第二章 控制系统的数学模型c4

12.3.4梅森公式求系统传递函数2用梅森公式可直接求得从输入到输出之间的总传递函数表达式为：nkkkPP11式中：总传递函数；从输入节点到输出节点的前向通道总数；第k个前向通道的总传输；流图特征式；其计算公式为：PnkP二、梅森公式...1fedcbaLLLLLL3...1fedcbaLLLLLL（正负号间隔）式中：流图中所有不同回路的回路传输之和；所有互不接触回路中，每次取其中两个回路传输乘积之和；aLcbLL所有互不接触回路中，每次取其中三个回路传输乘积之和；fedLLL第k个前向通道的特征式的余子式；其值为中除去与第k个前向通道接触的回路后的剩余部分；knkkkPP11流图特征式4[几个术语]：通路：沿支路箭头方向穿过各个相连支路的路线，起始点和终点都在节点上。若通路与任一节点相交不多于一次，且起点和终点不是同一节点称为开通路。起点在源点，终点在阱点的开通路叫前向通路。1R1CNEPQ11G2GH回路(闭通路)：通路与任一节点相交不多于一次，但起点和终点为同一节点的通路称为回路。互不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路称为互不接触回路。5例1：用Mason公式计算下述结构图的传递函数)()(,)()(sRsEsRsC解：++--1G2G3G4G1H2HREC求)()(sRsC,3211GGGP432GGP前向通道有2个，分别为:回路有3个，分别为：213212311,,HHGGGHGHGnkkkPP116回路有3个，分别为：213212311,,HHGGGHGHG213121321231111HHGGHHGGGHGHGLLLcba11211,1HG21312132123111431433212111HHGGHHGGGHGHGHGGGGGGGGPPkkk求前向通道有2个，分别为:)()(sRsC,3211GGGP432GGP有两个不接触回路，所以：nkkkPP117求)()(sRsE23111,1HGP不变1,221432HHGGP2143231HHGGHGP注意：上面讲不变，为什么？是流图特征式，也就是传递函数的特征表达式；对于一个给定的系统，特征表达式总是不变的。++--1G2G3G4G1H2HREC8R(s)A-BC(s)1G2G3G4G1H2H-C解：有2个前向通路3211321GGGP41241GGP1211121HGGLH有5个单独回路2322232HGGLH3213321GGGL24424HGLH41541GGL例2:求如图所示系统的传递函数C(s)/R(s)94124321232121413211GGHGGGGHGGHGGGGGGG)(1)()()(5432122112211LLLLLPPPPSPSRSC113211GGGP12412GGPR(s)A-BC(s)1G2G3G4G1H2H-C10练习1G2G---RY21122112212121122121123121GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGRYG求传递函数112.3.5闭环控制系统的传递函数G2(s)R(s)C(s)E(s)-G1(s)N(s)H(s))()()(1)()()()()(2121sHsGsGsGsGsRsCs)()()()(1)()()()()(2121sRsHsGsGsGsGsRssC)()()(1)()()()(212sHsGsGsGsNsCsN)()()()(1)()()()(212sNsHsGsGsGsNssCNN控制系统在工作过程中受到各种外作用形式，一种为控制输入信号，另一种为扰动信号。输入作用下，系统的闭环传递函数及输出:扰动作用下，系统的闭环传递函数及输出:12)()()(1)]()()()[()()()(2112sHsGsGsNsRsGsGsCsCsCN根据线性叠加原理，系统总输出：G2(s)R(s)C(s)E(s)-G1(s)N(s)H(s))()()()(1)()()()()(2121sRsHsGsGsGsGsRssC)()()()(1)()()()(212sNsHsGsGsGsNssCNN输入作用下，系统的闭环输出:扰动作用下，系统的输出:13G2(s)R(s)C(s)E(s)-G1(s)N(s)H(s)闭环系统的误差传递函数：)()()(11)()()(21sHsGsGsRsEse)()()(1)()()()()(212sHsGsGsHsGsNsEseN)()()()()(sNssRssEeNe根据线性叠加原理，系统总误差为：输入作用下，系统误差传递函数:扰动作用下，系统误差传递函数:14例：试求如图所示系统的传递函数C(s)/R(s)1123456PGGGGGG前向通道数：n＝1求解步骤之二：确定系统中的反馈回路数解：求解步骤之一：找出前向通路数n利用梅逊公式求传递函数15求解步骤之二：确定系统中的反馈回路数1617411.1iijijkiLLLLLL求412341iiLLLLL1234561232453344GGGGGGHGGHGGHGGH23232453()()ijLLLLGGHGGH234523GGGGHH利用梅逊公式求传递函数18ijkLLL不存在41123456123245334423452311iijijkiLLLLLLGGGGGGHGGHGGHGGHGGGGHH2.,kP求1123456PGGGGGG19求余子式1将第一条前向通道从图上除掉后的图，再用特征式的求法，计算求余式1－－图中不再有回路，故1=13.CR求总传递函数11PCR12345612345612324533442345231GGGGGGGGGGGGHGGHGGHGGHGGGGHH20G1(s)Gn(s)G3(s)G2(s)H1(s)R(s)N(s)C(s)例利用梅森公式求闭环传递函数解：计算C(S)/R(S),令N(S)=0前向通道有两条：P1=G1(s)G2(s),P2=G1(s)G3(s)回路有三条：L1=-G1(s)G2(s),L2=-G1(s)G3(s),L3=-G2(s)H1(s),21G1(s)Gn(s)G3(s)G2(s)H1(s)R(s)N(s)C(s)有两个回路不相接触：L1L3=G1(s)G3(s)G2(s)H1(s)△=1-(L1+L2+L3)+L1L3=1+G1(s)G2(s)+G1(s)G3(s)+G2(s)H1(s)+G1(s)G2(s)G3(s)H1(s)△1=1△2=1-L3=1+G2(s)H1(s)]1[1231212211sHsGsGsGsGsGPPsRsC22G1(s)Gn(s)G3(s)G2(s)H1(s)R(s)N(s)C(s)计算C(S)/N(S),令R(S)=0前向通道有三条：P1=1，P2=Gn(s)G1(s)G2(s)P3=Gn(s)G1(s)G3(s)△表达式同前23G1(s)Gn(s)G3(s)G2(s)H1(s)R(s)N(s)C(s)△3=1+G2(s)H1(s)△1=1△2=1]113213121332211sHsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGPPPsNsCnnn前向通道有三条：P1=1，P2=Gn(s)G1(s)G2(s)P3=Gn(s)G1(s)G3(s)24已知系统的结构如图,求传递函数321,,RYRYRYG1G2G3H1H2R1R2R3Y－－－321311323323111GGHGGHGHGGGGGRY321311323323121GGHGGHGHGGGGGRY321311323331GGHGGHGHGGRY解练习