33导数的运算法则

小蜗牛小蜗牛问妈妈：“为什么我们生下来，就要背负这个又硬又重的壳呢？”妈妈说：“因为我们身体没有骨骼的支撑，只能爬，又爬不快．所以需要这个壳的保护！”小蜗牛说：“毛虫妹妹没有骨头，也爬不快，为什么她却不背这个又硬又重的壳呢？”妈妈说：“因为毛虫妹妹能变成蝴蝶，天空会保护她啊！”小蜗牛又问：“可蚯蚓弟弟也没骨头爬不快，也不会变成蝴蝶，她为什么却不背这个又硬又重的壳呢？”妈妈说：“因为蚯蚓弟弟会钻土，大地会保护他啊！”小蜗牛哭了：“我们好可怜，天空不保护，大地也不保护．”蜗牛妈妈安慰她说：“所以我们有壳呀！我们不靠天，也不靠地，我们靠自己！”学习目标1.理解和掌握导数的加法、减法、乘法、除法法则的推导．2.熟悉导数的运算法则及导数基本公式；3.熟练掌握函数的求导计算方法。重点：利用导数的四则法则求导．难点：复合函数的导数求法；常与导数的综合应用结合进行考查．导数的运算法则及运算（5）对数函数的导数:.1)(ln)1(xx.ln1)(log)2(axxa（4）指数函数的导数:.)()1(xxee).1,0(ln)()2(aaaaaxxxxcos)(sin1）（（3）三角函数：xxsin)(cos2）（（1）常函数：(C)’0,(c为常数)；（2）幂函数：(xn)’nxn1回顾：基本初等函数的导数公式导数的运算法则:法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:()()()()fxgxfxgx法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即:()()()()()()fxgxfxgxfxgx法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方.即:2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx轮流求导之和上导乘下，下导乘上，差比下方。推论：)()()(])()()([)1(321321xfxfxfxfxfxf);(])([)2(xfkxkfwuvwvuvwuuvw)()3()()()(1)4(2xvxvxv可推广到有限个公式中都是对自变量x求导,若换变量同样成立.注意:初等函数的导数仍为初等函数.(u1±u2±…±un)′＝u1′±u2′±…±un′.例1解：yxxxy求设,4sincos2sin3)'4sin2cossin(3xxxy)'sin(3xx)'sin(sin)'(33xxxx.2sincossin332xxxxx)'2cos(x)'4sin()sin(2x0例2.tan的导数求xy解：)cossin()(tanxxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sinxxx222cossincosx2cos1yxyxx求设,loge23)log()e2(3xyxx例3解：)e(2e)2(xxxxln2e2xx.3ln1)12(ln)2(xexln31xxxe2ln31x1.求下列函数的导数：(1)y＝(2x2＋3)(3x－2)；(2)y＝x－1x＋1；(3)y＝x·tanx.(1)解析：(1)方法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3＝18x2－8x＋9.方法二：∵y＝(2x2＋3)·(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，∴y′＝18x2－8x＋9.1.求下列函数的导数：(1)y＝(2x2＋3)(3x－2)；(2)y＝x－1x＋1；(3)y＝x·tanx.(2)方法一：y′＝x－1x＋1′＝x－1′x＋1－x－1x＋1′x＋12＝x＋1－x－1x＋12＝2x＋12方法二：∵y＝x－1x＋1＝x＋1－2x＋1＝1－2x＋1，∴y′＝1－2x＋1′＝－2x＋1′＝－2′x＋1－2x＋1′x＋12＝2x＋12.1.求下列函数的导数：(1)y＝(2x2＋3)(3x－2)；(2)y＝x－1x＋1；(3)y＝x·tanx.(3)y′＝(x·tanx)′＝xsinxcosx′＝xsinx′cosx－xsinxcosx′cos2x＝sinx＋xcosxcosx＋xsin2xcos2x＝sinxcosx＋xcos2x..%982;%901:,.100801005284:%1.,.化率所需净化费用的瞬时变时求净化到下纯度为元单位用时所需费化到纯净度为吨水净已知将用不断增加所需净化费纯净度的提高随着水净化的经过通常是日常生活中的饮用水例xxxcx解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数。252845284'(100)5284(100)''())'100(100)xxcxxx=(25284(100)x20(100)5284(1)(100)xx25284'()(100)cxx25284(1)'(90)52.84(10090)c.8纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率是524元/吨。25284(2)'(98)1321(10098)c纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率是1321元/吨。?2ln的导数呢如何求函数思考xy.,22ln2ln.ln,22的函数表示为自变量可以通过中间变量即的得到复合经过和看成是由可以从而则若设xuyxxuuyxyuyxxu.2ln,,xxgfufyxguxuufyuy过程可表示为复合那么这个的关系记作和的关系记作与如果把.,3232,,22等等而成复合和由函数例如得到的复合经过可以看成是由两个函数我们遇到的许多函数都xuuyxy复合函数的求导法则：dxdududydxdy且有处可导也在点那么复合函数处可导在对应的点而函数处可导在点如果数,)]([,)(,)(xxfyuufyxxu.)