广东历年高考数学试卷

2007年广东高考数学（理科）答案一、选择题（本题8小题，每题5分，满分40分）1．已知函数1()1fxx的定义域为M，g(x)=ln(1)x的定义域为N，则M∩N=（A）{|1}xx（B）{|1}xx（C）{|11}xx（D）答案：C；2．若复数（1+bi）(2+i)是纯虚数（i是虚数单位，b为实数），则b=(A)-2(B)-12(C)12(D)2答案：B；解析：（1+bi）(2+i)=（2-b）+(2b+1)i，故2b+1=0，故选B；3．若函数21()sin()2fxxxR，则f(x)是（A）最小正周期为2的奇函数；（B）最小正周期为的奇函数；（C）最小正周期为2的偶函数；（D）最小正周期为的偶函数；答案：D；4．客车从甲地以60km/h的速度行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间的关系图象中，正确的是答案：C；解析：5．已知数列｛na｝的前n项和29nSnn，第k项满足５＜ka＜８，则k=（A）9（B）8（C）7（D）6答案：B；解析：此数列为等差数列，1210nnnaSSn，由52k-108得到k=8。6．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形图表示学生人数依次记为A1、A2、…A10（如A2表示身高（单位：cm）在[150，155)内的人数]。图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。现要统计身高在160~180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（A）i6(B)i7(C)i8(D)i9答案：C；解析：S=4567AAAA；7．图３是某汽车维修公司的维修点分布图，公司在年初分配给Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个维修点的某种配件各５０件，在使用前发现需将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个维修点的这批配件分别调整为４０、４５、５４、６１件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么完成上述调整，最少的调动件次（ｎ个配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为ｎ）为（Ａ）１５（Ｂ）１６（Ｃ）１７（Ｄ）１８答案：B；8．设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b∈S,对于有序元素对(a,b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）。若对于任意的a,b∈S,有a*(b*a)=b，则对任意的a,b∈S,下列等式中不．恒成立的是（A）(a*b)*a=a(B)[a*(b*a)]*(a*b)=a（B）b*(b*b)=b（C）(a*b)*[b*(a*b)]=b答案：A；二、填空题（本题7小题，每题５分，满分3０分，其中１3，１５是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计前两题得分）9．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球。现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，则取出的两球是红球的概率为______(答案用分数表示)答案：29解析：412669；10．若向量,ab满足||||1ab，,ab的夹角为60°，则aaab=______；答案：32；解析：1311122aaab，11．在直角坐标系xOy中,有一定点A（2，1）。若线段OA的垂直平分线过抛物线22(0)ypxp的焦点，则该抛物线的准线方程是______;答案：54x;解析：OA的垂直平分线的方程是y-12(1)2x，令y=0得到x=54;12．如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_____条，这些直线中共有()fn对异面直线，则(4)____f；f(n)=______(答案用数字或n的解析式表示)答案：(1)2nn;8;n(n-2)。解析：(1)2nn;(4)428f;()(2)fnnn13．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为33xtyt（参数t∈R），圆C的参数方程为cos2sin2xy（参数[0,2]），则圆C的圆心坐标为_______，圆心到直线l的距离为______.答案：（0，2）；22.解析：直线的方程为x+y-6=0，d=|26|222;14．（不等式选讲选做题）设函数()|21|3,fxxx则(2)f=_____；若()5fx，则x的取值范围是________；答案：6；1[,1]215．几何证明选讲选做题］如图所示，圆Ｏ的直径为６，Ｃ为圆周上一点。ＢＣ＝３，过Ｃ作圆的切线ｌ，过Ａ作ｌ的垂线ＡＤ，垂足为Ｄ，则∠ＤＡＣ＝______；线段AE的长为_______。lODCBA答案：6；3。解析：根据弦切角等于夹弧所对的圆周角及直角三角形两锐角互余，很容易得到答案；AE=EC=BC=3；三、解答题16．（本小题满分１2分）已知ABC的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0)（１）若c=5，求sin∠A的值；（２）若∠A为钝角，求c的取值范围；解析：（1）(3,4)AB，(3,4)ACc，若c=5，则(2,4)AC，∴6161coscos,5255AACAB，∴sin∠A＝255；（2）若∠A为钝角，则391600cc解得253c，∴c的取值范围是25(,)3；17．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据ｘ３４５６ｙ２．５３４４．