化工仪表及自动化第8章

化学工业出版社内容提要数学模型及描述方法被控对象数学模型数学模型的主要形式机理建模一阶对象积分对象时滞对象1化学工业出版社内容提要描述对象特性的参数放大系数Κ时间常数Τ滞后时间τ实测建模2化学工业出版社第一节数学模型及描述方法自动控制系统是由被控对象、测量变送装置、控制器和执行器组成。研究对象的特性，就是用数学的方法来描述出对象输入量与输出量之间的关系。这种对象特性的数学描述就称为对象的数学模型。干扰作用和控制作用都是引起被控变量变化的因素，如下图所示。通道调节通道干扰通道？几个概念3一、被控对象数学模型图8-1对象的输入、输出量化学工业出版社第一节数学模型及描述方法一般是在工艺流程和设备尺寸等都确定的情况，研究对象的输入变量是如何影响输出变量的。研究的目的是为了使所设计的控制系统达到更好的控制效果。在产品规格和产量已确定的情况下，通过模型计算，确定设备的结构、尺寸、工艺流程和某些工艺条件。（a）（b）（c）用于控制的数学模型（a、b）与用于工艺设计与分析的数学模型（c）不完全相同。5化学工业出版社第一节数学模型及描述方法机理模型——从机理出发,即从对象内在的物理和化学规律出发,建立描述对象输入输出特性的数学模型。经验模型——对于已经投产的生产过程,我们可以通过实验测试或依据积累的操作数据,对系统的输入输出数据,通过数学回归方法进行处理。混合模型——通过机理分析,得出模型的结构或函数形式，而对其中的部分参数通过实测得到。7化学工业出版社第一节数学模型及描述方法二、数学模型的主要形式8非参量模型当数学模型是采用曲线或数据表格等来表示时，称为非参量模型。特点形象、清晰，比较容易看出其定性的特征缺点直接利用它们来进行系统的分析和设计往往比较困难化学工业出版社第一节数学模型及描述方法当数学模型是采用数学方程式来描述时，称为参量模型。参量模型9静态数学模型比较简单,一般可用代数方程式表示。动态数学模型的形式主要有微分方程、传递函数、差分方程及状态方程等化学工业出版社对于线性的集中参数对象在允许的范围内，多数化工对象动态特性可以忽略输入量的导数项可表示为txtyatyatyatyannnn0111txbtxbtxbtxbtyatyatyatyammmmnnnn01110111通常可用常系数线性微分方程式来描述，如果以x（t）表示输入量，y（t）表示输出量，则对象特性可用下列微分方程式来描述（8-1）1.微分方程化学工业出版社txtyatya01举例一个对象如果可以用一个一阶微分方程式来描述其特性（通常称一阶对象），则可表示为（8-3）tKxtytyT0011,aKaaT或表示成式中（8-4）tKxtxaty01如果系统处于平衡状态(静态),变量的导数项均为零（8-5）化学工业出版社传递函数sXsYsG所谓一个环节(或对象)的传递函数是在初始条件为零时,这个环节输出变量的拉氏变换与输入变量的拉氏变换之比,记为（8-6）dtetfsFst0拉氏变换是对函数的一种变换,定义为（8-7）12化学工业出版社第一节数学模型及描述方法sXbssXbsXsbsXsbsYassYasYsasYsammmmnnnn01110111运用拉氏变换的线性性质与微分性质,对式(8-1)两端分别取拉氏变换,则得由此式可以方便地得到系统传递函数的一般形式01110111asasasabsbsbsbsXsYsGnnnnmmmm（8-8）13化学工业出版社第一节数学模型及描述方法sKXsYsTsY对于一阶对象,由式(8-4)两端取拉氏变换,得1TsKsG因此一阶对象的传递函数形式为（8-9）14化学工业出版社差分方程差分方程是一种时间离散形式的数学模型，用来描述在各个采样时刻的输入变量与输出变量数值之间的关系。kxbkxbmkxbmkxbkyakyankyankyammnn0110111111（8-10）式(8-10)称为n阶差分方程,当n=1时称为一阶差分方程。15化学工业出版社第一节数学模型及描述方法tkykydttdy1如果将各个信号经过采样,采样间隔时间(采样周期)为ΔttKxtydttdyT对于一阶微分方程（8-11）kKxkytkykyT1kKxkytTkytT11将上述关系代入式(7-11),可得或16化学工业出版社0011式中kxbkyakya0011写成一阶差分方程的一般形式,为（8-12）kxbkyakyakya001212对于二阶微分方程（8-13）kxabkyaaky101011121001010101010xabyaaykxabyaayk时，时，递推公式为17化学工业出版社第二节机理建模一、一阶对象1.