()()]([xufxf或特点：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)xuxuyy也可记为.),(,,,,xgfyfunctioncompositexguufyxyuxguufy记作的和那么称这个函数为函数的函数可以表示成如果通过变量和对于两个函数一般地复合函数推广：,)(),(),(都可导设xvvuufy.)]}([{dxdvdvdududydxdyxfy的导数为则复合函数注意：可推广到有限次复合..,)()(,)]([:然后相乘即得导数的对的导数和对可先求出的导数时对求复合函数xxuuufyxxfy说明熟练该法则后,在求导时可不必写出中间变量,但对中间变量的求导决不能遗漏.方法是：从外到内,逐层求导..,sin3;2;3213105.02均为常数其中求下列函数的导数例xyeyxyx.3232122的复合函数和可以看作函数函数解xuuyxy由复合函数求导法则有'''xuxuyy''232xu.1284xu.105.02105.0的复合函数和可以看作函数函数xueyeyux由复合函数求导法则有'''xuxuyy''105.0xeu.05.005.0105.0xuee.sinsin3的复合函数和可以看作函数函数解：xuuyxy由复合函数求导法则有'''xuxuyy''sinxu.coscosxu均为常数），其中).(sin()3(xy(1)y＝2xsinx＋1xcosx；(2)y＝x42＋logax；(3)y＝11－x＋11＋x；(4)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．(1)y＝2xsinx＋1xcosx；(2)y＝x42＋logax；(3)y＝11－x＋11＋x；(4)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．[解题过程](1)y′＝(2xsinx)′＋1xcosx′＝x－12sinx＋2xcosx＋－1x2cosx＋(－sinx)1x＝(x－12－x－1)sinx＋(2x12－x－2)cosx.(1)y＝2xsinx＋1xcosx；(2)y＝x42＋logax；(3)y＝11－x＋11＋x；(4)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．(2)y′＝4x32＋logax－x4xlna2＋logax2＝8x3＋4x3logax－x3lna2＋logax2＝8－1lna＋4logax2＋logax2x3.(1)y＝2xsinx＋1xcosx；(2)y＝x42＋logax；(3)y＝11－x＋11＋x；(4)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．(3)∵y＝11－x＋11＋x＝21－x，∴y′＝－21－x′1－x2＝21－x2.(4)∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11.问题1:指出下列函数的复合关系)())sin()112nmyabxyxx),1mnyuuabx)sin,12yuuxx解:log())ln)222333243xxxyey)ln,,332xyuuvve),log,224323uyuvvxx例1设y=(2x+1)5，求y.解把2x+1看成中间变量u，y=u5，u=2x+1复合而成，,5)(45uuyu.2)12(xux所以.)12(102544xuuyyxux将y=(2x+1)5看成是由于二、复合函数求导举例例2设y=sin2x，求y.解这个函数可以看成是y=sinx·sinx,可利用乘法的导数公式，将y=sin2x看成是由y=u2，u=sinx复合而成.而,2)(2uuyu.cos)(sinxxux所以.cossin2cos2xxxuuyyxux这里，我们用复合函数求导法.例3:求下列函数复合的导数解:log())222343xxy),log,224323uyuvvxx'u''uvx1y=3ln3,u=,v=2x-2vln2log()'()ln()lnxxxxyxx222322133232log()log()()xxxxx222322231323求y.,12xy设解将中间变量u=1-x2记在脑子中..)1(2121)(21221也在心中运算xuuyu这样可以直接写出下式xxxxy)1()1(212212.12xx例4例5,sinlnxy设求y.解这个复合函数有三个复合步骤.,sin,lnxvvuuy把这些中间变量都记在脑子中．xxxxxy)(sinsin1)(xxxx)(cossin1.cot21xx两函数和差求导法则的推广(1)[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)，此法则可推广到有限个可导函数的情形，[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′=f1′(x)±f2′(x)＋f3′(x)±…±fn′(x)．(2)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)(a，b为常数)．两函数商的求导法则的特例fxgx′＝f′xgx－fxg′xg2x(g(x)