《超级画板》第七篇 立体几何

《超级画板》第七篇立体几何本书介绍的超级画板的版本，并不具有立体几何作图的功能；但它也可以用来画一些模拟立体关系的图形。偶尔用上了，就免去了切换软件的麻烦。如果您在某一段相当长的时间内都要作立体图形，建议使用其他的软件，例如Z+Z智能教育平台系列中的“立体几何”。该软件具有的立体几何动态测量、直接作出3维坐标点、在空间对点、线、圆的跟踪以及空间参数曲线等功能，更要方便一些。但是，用超级画板作出的图形，要更漂亮一些。一长方体的截面用一张平面截割一个长方体，得到的截面都是什么形状？这是立体几何课上常常要讲的内容。也常常被作为多媒体课件的题材。本书配套资源中的文件“7-1长方体的截面.zjz”的第1页中，显示出用超级画板制作的交互性模拟长方体，如图7-1：图7-1拖动点A可以改变视角。当点A被拖到直线OF的右侧时，线段HG由实线变为虚线，而OF由虚线变为实线；当点A被拖到直线OH的上方时，线段OH由虚线变为实线，而GF由实线变为虚线；等等。不妨先想想，这种模拟立体感的效果，是如何做出来的？用来截割立方体的平面，是由分别在射线CD、DE、DG上所取的3个点I、J、K所确定的。文件中另外作了3个点，对应地命名为i、j、k，拖动点i、j、k可以控制点I、J、K的位置，从而改变截割平面的位置。相应地，截面的形状变为三角形、四边形、五边形或六边形这些在不同情形分别显示出不同的截面的效果，又是如何做出来的？下面来说明制作这样的立体效果的操作原理。说明了其实很简单。先来说明虚线和实线相互转化的道理。其实，这些能够虚实变化的线段，都是两条线重叠而成。当两条线中的实线隐藏起来时，就只看见虚线了。你会想到，在一定条件下隐藏实线，要用到动态alpha参数。类似地，截面的变化，也是利用动态alpha参数做出来的效果。大致操作分为4步：（1）画出长方体的骨架；（2）作出截割平面和有关截面的顶点；（3）实现虚实线变化的效果；（4）作出截面多边形并设置其动态alpha参数。本课件具体步骤较为繁琐，此处从略，有兴趣的读者参看《超级画板自由行》。[习题7-1]掌握本课件的使用操作。打开上述文件的第2页，观察图中的立方体和截面。这里确定切割平面的三个点I、J、K分别在3条相互平行的棱上。找寻应当填充而未填充或填充错误的截面，填充并且正确设置其动态alpha参数。二圆锥、圆台和圆柱的体积打开配套资源中文件“圆锥圆台和圆柱的体积.zjz”的第一页，如图7-2。图7-2图中有一个圆锥体的直观图。下方有参数R和h的变量尺。左上部的测量数据文本指出h=AB是圆锥体的高，R=AC是圆锥体底面的半径，V=πR2h/3是圆锥的体积。拖动变量尺上的滑钮，可以改变圆锥的高h和底半径R，这时图上的圆锥和3个测量数据都会作相应的改变。拖动变量尺上的滑钮来改变参数，很难让参数取到准确的整数值，这对于有些练习题的呈现很不方便。我们可以将变量动画和变量尺结合起来，方便地对参数R和h进行设置。注意到左下部有一条较短的变量尺，尺的右方注有“设置整数值”的字样。拖动这条变量尺上的滑钮，变量尺上面的数字框里的整数会改变。图上的当前整数值是11。这时单击标注有“设置h为整数”的按钮，h的值就会准确地变成11；若再拖动此变量尺的滑钮使上面的整数值调整为7,单击标注有“设置R为整数”的按钮，R的值就会准确地变成7。当然，圆锥体积的测量数据也会相应地变化。如果需要参数R和h准确地取其它数值，还可以打开这两个标注有“设置…为整数”的按钮的属性对话框，直接进行设置。文件的第2页画了一个直观的圆台体，有类似的变量尺、测量数据文本框和按钮，只是多了一个参数r，即圆台上底的半径。如图7-3。图7-3在两个图中，右上部都有一个标注有“渲染”字样的按钮和一条标注有“渲染颜色”的变量尺。拖动该变量尺上的滑钮，锥体(台体)的渲染颜色会有多种多样的变化。单击“渲染”按钮，渲染颜色会消失而留下线条图，如图7-4；再单击“渲染”按钮，渲染颜色恢复。