Newton-Cotes公式

第四章数值积分(NumericalIntegration)☞f(x)的原函数F(x)为初等函数．()()()()baIffxdxFbFabadxxffI)()(本章主要讨论如下形式的一元函数积分在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分要求被积函数f(x)☞有解析表达式；一、数值积分的必要性§1引言/*Introduction*/例如函数:2,1,ln1,sin,cos,sin322xexxxxxx考虑一个实际问题:建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整的铝板压制而成的.1、f(x)的原函数F(x)不能用初等函数表示假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从中心线)为1英寸,且每个波纹以近似2π英寸为一个周期.求制做一块波纹瓦所需铝板的长度L.这个问题就是要求由函数f(x)=sinx给定的曲线,从x=0到x=48英寸间的弧长L.由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:dxxdxxfL48024802')(cos1))((1上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普通方法来计算.例如函数3222xx并不复杂,但它的原函数却十分复杂:)322ln(21693216332412222xxxxxx2.有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示成有限形式,但表达式相当复杂,计算极不方便.3.f(x)没有解析表达式，只有数表形式:x12345f(x)44.5688.5这些都说明,通过原函数来计算积分有它的局限性,因而,研究关于积分的数值方法具有很重要的实际意义.在几何上可解释为由x=a,x=b,y=0和y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.积分计算之所以有困难，就是因为这个曲边梯形有一条边y=f(x)是曲的.(1)求积公式的概念badxxffI)()(积分值二、求积公式及其代数精度依据积分中值定理,对于连续函数f(x),在[a,b]内存在一点ξ,使得)()()()(fabdxxffIba称f(ξ)为区间[a,b]的平均高度.问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的.这样,只要对平均高度f(ξ)提供一种算法,相应地便获得一种数值求积方法.左矩形公式:I(f)≈(b-a)f(a)右矩形公式:I(f)≈(b-a)f(b)中矩形公式:I(f)≈(b-a)f[(a+b)/2]如果简单地选取区间[a,b]的一个端点或区间中点的高度作为平均高度,这样建立的求积公式分别是:作为平均高度f(ξ)的近似值.此外,众所周知的梯形公式:I(f)≈(b-a)[f(a)+f(b)]/2和Simpson公式:I(f)≈(b-a)[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)]/6则分别可以看作用a,b,c=(a+b)/2三点高度的加权平均值[f(a)+f(b)]/2和[f(a)+4f(c)+f(b)]/6更一般地,取区间[a,b]内n+1个点{xi},(i=0,1,2,…n)处的高度{f(xi)}(i=0,1,…,n)通过加权平均的方法近似地得出平均高度f(ξ),这类求积方法称为机械求积:)()()(0ibaniixfabdxxf或写成:数值积分公式求积系数求积节点)()(0kbankkxfAdxxf记称为求积公式余项(误差).构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有(ii)求积公式的误差估计和收敛性为了构造数值求积公式,需要提供一种判定求积方法精度高低准则nkkknxfAfI0)()(0()()()()()nbnkkakRfIfIffxdxAfx称为数值求积公式(i)确定求积系数Ak和求积节点xk；定义中的条件(i),(ii)等价于:具有m次代数精度,如果它满足如下两个条件:(i)对所有次数≤m次的多项式Pm(x),有(ii)存在m+1次多项式Pm(x),使得()()()0mmnmRPIPIP111()()()0mmnmRPIPIP()()()0(0)kkknRxIxIxkm111()()()0kkknRxIxIx(2)求积公式的代数精度定义1称求积公式)()(0kbankkxfAdxxf1.T公式的代数精度度公式具有一次的代数精所以时当时当TdxxfbaabbfafabfTabxdxxdxxfxxfdxxfbaabbfafabfTabxxdxdxxfxxfbabababababababa)()(2))()((2][)(3131)()()()(2))()((2][)(2121)()(2233322222成立所以时当][)()(21)24(6))()2(4)((6][)(21)()(2222fSdxxfabbbaaabbfabfafabfSabxdxdxxfxxfbababa2.S–公式的代数精度精确成立即时当][)()(31)242(6))2(4(6))()2(4)((6][)(31)()(33222223322fSdxxfabbabaabbbaaabbfabfafabfSabdxxdxxfxxfbababa精确成立即时当][)()(41)(236))33(21(6))2(4(6))()2(4)((6][)(41)()(4432233322333334423fSdxxfabbabbaaabbbabbaaaabbbaaabbfabfafabfSabdxxdxxfxxfbababa因此S-公式具有三次代数精度。