第五讲机器人学数理基础

第二章机器人技术数学基础机器人技术数学基础MathematicPreparationforRobotics一、位置和姿态的表示二、坐标变换三、齐次坐标变换四、物体的变换及逆变换一、位置和姿态的表示1.位置描述在直角坐标系A中，空间任意一点p的位置(Position)可用3x1列向量(位置矢量)表示：TzyxApppP][位置表示一、位置和姿态的表示2.方位描述空间物体B的方位(Orientation)可由某个固接于此物体的坐标系{B}的三个单位主矢量[xB,yB,zB]相对于参考坐标系A的方向余弦组成的3x3矩阵描述上述矩阵称为旋转矩阵333231232221131211rrrrrrrrrzyxBABABAABR一、位置和姿态的表示（1）旋转矩阵的特点由于旋转矩阵中每一列为单位向量，所以有由于旋转矩阵中三列向量两两相互垂直，所以有因此旋转矩阵是单位正交矩阵，具有如下特性：11RRRABTABAB0BABABABABABAxzzyyx1BABABABABABAzzyyxxBABABAABzyxR一、位置和姿态的表示（2）三个典型旋转矩阵10000),(cssczRcsscx00001),(Rcsscy00100),(RxAxByAyBzzAzByAyBxAxBzAzBxy一、位置和姿态的表示(3)旋转矩阵的几何意义：•可以表示固定于刚体上的坐标系{B}对参考坐标系的姿态矩阵。•可作为坐标变换矩阵，它使得坐标系{B}中的点的坐标变换成{A}中点的坐标。•可作为算子，将{B}中的矢量或物体变换到{A}中。RABRABpBpARAB一、位置和姿态的表示3.位姿描述•刚体位姿(即位置和姿态),用刚体的方位参考坐标的原点位置矢量和旋转矩阵表示，即•表示位置时，•表示姿态时，RAB00＝BAp430BAABpRB一、位置和姿态的表示4.机器人手爪坐标系PaonTn:法向矢量(normal)o:方向矢量(orientation)a:接近矢量(approach)P:位置矢量(position)二、坐标变换1.平移坐标变换坐标系{A}和{B}具有相同的方位,但原点不重合.则点P在两个坐标系中的位置矢量满足下式:0BABAPPP二、坐标变换2.旋转变换坐标系{A}和{B}有相同的原点但方位不同,则点P的在两个坐标系中的位置矢量有如下关系：PRPBABATABABBARRR1PRPABAB二、坐标变换3.复合变换yAzAxAOAyCzCxCOByBzBxBPAPAPBOBP0BABABAPPRP0CACAPPP坐标系A和C之间是平移变换关系坐标系B和C之间是旋转变换关系PRPBCBC00BACAPP＝RRABCB坐标系B和C的原点重合坐标系A和C的方位一样二、坐标变换例4.1已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，首先{B}相对于{A}的ZA轴转30°，再沿{A}的XA轴移动12单位，并沿{A}的YA轴移动6单位。求位置矢量APB0和旋转矩阵BAR。设点p在{B}坐标系中的位置为BP=[3,7,0]，求它在坐标系{A}中的位置。0612;1000866.05.005.0866.0)30,(00BAABzRpR0562.13908.1106120562.7902.00BABABAppRp三、齐次坐标变换1.齐次变换可以改写为：P点在{A}和{B}中的位置矢量分别增广为:而齐次变换公式和变换矩阵变为:11010PPRPBBAABATBBBTAAAAzyxzyx11PPB，10,0BAABABBABAPRTPTP0BABABAPPRP齐次坐标三、齐次坐标变换2.平移齐次坐标变换{A}分别沿{B}的X、Y、Z坐标轴平移a、b、c距离的平移齐次变换矩阵写为：用非零常数乘以变换矩阵的每个元素，不改变特性。1000100010001),,(cbacbaTrans三、齐次坐标变换•例4－2：求矢量2i+3j+2k被矢量4i-3j+7k平移得到的新矢量。190612321000710030104001三、齐次坐标变换3.旋转齐次坐标变换将上式增广为齐次式：10000),(00100),(00001),(cssczcsscycsscxRRR100001000000),(100000001000),(100000000001),(cssczcsscycsscxRRR三、齐次坐标变换例4-3：U=7i+3j+2k,绕Z轴转90度后，再绕Y轴转90度。12731237.1000010000010010)90,(＝zR13721273.1000000100100100)90,(＝yR110461372.1000710030104001)7,3,4(＝Trans例4-4：在上述基础上再平移（4，-3，7）。三、齐次坐标变换•引入齐次变换后，连续的变换可以变成矩阵的连乘形式使计算简化。11046123710007010300141001237100001000001001010000001001001001000710030104001)90,()90,()7,3,4(＝－uzRotyRotTrans三、齐次坐标变换由于矩阵乘法没有交换性，可知变换次序对结果影响很大。11190123710004001710030101237100071003010400110000001001001001000010000010010)7,3,4()90,()90,(－＝－－－uTransyRotzRot三、齐次坐标变换4.综合齐次坐标变换•若变换是相对“固定坐标系”（参考坐标系）运动的，则每次单一变换矩阵按次序“左连乘”。•若变换是相对“运动坐标系”运动的，则每次单一变换矩阵按次序“右连乘”。三、齐次坐标变换•例4-5设坐标系{B}与参考坐标系初始重合，绕参考系Z轴转90度，然后绕参考系Y轴转90度，最后相对参考系平移（4，-3，7），试求综合齐次变换矩阵T。•例4-6设坐标系{B}与参考坐标系初始重合，绕{B}的Z轴转90度，然后绕{B}的Y轴转90度，最后相对{B}平移（4，-3，7），试求综合齐次变换矩阵T。)90,()90,()7,3,4(zRotyRotTransT)7,3,4()90,()90,(TransyRotzRotT四、物体的变换及逆变换1.齐次坐标的复合变换{B}相对于{A}：ABT；{C}相对于{B}：BCT；则{C}相对于{A}：1010100000BACBABBCABCBBCBAABBCABACppRRRpRpTTTT注意次序四、物体的变换及逆变换2.齐次坐标的逆变换{B}相对于{A}：ABT；{A}相对于{B}：BAT；两者互为逆矩阵，求逆的办法：（1）直接求（ABT）-1（2）简化方法0ppRpTpRRpRT000100)(1010ABBABABABABBATABTABABBABA四、物体的变换及逆变换（3）一般求法若则1000zzzzyyyyxxxxpaonpaonpaonT10001apopnpTzyxzyxzyxaaaooonnnTzyxTzyxTzyxTzyxaaaooonnnpppaonp,,,四、物体的变换及逆变换3.变换方程初步{B}:基坐标系{T}:工具坐标系{S}:工作台坐标系{G}:目标坐标系或工件坐标系满足方程TTTTGTSGBSBT