图7-4下面以第一页为例，说明圆锥体直观图的画法，渲染着色的方法，设置参数为整数的方法以及隐藏和恢复渲染颜色的按钮的制作方法。至于第2页，还多了一些功能，留作习题。注意这里的说明中，操作顺序和上述文件不完全一样。1.圆锥体直观图的画法(1)用文本作图命令，作锥体底面中心A、顶点B和底面圆周上一点C(编号顺次为5、6、7):Point(0,0,,,,);Point(0,h,,,,);Point(R,0,,,,);(2)连接线段AB、AC、BC(编号顺次为8、9、10)：Segment(5,6,);Segment(5,7,);Segment(6,7,);(3)顺次选择点C和线段AC、BC、AB（最后选择的是对称轴），在右键菜单中单击“关于直线的对称图形”，作出点C和线段AC、BC关于直线的对称图形点D和线段AD、BD。若用文本命令，其函数序列为：Symmetric(7,8,);Symmetric(9,8,);Symmetric(10,8,);这里的作图函数“Symmetric(,,);”是文本作图对话框里“图形变换”类里的第1个。其中第一个参数是要作对称变换的几何对象的编号，第2个参数是对称轴的编号。每执行1条命令只能对1个几何对象作变换。(4)使用文本作图命令做出圆锥底面的直观图。它是一个以A为心，AC=R为长半轴的标准椭圆（编号14）。作图函数是文本作图对话框中“圆锥曲线”类里的第1个：NormalEllipse(5,a=R,b=R/6,x,);其中第1个参数是椭圆中心A的编号；第2个参数a=R表示椭圆的长半轴为R；第3个参数b=R/6表示椭圆的短半轴为R/6；第4个参数x表示椭圆的长轴平行于X轴。严格说来，等腰三角形BCD是圆锥体的平行于画面的轴截面，不是圆锥体的直观的轮廓线。直观地看，轮廓线应当是自点B所作的椭圆的两条切线段，它们与BC、BD很接近。另外，下面作出的圆锥体母线的轨迹，也就形成了圆锥体的直观的轮廓线。2.圆锥体渲染着色的方法(5)用智能画笔，在椭圆上取任意点E（编号15）；作线段BE（编号16，注意上述文件中为线段BG,编号也不同）。文本作图命令为：PointOnConic(14,);Segment(6,15,);(6)用文本作图命令做出线段BE的轨迹（编号17）：Locus(15,,,,,,16);(7)对轨迹的属性进行设置：频率设置在200到400之间；参数保持缺省值0到2*pi；(8)注意，这轨迹是线段BE的轨迹，将线段BE的画笔设置为动态颜色，轨迹的颜色才能多姿多彩。选择线段BE，单击右键打开其属性对话框，在“画笔”栏中点选“动态颜色”，打开“动态颜色”对话框；在对话框上部“颜色类型”栏点选“HLS(……)颜色空间”；如图7-5，在下部第一行左栏键入颜色参数a+u000*36，将此行右栏中的255改为360；在第2行左栏键入亮度参数0.5；在第3行键入饱和度参数1。单击“确定”关闭动态颜色对话框；再单击“确定”关闭属性对话框。图7-5上面设置的颜色参数a+u000*36中的变量u000，是点E在椭圆上的位置参数，也是BE的轨迹的参数。随着点E在椭圆上的位置的变化，u000在0到2π之间取不同的值，BE的轨迹也就呈现出不同的颜色。参数a是一个自由变量，a的变化可以影响轨迹颜色的范围。(9)用文本命令做出参数a的变量尺，变化范围设置为0到360：Variable(a,0,360,);拖动变量尺上的滑钮，可以看到轨迹颜色的变化。3.设置参数为整数的方法（10）执行菜单命令“测量|测量表达式”，在测量表达式对话框中分别输入R、h和pi*h*R^2/3，作出R、h和圆锥体积πR2h/3的测量数据文本框。另外，再输入表达式floor(x)，作出其测量数据的文本框，为设置参数为整数作准备。