设计模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有多种典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Ellipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等。这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用，而且所设计的系统函数都满足电路实现条件。这些典型的滤波器各有特点：巴特沃斯滤波器具有单调下降的幅频特性；切比雪夫滤波器的幅频特性在通带或者阻带有等波纹特性，可以提高选择性；贝塞尔滤波器通带内有较好的线性相位特性；椭圆滤波器的选择性相对前三种是最好的，但通带和阻带内均呈现等波纹幅频特性，相位特性的非线性也稍严重。设计时，根据具体要求选择第6章无限脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计选频型模拟滤波器按幅频特性可分成低通、高通、带通和带阻滤波器。但设计滤波