５（１）请画出上表数据的散点图；（２）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出ｙ关于ｘ的线性回归方程ybxa；（３）已知该厂技术改造前１００吨甲产品能耗为９０吨标准煤；试根据（２）求出的线性回归方程，预测生产１００吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？（3×2．5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）解析：（１）略；（２）方法1（不作要求）：设线性回归方程为ybxa，则222222222(,)(32.5)(43)(54)(64.5)42(1814)(32.5)(43)(54)(64.5)fabbabababaaabbbab∴793.54.52bab时，(,)fab取得最小值2222(1.51)(0.50.5)(0.50.5)(1.51)bbbb即22250.5[(32)(1)]572bbbb，∴0.7,0.35ba时ｆ（ａ，ｂ）取得最小值；所以线性回归方程为0.70.35yx；方法2：由系数公式可知，266.544.53.566.5634.5,3.5,0.758644.5xyb93.50.70.352a，所以线性回归方程为0.70.35yx；（３）ｘ＝１００时，0.70.3570.35yx，所以预测生产１００吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低１９．６５吨标准煤．18．（本小题满分14分）在直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C与直线y=x相切于坐标原点O，椭圆22219xya与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。（1）求圆C的方程；（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段OF的长，若存在求出Q的坐标；若不存在，请说明理由。解析：（1）圆C：22(2)(2)8xy；（2）由条件可知a=5，椭圆221259xy，∴F（4，0），若存在，则F在OQ的中垂线上，又O、Q在圆C上，所以O、Q关于直线CF对称；直线CF的方程为y-1=1(1)3x,即340xy，设Q（x,y），则334022yxxy，解得45125xy所以存在，Q的坐标为412(,)55。19．（本小题满分14分）如图6所示，等腰三角形△ABC的底边AB=66，高CD=3，点E是线段BD上异于B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，V（x）表示四棱锥P-ACEF的体积。（1）求V(x)的表达式；（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？（3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值。F图6PEDCBA（1）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，96ABCS，2265412BEFBDCxSSxV(x)=261(9)312xx（036x）（2）261'()(9)34Vxx，所以(0,6)x时，'()0vx，V(x)单调递增；636x时'()0vx，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值126；（3）过F作MF//AC交AD与M,则,21212BMBFBEBEMBBEABBCBDAB，PM=62，6654942336MFBFPFBC，在△PFM中，84722cos427PFM，∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为27；20．（本题满分14分）已知a是实数，函数2()223fxaxxa，如果函数()yfx在区间[-1，1]上有零点，求实数a的取值范围。解析1：函数()yfx在区间[-1，1]上有零点，即方程2()223fxaxxa=0在[-1，1]上有解，a=0时，不符合题意，所以a≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解=(1)(1)0ff或(1)0(1)048(3)01[1.1]afafaaa15a或372a或5a372a或a≥1.所以实数a的取值范围是372a或a≥1.解析2：a=0时，不符合题意，所以a≠0,又∴2()223fxaxxa=0在[-1，1]上有解，2(21)32xax在[-1，1]上有解212132xax在[-1，1]上有解，问题转化为求函数22132xyx[-1，1]上的值域；设t=3-2x，x∈[-1，1]，则23xt，t∈[1,5],21(3)217(6)22tyttt，设2277().'()tgttgttt，[1,7)t时，'()0gt，此函数g(t)单调递减，(7,5]t时，'()gt0,此函数g(t)单调递增，∴y的取值范围是[73,1]，∴2()223fxaxxa=0在[-1，1]上有解1a∈[73,1]1a或372a。21．（本题满分14分）已知函数2()1fxxx，,是方程f(x)=0的两个根()，'()fx是f(x)的导数；设11a，1()'()nnnnfaaafa（n=1,2,……）（1）求,的值；（2）证明：对任意的正整数n，都有naa；（3）记lnnnnabaa（n=1,2,……），求数列{bn}的前n项和Sn。解析：（1）∵2()1fxxx，,是方程f(x)=0的两个根()，∴1515,22；（2）'()21fxx，21115(21)(21)12442121nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa=5114(21)4212nnaa，∵11a，∴有基本不等式可知25102a（当且仅当1512a时取等号），∴25102a同，样3512a，……，512na（n=1,2,……），（3）1()()(1)2121nnnnnnnnaaaaaaaa，而1，即1，21()21nnnaaa，同理21()21nnnaaa，12