第五讲多元复合函数的微分法

中南财经政法大学数学分析§2复合函数微分法凡是学过一些微积分的人,没有一个会对复合函数微分法的重要性产生怀疑.可以毫不夸张地说,谁不懂得复合微分法,谁就会在计算导数或偏导数时寸步难行.二、复合函数的全微分一、复合函数的求导法则一、复合函数的求导法则设函数(,)(,)xstyst与(1)定义在st平面的区域D上,函数(,)zfxy(2)定义在xy平面的区域__D上.若__(,)(,),(,),(,),xyxstyststDD则可构成复合函数:(,)((,),(,)),(,).zFstfstststD(3)其中(1)为内函数,(2)为外函数,(x,y)为中间变量,(s,t)为自变量.下面将讨论复合函数F的可微性,并导出F的偏导数与全微分的复合运算法则.(,),(,)xstyst(,)stD定理17.5若在点可(,)zfxy(,)((,),(,))xystst微，在点可微,则关于s与t的偏导数分别为((,),(,))zfstst(,)st复合函数在点可微，且(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,),.stxystxyststxystxystzzxzysxsyszzxzytxtyt(4)是22,yyyststst(6)(,),(,)xstyst(,)st证由假设在点可微,于11,xxxststst(5),zzzxyxyxy(7)现把(5),(6)两式代入(7)式，得到11zxxzststxst(,)(0,0)st1122(,,,)(0,0,0,0).其中时(,)zfxy(,)xy又由在点可微,故有(,)(0,0)xy(,)(0,0),其中时，并可补充0xy0.定义:当时,22.zyyststyst整理后又得其中1212,zzxyxyss(9),zxzyzsxsyszxzytstxtyt(8)1212.zzxyxytt(10)由于(,),(,)stst在点(,)st可微，因此它们在点(,)st都连续，即当(,)(0,0)st时，(,)xy1122(,,,)(0,0,0,0).(,)(0,0).故由(8)式推知复合函数(3)可微，并求得z关于s和t的偏导数公式(4)．(0,0),(,)(0,0),从而也有以及于是在(9),(10)两式中,当(,)(0,0)st时,有公式(4)也称为链式法则．能轻易省略的,否则上述复合求导公式就不一定成立．例如注如果只是求复合函数((,),(,))fstst关于s或t的偏导数,则上述定理中(,),(,)xstyst只s须具有关于s或t的偏导数就够了.因为以或t0s0,t除(7)式两边,然后让或也能得到相应的结果.但是对外函数f的可微性假设是不2222222,0,(,)0,0.xyxyxyfxyxy()(,),2tzFtfttd1.(4),d2zt有若形式地使用法则将得出错误结论:为内函数，则得到以t为自变量的复合函数(0,0)(0,0)0,xyff(,)fxy由§1习题6已知但(,)fxy,xtyt在点(0,0)不可微.若以为外函数,000(0,0)(0,0)dddddd01010.tttzzxzytxtyt这说明：在使用链式法则时，必须注意外函数可微这个条件.则复合函数11,(,,)(,,)mmfuuuu一般地若在点可微,函数组1(,,)(1,2,,)kknugxxkm1(,,)(1,2,,),nixxxin在点具有对于的偏导数11211((,,),(,,),,(,,))nnmnfgxxgxxgxx1(1,2,,).mkkikiuffinxux.zzxy求与解所讨论的复合函数以(u,v)为中间变量,(x,y)为自变量,并满足定理17.5的条件.故由关于自变量(1,2,,)ixin的偏导数为222ln(),e,1,xyzuvuvxy而例设试2221,,zuzuvuvuv22e,2e,2,1,xyxyuuvvyxxyxy根据公式(4)得到22221e2xyuxuvuvzzuzvxuxvx222(e),xyuxuv例2(,),cos,uuxyxr设可微在极坐标变换222221.uuuurxyr解把u看作,r的复合函数(cos,sin)uurr，因此有221(4e1).xyuyuvzzuzvyuyvysin,yr之下证明:cossin,uuxuyuurxryrxy(sin)cos.uuxuyuurrxyxy于是22221cossinuuuurxyr221sincosuurrxyr22.uuxy解复合后仅是自变量t的一元函数．