在积分区间[a,b]上取n+1个节点xi，i=0,1,…,n,作f(x)的n次代数插值多项式（拉格朗日插值公式）:njjjnxfxlxL0)()()(则有)()()(xRxLxfnn为插值余项)()!1()()(1)1(xwnfxRnn于是有banbanbadxxRdxxLdxxf)()()(banjjbajdxxRxfdxxl)()(])([0三、插值型求积公式babaknkkdxxlxfdxxf)()()(0取Ak由节点决定，与f(x)无关。bankiiikikdxxxxxA0)(称为插值型求积公式其中形如的求积公式至少有n次代数精度nkkkbaxfAdxxf0)()(求积系数满足:误差bannkkkbadxxLxfxfAdxxffR)]()([)()()(0bankkxndxxxnf0)1()()!1()(定理1推论1bakkdxxlA)(该公式为插值型即：abAnkk0§2Newton-Cotes公式/*Newton-CotesRule*/一、Newton-Cotes公式及数值稳定性二、复化求积公式及误差估计取节点为等距分布：,,0,1,...,ibaxaihhinndxxxxxAnxxijjiji0)()(njiinnjidtjtininabdthhjihjt00)()!(!)1)(()()(令htaxCotes系数()nkC注：Cotes系数仅取决于n和k,可查表得到.与f(x)及区间[a,b]均无关。由此构造的插值型求积公式称为Newton-Cotes公式,此时求积系数(1)Newton-Cotes公式一、Newton-Cotes公式及数值稳定性则求积公式变为称为n阶闭型Newton-Cotes求积公式.记变为nkkkbaxfAdxxf0)()()()()(0)(jbanjnjxfCabdxxfnjCabAnjj,,2,1,0,)()(dtktnjnjCnnjkkjnnj0,0)()()!(!)1(Newton-Cotes公式的误差为:与x有关注意:Cotes系数只与j和n有关,与f(x)和积分区间[a,b]无关,且满足:10)(njnjCdxxwnffRnban)()!1()()(1)1(),(,)()()!1(00)1(2badtjtfnhnnjnn只需验证当n为偶数时,Newton-Cotes公式对f(x)=xn+1的余项为零.由于f(x)=xn+1,所以f(n+1)(x)=(n+1)!.引进变换t=u+n/2,因为n为偶数,故n/2为整数,于是有据此可断定R(f)=0,因为上述被积函数是个奇函数.nnjndtjthfR002)()(2202)2()(nnnjndujnuhfR定理3当阶数n为偶数时,Newton-Cotes公式至少具有n+1次代数精度.证明(2)Newton-Cotes公式的数值稳定性设计算Cj(n)没有误差,中间计算过程中的舍入误差也不考虑,则在式In(f)的计算中,由εj引起的误差为现在讨论舍入误差对计算结果产生的影响.设用公式njjnjnxfCabfI0)()()()(近似计算积分badxxffI)()(时,其中计算函数值f(xj)有误差εj(j=0,1,2,…,n).故en是有界的,即由εj引起的误差受到控制,不超过ε的(b-a)倍,保证了数值计算的稳定性.而当n7时,Cj(n)将出现负数,njnjC0)(||保证数值稳定性.因此高阶公式不宜采用,有实用价值的仅仅是几种低阶的求积公式.将随n增大,因而不能))(()()()(0)(0)(njjjnjnjjnjnxfCabxfCabenjjnjCab0)()(如果Cj(n)都是正数,并设||0jnjmax则有)(||)(||0)(abCabenjnjn21,21)1(1)1(0CCn=1:)]()([2)(bfafabdxxfbaTrapezoidalRuledxbxaxffRbax))((!2)(][/*令x=a+th,h=ba,用中值定理*/1,],[,)(1213abhbafh代数精度=1n=2:61,32,61)2(2)2(1)2(0CCC)]()(4)([6)(2bffafabdxxfbabaSimpson’sRule代数精度=32,),(,)(901][)4(5abhbafhfRn=4:CotesRule,代数精度=5,)(9458][)6(7fhfR高次插值有Runge现象,高阶Newton-Cotes公式会出现数值不稳定,低阶Newton-Cotes公式有时又不能满足精度要求.解决这个矛盾的办法是将积分区间[a,b]分成若干小区间,在每个小区间上用低阶求积公式计算,然后将它们加起来,这就是复化求积方法.二、复化求积公式及误差估计(1)复化梯形公式：,(0,...,)ibahxaihinn在每个上用梯形公式：],[1iixx111()[()()],0,...,12iixiiiixxxfxdxfxfxin11()2()()2nkihfafxfb110()[()()]2nbiiaihfxdxfxfx=Tn1321002()[][()]()1212()(),(,)12niniiifhhRffbanhbafab/*中值定理*/复化梯形公式积分法(2)收敛性由上述的误差估计式可知,当f(x)C2[a,b]时,只要h0时数列Tn(f)I(f),且收敛速度为二阶O(h2).但是f(x)C2[a,b]条件相对苛刻,现假定f(x)在[a,b]上Riemann可积,讨论复化求积公式的收敛性101)]()([2)(niiinxfxfhfT))()((21110niiiniiixxfxxf