离散数学11群与环

1/21第11章1第十章群与环11.1设}10,9,8,7,6,5,4,3,2,1{A，问下面定义的二元运算关于集合A是否封闭？是否是可结合的？（1）),max(yxyx；（2）xyx与y的最小公倍数；（3）xyx与y的最大公约数；（4）yxyx。解（1）关于集合A是封闭的；是可结合的。（2）关于集合A不封闭。因为A1472。显然也不可结合。（3）关于集合A是封闭的；是可结合的。（4）关于集合A不封闭。因为A14343。显然也不可结合。11.2N是自然数集。定义N上的运算，Nmn,，mnmn2。问是否是N上的可结合的二元运算。请证明或举反例说明你的结论。解不是可结合的二元运算。因为1688484)62(4)32(24222112)83(2)43(2显然，)43(24)32(。11.3},,{cbaA，在A上定义一个运算：Ayx,，xyx。试给出A关于运算的乘法表，并证明),(A是半群。解A关于运算的乘法表如下：*abcaaaabbbbcccc（1）封闭性对于Ayx,，显然有，Axyx。（2）结合律因为对于Azyx,,，我们有xyxzyx)(，且xyxzyx)(，所2/21第11章2以zyxzyx)()(。综上所述，),(A是半群。11.4N是自然数集，在N上定义一个二元运算：Nyx,，yxyx。试问),(N是否是半群，是否有左、右幺元和幺元。解（1）封闭性对于Nyx,，显然有Nxyxy。（2）结合律不满足因为25628222)32(283，但64434323)22(32所以，3)22()32(2。故),(N不是半群。（3）1为右幺元因为Nx，显然有xxx11，所以1为右幺元。（4）无左幺元，无幺元。11.5设N是自然数集，在N上定义运算：Nba,，3baba。),(N是否是半群?若是，证明之，若不是举例说明。证明（1）封闭性对于Nba,，显然有Nbaba3。（2）结合律因为Ncba,,，有63)3()3()(cbacbacbacba，且63)3()3()(cbacbacbacba。所以，cbacba)()(。综上所述，),(N是半群。11.6N是自然数集。在N上定义运算：Nnm,，nmnmnm。证明：),(N是一个含幺半群。证明（1）封闭性对于Nnm,，显然有Nnmnmnm。3/21第11章3（2）结合律因为对于Ntnm,,，我们有：mntmtmntnmtntnmtnm)()(且mntmtmntnmtmnnmtnm)()(所以，tnmtnm)()(。（3）幺元0为幺元。因为对于Nm，有mmmmmmm000000。综上所述，),(N是一个含幺半群。11.7}10|{xRxA，R是实数集。在A上定义一个运算：Ayx,，xyyxyx。（1）证明),(A是一个含幺半群；（2）说出),(A不是群的理由。（1）证明封闭性：对于Ayx,，显然有Axyyxyx。结合律：对于Azyx,,，我们有：xyzxzxyyzzyxyzzyxzyx)()(xyzxzxyyzzyxzxyyxzyx)()(显然有，zyxzyx)()(。幺元：0为幺元。因为xxxxxxx000000。综上所述，),(A是一个含幺半群。（2）解因为对于1x，有0111yyy，即1不存在右幺元，所以不存在幺元。因此，),(A不是群。11.8),(A是半群，a是A中的一个元素，使得对A中的每一个x，A中就存在满足下述条件的u和v，使xavua。证明：A中存在幺元。证明对于ax，存在1ev，使得aae1，于是对于Ax，因为Au，使得4/21第11章4xua，所以xuauaeuaexe)()(111。即1e是左幺元。对于ax，存在2eu，使得aea2，于是对于Ax，因为Av，使得xav，所以xaveaveavex)(*)(222。即2e是右幺元。综上所述，A中存在幺元。11.9设),(S是一个半群。若Syx,，由yaxa，可得yx，称元素是左可约元。若Sba,均是左可约元，证明ba也是左可约元。证明对于Syx,，若ybaxba)()(，因为设),(S是一个半群，所以*满足结合律，从而有)()(ybaxba。因为a为左可约元，所以ybxb。又因为b为左可约元，所以yx。因此，ba也是左可约元。11.10判断下列代数系统哪些是群？哪些是含幺半群？哪些是循环群？),(R，)·,(R，),(Z，)·,(Z，),(AA，)),((S，),(6Z，),(6Z，),(6Z，),(5Z其中，}6,5,4,3,2,1,0{6Z，}0{6*6ZZ，}5,4,3,2,1,0{5Z，}0{5*5ZZ。解),(R是群，含幺半群，非循环群。)·,(R是群，含幺半群，非循环群。),(Z是群，含幺半群，循环群。)·,(Z是群，含幺半群，非循环群。),(AA是群，含幺半群，非循环群。)),((S含幺半群，不是群。),(6Z是群，含幺半群，循环群。),(6Z是群，含幺半群，循环群。),(6Z含幺半群，不是群。),(5Z含幺半群，不是群。5/21第11章511.11Q是有理数集。}0{QQ，在Q中定义运算，Qyx,，定义：xyyxyx22。证明：),(Q是一个群。