第5讲.一元二次方程根与系数的关系.学生版

2010年·暑假初三数学·第5讲·学生版page1of9知识点A要求B要求Ｃ要求一元二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值一元二次方程的解法理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题如果一元二次方程20axbxc（0a）的两根为12xx，，那么，就有212axbxcaxxxx比较等式两边对应项的系数，得1212bxxacxxa①，②①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．因此，给定一元二次方程20axbxc就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数1x，2x满足①与②，那么这两数12xx，必是一个一元二次方程20axbxc的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．利用根与系数的关系，我们可以不求方程20axbxc的根，而知其根的正、负性．在24bac≥0的条件下，我们有如下结论：当0ca时，方程的两根必一正一负．若0ba≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba，则此方程的正根小于负根的绝对值．当0ca时，方程的两根同正或同负．若0ba，则此方程的两根均为正根；若0ba，则此方程的两根均知识点睛中考要求第五讲一元二次方程根与系数的关系2010年·暑假初三数学·第5讲·学生版page2of9为负根．⑴韦达定理：如果20(0)axbxca的两根是1x，2x，则12bxxa，12cxxa．(隐含的条件：0)⑵若1x，2x是20(0)axbxca的两根(其中12xx)，且m为实数，当0时，一般地：①121()()0xmxmxm，2xm②12()()0xmxm且12()()0xmxm1xm，2xm③12()()0xmxm且12()()0xmxm1xm，2xm特殊地：当0m时，上述就转化为20(0)axbxca有两异根、两正根、两负根的条件．⑶以两个数12,xx为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：21212()0xxxxxx．⑷其他：①若有理系数一元二次方程有一根ab，则必有一根ab(a，b为有理数)．②若0ac，则方程20(0)axbxca必有实数根．③若0ac，方程20(0)axbxca不一定有实数根．④若0abc，则20(0)axbxca必有一根1x．⑤若0abc，则20(0)axbxca必有一根1x．⑸韦达定理主要应用于以下几个方面：①已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；②已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；③已知方程的两根，求作方程；④结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑤逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑤利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．1.对根与系数关系的推导2.根与系数关系的灵活应用理解【例1】已知关于x的方程260xxc的一个根是另一个根的平方，求c的值．重、难点例题精讲2010年·暑假初三数学·第5讲·学生版page3of9【例2】⑴若方程240xxc的一个根为23，则方程的另一个根为，c．⑵已知方程2350xx的两根为1x、2x，则2212xx．⑶已知、是方程2250xx的两个实数根，22的值为．⑷已知、是方程2520xx的两根，求的值．【例3】已知关于x的方程220xkx的一个解与方程131xx解相同．⑴求k的值；⑵求方程220xkx的另一个解．【例4】设1x、2x是方程222120xkxk的两个不同的实根，且12118xx，则k的值是＿＿＿＿．【例5】已知方程2980xx，求作一个一元二次方程，使它的一个根为原方程两个根和的倒数，另一个根为原方程两根差的平方.【巩固】设20xpxq的两实数根为、，那么33、为两根的一元二次方程是____________。【例6】已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实根为p、q，且22156pqppqpq，试求这个一元二次方程．2010年·暑假初三数学·第5讲·学生版page4of9【例7】已知方程22350xx的两根为12xx，，求：⑴2212xx；⑵3312xx⑶5512xx【巩固】已知1x，2x是方程2310xx的两个实数根，则2212xx,12(2)(2)xx,221122xxxx,2112xxxx,12xx，2212xx,1211xx,2112xxxx.【巩固】设1x、2x是方程23560xx的两根，则代数式122121xx的值是，代数式1221xxxx的值是．