这些操作的文本命令为：MeasureExpress(R);MeasureExpress(h);MeasureExpress(pi*R^2*h/3);MeasureExpress(floor(x));(11)用文本作图命令作出参数R、h和x的变量尺：Variable(R,0,20,);Variable(h,0,20,);Variable(x,0,20,);（12）在右键菜单中单击“动画”，在对话框中输入R和h，两参数之间用逗号分开。单击确定，作出参数R和h的动画按钮。其文本命令为：AnimationVar(R,);AnimationVar(h,);两个按钮的属性设置相同：频率设置为1（或不超过10），最大值和最小值都设置为floor(x)，类型设置为一次运动，文本写成“设置R为整数”或“设置h为整数”。这样操作后，只要单击其中一个按钮，就可以把R或h设置为floor(x)的当前值了。4．制作隐藏和显示对象的按钮前面我们都是用设置动态alpha参数的办法来控制对象的隐藏和显示。现在介绍直接制作隐藏显示按钮的方法。(1)打开文本作图命令对话框，展开“对象的属性”条目下的函数列表，两次双击第一行的“Button”函数（这是单变元函数，用来制作隐藏或显示按钮），再双击第2行的“Button”函数（这是多变元函数，用来制作序列按钮）。在上方的文本编辑栏里键入参数构造3行文本命令：Button(A);Button(B);Button(28,29,,渲染);如图7-6：图7-6这里，前两个函数中的参数A和B分别是所生成的按钮上的文本，即按钮的名字。至于按钮的作用，下面要再作设置。第3个函数中的参数28、29分别是按钮A、B的编号。这是因为当前的对象编号已到27，新生成的按钮编号自然是28、29了。参数“渲染”是第3个按钮上面的文本，即该按钮的名字。运行文本命令后，生成按钮A、按钮B和渲染按钮。（2）右键单击按钮A，在右键菜单中单击“属性”打开属性对话框，如图7-7的左部。7-7在对话框的“动作”栏的左上部空白条的右端，有一个带黑三角的按钮。单击黑三角展开一个功能目录，其中第1行是“Hide”（隐藏），第3行是“Show”（显示），这是最常用的两种功能。单击“Hide”，则“Hide”出现在上部空白条内，功能目录关闭；单击“增加动作”按钮，则在左下部空白栏中出现“隐藏对象”字样。单击“隐藏对象”，则此行文本被黑色覆盖，文字反白。这时可以指定要隐藏的对象了。在对话框右部的对象列表栏里，双击17号对象“轨迹BE”，则在中上部空白栏里出现一行“[17]轨迹BE”。如果需要，还可以双击想隐藏的其它对象。这里我们只要隐藏此轨迹，就单击“确定”关闭对话框。（3）右键单击按钮B，在右键菜单中单击“属性”打开属性对话框，如图7-11的右部。单击左上部空白条的右端黑三角，展开功能目录，单击“Show”，则“Show”出现在上部空白条内，功能目录关闭；单击“增加动作”按钮，则在左下部空白栏中出现“显示对象”字样。单击“显示对象”，则此行文本被黑色覆盖，文字反白。这时可以指定要显示的对象了。在对话框右部的对象列表栏里，双击17号对象“轨迹BE”，则在中上部空白栏里出现一行“[17]轨迹BE”。单击“确定”关闭对话框。上述设置完成后，单击按钮A则轨迹隐藏，单击按钮B则轨迹出现。若单击渲染按钮，则轨迹隐藏；再单击它，轨迹出现。所以，渲染按钮兼有按钮A和按钮B的作用，从而可以把按钮A和按钮B隐藏起来。这只要在对象工作区单击这两个按钮项前面的小方形；或选择这两个按钮再在右键菜单中单击“隐藏”。文件的第2页，比第一页多了一个长半轴为r椭圆（圆台的上底面）。相应地多了有关r的变量尺、测量数据文本框和设置r为整数的动画按钮。此外，当设置r=0时，圆台成为圆锥；当设置R和r为同一数值时，圆台又成为圆柱。相应的，在这两种情形下，会出现圆锥体积公式和圆柱体积公式的测量数据文本框，如图7-8和图7-9。图7-8图7-9[习题7-2]参考上述文件的第2页，做出一个圆台的直观图和体积的测量数据文本框。要求当圆台上底半径为0时成为圆锥，当两底半径相等时成为圆柱，并同时出现圆锥和圆柱的体积公式和测量数据。[习题7-3]试画出上述圆台的侧面展开图，并