水槽对象对象物料蓄存量的变化率＝单位时间流入对象的物料－单位时间流出对象的物料依据18化学工业出版社AdhdtQQ21（8-14）sRhQ2若变化量很微小，可以近似认为Q2与h成正比将上式代入（8-14）式，移项1QRhdtdhARssssRKART,1KQhdtdhT令则图8-2水槽对象11TsKsQsHsG水槽对象的传递函数为化学工业出版社ei若取为输入参数，eo为输出参数，根据基尔霍夫定理dtdeCi0由于ieedtdeRC00ieedtdeT00RCT消去i或图8-3RC电路化学工业出版社第二节机理建模二、积分对象当对象的输出参数与输入参数对时间的积分成比例关系时，称为积分对象。21dtQAdh11Q2为常数，变化量为0dtQAh11说明，所示贮槽具有积分特性。其中，A为贮槽横截面积（8-27）图8-4积分对象化学工业出版社第二节机理建模sQAssH11在初始条件为零时,根据拉氏变换的积分性质,对式(8-27)进行拉氏变换,则有AssQsHsG11积分对象的传递函数G(s)为22化学工业出版社第二节机理建模三、时滞对象有的对象或过程,在受到输入作用后,输出变量要隔上一段时间才有响应,这种对象称为具有时滞特性的对象,而这段时间就称为时滞τ0(或纯滞后)。时滞的产生一般是由于介质的输送需要一段时间而引起的。23化学工业出版社显然，纯滞后时间τ0与皮带输送机的传送速度v和传送距离L有如下关系：vL0（8-30）溶解槽及其反应曲线纯滞后时间举例化学工业出版社第二节机理建模从测量方面来说，由于测量点选择不当、测量元件安装不合适等原因也会造成传递滞后。图8-6蒸汽直接加热器当加热蒸汽量增大时，槽内温度升高，然而槽内溶液流到管道测温点处还要经过一段时间τ0。所以，相对于蒸汽流量变化的时刻，实际测得的溶液温度T要经过时间τ0后才开始变化。注意：安装成分分析仪器时，取样管线太长，取样点安装离设备太远，都会引起较大的纯滞后时间，工作中要尽量避免。25化学工业出版社时滞对象输入、输出特性x为输入量（8-31）000,0,tttxy0txysXesYs0将在初始条件为零时进行拉氏变换,得（8-32）sesG0因此,时滞对象的传递函数为化学工业出版社第二节机理建模0tKxtydttdyT对象可以用一阶微分方程式来描述,但输入变量与输出变量之间有一段时滞τ0（8-33）sXKesYsYTss0seTssG011在初始条件为零时,对上式进行拉氏变换,得这时整个对象的传递函数为（8-34）说明：基于机理通过推导可以得到描述对象特性的微分方程式或传递函数。27化学工业出版社第三节描述对象特性的参数一、放大系数K对于前面介绍的水槽对象，当流入流量Q1有一定的阶跃变化后，液位h也会有相应的变化，但最后会稳定在某一数值上。如果我们将流量Q1的变化ΔQ1看作对象的输入，而液位h的变化Δh看作对象的输出，那么在稳定状态时，对象一定的输入就对应着一定的输出，这种特性称为对象的静态特性。28化学工业出版社1QKhs或K在数值上等于对象重新稳定后的输出变化量与输入变化量之比。K越大，就表示对象的输入量有一定变化时，对输出量的影响越大，即被控变量对这个量的变化越灵敏。图8-8水槽液位的变化曲线化学工业出版社举例以合成氨的转换炉为例，说明各个量的变化对被控变量K的影响生产过程要求一氧化碳的转化率要高，蒸汽消耗量要少，触媒寿命要长。通常用变换炉一段反应温度作为被控变量，来间接地控制转换率和其他指标。图8-9一氧化碳变换过程示意图图8-10不同输入作用时的被控变量变化曲线化学工业出版社第三节描述对象特性的参数影响变换炉一段反应温度的因素主要有冷激流量、蒸汽流量和半水煤气流量。改变阀门1、2、3的开度就可以分别改变冷激量、蒸汽量和半水煤气量的大小。从右上图看出，冷激量对温度的相对放大系数最大；蒸汽量对温度的相对放大系数次之；半水煤气量对温度的相对放大系数最小。31化学工业出版社第三节描述对象特性的参数二、时间常数T32从大量的生产实践中发现，有的对象受到干扰后，被控变量变化很快，较迅速地达到了稳定值；有的对象在受到干扰后，惯性很大，被控变量要经过很长时间才能达到新的稳态值。图8-11不同时间常数对象的反应曲线化学工业出版社第三节描述对象特性的参数如何定量地表示对象受干扰后的这种特性呢？在自动化领域中，往往用时间常数T来表示。时间常数越大，表示对象受到干扰作用后，被控变量变化得越慢，到达新的稳定