证明（1）封闭性对于Qyx,，显然有Qxyyx2。（2）结合律对于Qzyx,,，有zyxzyxzxyxyzyzxzyx)()(2)2(24)2()(（3）幺元21为幺元。因为对于Qx，有xxxxx2122121221。（4）逆元对于Qx，其逆元为x41。因为xxxxxxxx412412141241。综上所述，),(Q是一个群。11.12设S是任意的一个非空集合，),(G是一个加群。令}|{的单射到是GSfGSfGAS。对规定的运算：Agf,，)()(:xgxfxgf，即Agf。证明),(A也是一个加群(加群即可换群)。证明（1）封闭性对于Agf,且Sx，因为f和g为单射，所以存在唯一的Gxgxf)(),(，又因为),(G是一个加群，所以存在唯一的Gxgxfxgf)()())((。因此，Agf。（2）结合律对于Ahgf,,且Sx，我们有：))()(()())(()()))(((xhxgxfxhgxfxhgf)())()(()())(())()((xhxgxfxhxgfxhgf因为),(G是一个加群，所以)())()(())()(()(xhxgxfxhxgxf，从而有，))()(()))(((xhgfxhgf，由函数相等的定义知，hgfhgf)()(。（3）幺元ef为幺元，其中GSfe:，且Sx，exfe)(，e为),(G的幺元。6/21第11章6因为对于Af且Sx，我们有)()()()())((xfexfxfxfxffee，根据函数相等的定义知，fffe；同理可证，fffe。（4）逆元对于Af且Sx，有Gxf)(。因为),(G是一个加群，所以Gxf1))((。从而GSf:1且对于Sx，有11))(()(xfxf为f的逆元。因为对于Sx，我们有)())(()()()())((111xfexfxfxfxfxffe，由函数相等的定义知，efff1；同理可证，efff1。（5）交换律对于Agf,且Sx，有Gxgxf)(),(。因为),(G是一个加群，所以交换律知，)()()()(xfxgxgxf。又因为)()())((xgxfxgf，)()())((xfxgxfg，所以))(())((xfgxgf。因此由函数相等的定义知，fggf。综上所述，),(A也是一个加群。11.13,*)(G是一个群，取定Gu，对于Ggg21,，我们有定义：21121**guggg。证明：),(G是一个群。证明（1）封闭性对于Ggg21,，21121**guggg，因为,*)(G是一个群，所以Gu得Gu1，从而有Ggug211**，因此Ggg21。（2）结合律对于Gggg321,,，我们有：)**(**)**()(312113121321gugugguggggg31211**)**(gugug=3213121)(**)(ggggugg故结合律满足。（3）幺元u为),(G的幺元。因为对于Gg，我们有geguugug***1，同理7/21第11章7有ggeguugu***1。（4）逆元对于Gg，其逆元为ugu**1。因为)**(**)**(111uguuguguguguug**)*(*11ugeg***1ugg*)*(1ue*u同理可证，ugugu)**(1。综上所述，),(G是一个群。8.14)·,(1G，)·,(2G是二个群。令GGG21，对于Ggggg),(),,('2'121，我们定义)·,·(),(·),('22'11'2'121gggggggg，证明：)(a)·,(G为群。)(b设},|),{(2211211的幺元是GeGgegG，则1G是G的正规子群。)(a证明（1）封闭性对于Ggggg),(),,('2'121，就有1'11,Ggg，2'22,Ggg。因为)·,(1G，)·,(2G为群，所以1'11·Ggg，2'22·Ggg。又因为)·,·(),(·),('22'11'2'121gggggggg，所以GGGgggg21'2'121),(·),(。（2）结合律对于Gfedcba),(),,(),,(，我们有：))·(·),·(·()·,·(·),()),(·),((·),(fdbecafdecbafedcba因为)·,(1G，)·,(2G是二个群，所以ecaeca·)·()·(·，fdbfdb·)·()·(·。从而有),(·)),(),,((),(·)·,·()·)·(),·)·(()),(·),((·),(fedcbafedbcafdbecafedcba。8/21第11章8（3）幺元对于Gba),(，有1Ga，2Gb。因为)·,(1G，)·,(2G是二个群，所以它们存在幺元1e和2e，从而有Gee),(21。因为),()·,·(),(·),(2121baebeaeeba，所以),(21ee是),(ba的右幺元；同理可证，),(21ee是),(ba的左幺元。故),(21ee是),(ba的幺元。（4）逆元对于Gba),(，有1Ga，2Gb。因为)·,(1G，)·,(2G是二个群，所以11Ga为a的逆元，21Gb为b的逆元，显然有Gba),(11。因为),()·,·(),(·),(211111eebbaababa，所以),(11ba是