【巩固】⒈已知x、y均为实数，且满足17xyxy，2266xyxy．求432234xxyxyxyy的值．(2007——2008北大附中初三第一学期期中试题)⒉阅读材料：设一元二次方程20(0)axbxca的两根是1x、2x，则根与系数关系为：12bxxa，12cxxa．已知210pp，210qq，且1pq，求1pqq的值．⒊设a、b、c、d为互不相等的实数，且2222()()1acad，2222()()1bcbd，则2222abcd（）．A．0B．1C．1D．无法确定【例8】已知，是一元二次方程210xx的两个根，求5325的值．2010年·暑假初三数学·第5讲·学生版page5of9【例9】(2007三帆中学初三第一次月考附加题)已知m是不等式组210430mm的整数解，、是关于x的方程20xmxm的两个实根，求：⑴33的值；⑵43的值．【例10】(2001年全国初中数学竞赛试题)如果a，b都是质数，且2130aam，2130bbm，求baab的值．【巩固】（1999年全国联赛试题）设实数,st分别满足2199910ss，299190tt并且1st，求41stst的值.【巩固】根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答：已知22510mm，21520nn且mn，求11mn的值．【例11】设方程2(1998)1997199910xx的大根为a，方程2199819900xx的小根为b，则ab=_____________。【巩固】已知2007()2007()()0()abbccaab，求2()()()cbcaab的值．2010年·暑假初三数学·第5讲·学生版page6of9【巩固】⒈关于x的二次方程2251xxm有实根和，且||||6≤，确定m的取值范围．⒉已知方程240axxb(0)a的两实根为1x、2x，方程230axxb的两实根为、．⑴若a、b均为负整数，且||1，求a、b的值；⑵若12，12xx，求证：1221xx．【例12】已知关于x的方程24832xnxn和223220xnxn，是否存在这样的n值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n值；若不存在，请说明理由．【例13】已知ab，为正整数，关于x的方程220xaxb的两个实数根为12xx，，关于y的方程220yayb的两个实数根为12yy，，且满足11222008xyxy．求b的最小值．【例14】已知关于x的方程22(23)30xkxk有两个实数根1x，2x，且121211xxxx，求k值.【例15】已知关于x的方程222(2)50xmxm有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m的值。【例16】已知12,xx是一元二次方程224(35)60xmxm的两个实数根，且123||2xx，则m=__________。2010年·暑假初三数学·第5讲·学生版page7of9【例17】已知12,xx是方程24440axaxa的两实根，是否能适当选取a的值，使得1221(2)(2)xxxx的值等于54________________。【巩固】已知1x、2x是关于x的一元二次方程2244(1)0xmxm的两个非零实数根，问：1x与2x能否同号？若能同号请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由。【习题1】已知2221，2221，求的值．【习题2】已知关于x的方程2210xmxm的两个实数根的平方和为23，求m的值【习题3】求一个一元二次方程，使它的两个根是32和3．【习题4】已知12,xx为方程20xpxq的两根，且126xx，221220xx，求,pq的值.家庭作业2010年·暑假初三数学·第5讲·学生版page8of9【习题5】(2001年天津竞赛题)已知m，n是有理数，并且方程20xmxn有一个根是52，那么mn_______.【习题6】1x、2x是方程22350xx的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1）2212xx（2）12xx（3）2212233xxx【习题7】(2001年全国联赛)若1ab，且有25200190aa及29200150bb，则ab，1ab.【习题8】已知关于x的方程22210xxk的两根平方差等于2，求k的值．【备选1】已知关于x的方程2130xxk的两根、满足条件31，求k的值．【备选2】已知关于x的方程2212110txtx的两根倒数之和大于0，求t的取值范围．【备选3】如果实数,ab满足213140aa，213140bb，则baab的值为多少？月测备选2010年·暑假初三数学·第5讲·学生版page9of9【备选4】关于x的方程22410xkx的一个根是－2，则方程的另一根是；k＝。【备选5】(2005年温州市中考试题)已知1x，2x是方程2310xx的两个实数根，则1211xx.【备选6】如果实数,ab分别满足222aa，222bb，求11ab的值【备选7】已知方程2230xmx的两根的平方和为5，则m=__________。