于是ddddddddzzuzvzttutvttt例3dsin,e,cos,.dtzzuvtuvtt设其中求e(sin)costvutte(cossin)cos.tttt的复合函数对t求导数(这种导数又称为“全导数”);求偏导数．二者所用的符号必须有所区别．例4用多元复合微分法计算下列一元函数的导数:2(1)ln(1);(2).sincosxxxxyxyxx解(1)令,,,,vxyuvwuxwx从而有注上面第一个等式中，左边的ddzt是作为一元函数右边的zt是外函数(作为u,v,t的三元函数)对tddddddyyuyvwvxuxvwxx11ln[ln]xxxxxxxxxxxxxxx2(2),sincos,1,ln,vwyuxxvxwxu令则有21ln(ln).xxxxxxxx11ln[ln]vvxxvuuuxddddddddyyuyvywxuxvxwx221(sincos)(1)ln(sincos)xxxxxx由此可见，以前用“对数求导法”求一元函数导数的问题,如今可用多元复合函数的链式法则来计算.例5设(,),(1,1)1,(1,1),xfxyffa为可微函数21(cossin)2vwwvxxxuuxu21(sincos)(2ln).xxxxxx(1,1),()(,(,(,))),(1).yfbxfxfxfxx试求解令()(,),(,),(,),,xfxyyfxzzfxuuxdd()ddxyxyxzyzxffffffxx则有由于d1,(1,1),(1,1)(1,1)(1,1),dxyzuufafffbxd.dxyxzxuuffffffx而实用的写法(省去了引入中间变量):23(1)[()].abababaababb因此说明上面的解法是通过引进中间变量,,yzu后,借助链式法则而求得的;上述过程还有一种比较简洁121212()[(1)],xffffff[()].ababab121(1)(1,1)(1,1){(1,1)fff212(1,1)[(1,1)(1,1)]}fff(,)(,).xyyfxyxfxy0.fuuxuyxyrf证明:在极坐标系里只是的函数．为此设(,),cos,sin,ufxyxry则得证本题即是要证明:经极坐标变换后，f满足2Rf例6设在上的可微函数满足方程(sin)(cos)uurrxyuuyxxy是r的函数．f2Rf从而在上的极坐标系里与无关,于是只0.ffyxxy二、复合函数的全微分若以,xy为自变量的函数(,)zfxy可微,其全微分为(,),(,),xstystddd.zzzxyxy(11),xy,st如果作为中间变量,又是自变量的可微函数则由定理17.5知道,复合函数((,),(,))fstst是可微的,其全微分为ddzxzyzxzystxsysxtytdddd.zxxzyyststxstyst(12)由于,xy又是(,)st的可微函数,因此同时有ddd,ddd.xxyyxstyststst(13)dddzzzstst将(13)式代入(12)式,得到与(11)式完全相同的结果,这就是多元函数的一阶(全)微分形式不变性.必须指出,在(11)式中当,xy作为自变量时,dx和dy各自独立取值;当,xy作为中间变量时,dx和dy如(13)式所示,它们的值由,,d,dstst所确定．利用微分形式不变性,能更有条理地计算复合函数的全微分．例7esin()xyzxy设,利用微分形式不变性计d,z算并由此导出.zzxy与解令esin,,uzvuxyvxy．由于dddesindecosd,uuuvzzuzvvuvvddd,ddd,uyxxyvxy因此desin(dd)ecos(dd)uuzvyxxyvxy并由此得到e[sin()cos()]dxyyxyxyxe[sin()cos()]d,xyxxyxyye[sin()cos()],xyzyxyxyxe[sin()cos()].xyzxxyxyy复习思考题1.在一元函数章节里，利用对数求导法曾得到过一个结果:1()(1ln)ln.xxxxxxxxxxx不难看出等式右边两项恰好是把xx分别看成幂函数与指数函数求导数而得到的.有人认为这是偶然的巧合，也有人认为这是必然的结果．试问哪一种看法是正确的？请说出依据．到((,),(,),)uuxstystt,它是一个以,st为自变量的复合函数.考察下面计算复合函数偏导数的一种写法:,uuxuyutxtytt试问这个写法有何不妥？怎样纠正？2.设由可微的(,,),(,),(,)uuxytxxstyyst得