11结构弹性稳定

1/50结构的弹性稳定2/50结构的弹性稳定1.概述2.用静力法确定临界荷载3.具有弹性支座压杆的稳定4.刚架的稳定计算5.用能量法确定临界荷载3/501.概述1.概述稳定平衡状态随遇平衡状态不稳定平衡状态三种平衡状态：球在三个位置都能处于平衡，但受到干扰后表现不同：如小球受到干扰后仍能恢复到原先的平衡位置，则称该状态为稳定平衡如小球受到干扰后失去回到原先平衡位置的可能性，则称该状态为不稳定平衡如小球受到干扰后可停留在任何偏移后的新位置上，则称该状态为随遇平衡4/50结构失稳结构失稳：结构离开稳定的平衡状态，转入不稳定平衡状态或随遇平衡状态，称为结构失稳或结构屈曲。结构稳定分析的目的：防止结构发生不稳定的平衡状态或随遇平衡状态。结构失稳破坏是结构常见的破坏形式，破坏突然，后果严重。1.概述结构失稳的类型：第一类失稳（分支点失稳）第二类失稳（极值点失稳）5/50第一类失稳（分支点失稳）理想中心受压直杆当FFcr时，在杆上横向作用一微小的干扰力使杆弯曲，取消干扰力后，杆会恢复直线，此时，压杆的直线平衡是稳定的。当F=Fcr时，同样在杆的横向作用一微小的干扰力使杆弯曲，但取消干扰力后，杆不会恢复直线而仍保持弯曲平衡，出现了平衡形式的分支，即此时压杆即可以具有原来只受轴力的直线平衡，也可以具有同时受压和受弯新的弯曲平衡形式。此时的状态称为临界状态。第一类失稳的特征：平衡形式会发生质变，即出现分支点。FFcrδAFcrOFδF~δ曲线1.概述Fcr—临界荷载6/50第二类失稳（极值点失稳）压杆始终处于受压和弯曲的复合受力状态，随着荷载F的增加，杆件的挠度会逐渐增大。当荷载F达到临界值Fcr时，即使不增加荷载甚至减小荷载，挠度仍会继续增加。压杆始终处于弯曲平衡形式。第二类失稳的特征：平衡形式不发生改变，没有新的平衡形式产生。第二类失稳较第一类失稳复杂，本章只讨论弹性结构的第一类失稳。部分第二类失稳问题也可转化为第一类失稳问题简化处理。1.概述FeδAFcrOFδF~δ曲线Fcr—临界荷载7/50结构的稳定自由度结构稳定自由度：确定结构失稳时所有可能的变形形式所需的独立坐标的数目。1.概述1个自由度2个自由度Fy无限多个自由度FφEI=∞Fy1y2EI=∞EI=∞2个自由度Fy1y2EI=∞EI=∞与支承弹簧的数量无关8/502.用静力法确定临界荷载静力法：根据分支点状态（临界状态）结构新出现的平衡形式来建立平衡方程，从而求解临界荷载。1.刚性压杆（有限自由度）的临界荷载2.用静力法确定临界荷载AFcrOFBCφFABEI=∞klFABkφφ0sinkFlF~φ曲线图示单自由度结构，竖杆为刚性，下端为转动弹簧支承，其转动刚度为k。设压杆处于随遇平衡状态时偏离竖直位置，产生倾角φ，由平衡条件有：分别用近似形理论和精确理论求解此方程。9/501）按近似理论求解平衡方程：由于位移和变形都很小，近似地取，平衡方程可写为：2.用静力法确定临界荷载AFcrOFBCφFABEI=∞klFABkφφF~φ曲线Sin0sinkFl0)(kFl方程的解：φ=0时，上式成立，对应的是结构原有的平衡形式。φ≠0时，有，上式也成立，此时对应的是新的平衡形式。因此，欲使φ≠0，则必有，此式称为稳定方程或特征方程，反映了结构失稳时平衡形式的二重性，即：结构在新形式下也能维持平衡的条件。由稳定方程可求出临界荷载失稳后的位移值φ无定值，荷载—位移曲线如AB。0kFl0kFllkFcr10/502）按精确理论求解由平衡方程可得：2.用静力法确定临界荷载0sinkFlsinlkFFABkφφAFcrOFBCφ即每一个φ值对应一个F值，荷载—位移曲线如AC。临界荷载为：当φ→0时，当φ→0时，临界荷载与按近似理论分析所得结果相同。因此，若只求临界荷载而不需计算失稳后的位移，为简化计算，可按近似理论计算。lkFcr11/50例1：图示结构中两个抗侧移弹簧的刚度均为k，求结构的临界荷载。FEI=∞EI=∞kkllABCy1y2Fky1ky2解：结构有2个稳定自由度，设失稳时A、B点的侧向位移分别是y1、y2。（Y坐标向左为正）0)(112lkyyyF对AB段，由∑MB=0，有对整体，由∑MC=0，有02211lkylkyFy整理后得：写成矩阵形式：0)2(0)(2121klyyFklFyyFkl列平衡方程时，假定弯矩以顺时针为正。00221yyklFklFFkl2.用静力法确定临界荷载12/50y1、y2不能全为零，（否则对应失稳前的直线平衡状态）其非零解的条件是矩阵方程的系数矩阵行列式为零，即：0)2()(klFklFFkl展开得解得0)(322klklFFklklF618.22531klklF382.02532FEI=∞EI=∞kkllABCy1y2Fky1ky22.用静力法确定临界荷载00221yyklFklFFkl两个稳定自由度结构的稳定方程13/50klFFcr382.02理论上，F1、F2都是临界荷载，但两者对应的失稳形式不同，将F1、F2分别代入矩阵方程可以求得y1、y2的比例关系。618.01112FklFyyF1=2.618kl时，失稳形式是F2=0.382kl时，失稳形式是因F2F1，所以临界荷载为而真正的失稳形式是618.12212FklFyy618.112yyy1=1F=2.618kly2=0.618y1=1y2=-1.618F=0.382klFEI=∞EI=∞kkllABCklklF618.22531klklF382.025322.用静力法确定临界荷载注意：无法求得y1、y2的具体数值。14/50FyyxlFsBACFyFsMl-xAC由材料力学可知，挠曲线与截面弯矩的近似关系是：由平衡条件得：或：令，有MEIy)(xlFFyEIys)(xlEIFyEIFysEIFn2)(22xlFFnynys此微分方程的通解为：2.用静力法确定临界荷载无限自由度弹性压杆的临界荷载)(sincosxlFFnxBnxAys弯矩以y轴负向受拉为正15/50)(sincosxlFFnxBnxAys式中A、B为积分常数，Fs/F也是未知数，用挠曲线的边界条件来确定这些未知数。边界条件为当x=0时，y=0，y′=0当x=l时，y=0代入挠曲线方程，得到关于A、B、Fs/F的齐次线性方程组0000sincos1001FFBAnlnlnls2.用静力法确定临界荷载0sincos00nlBnlAFFBnlFFAss写成矩阵形式：通解16/5000sincos1001nlnlnl该式即为该结构的稳定方程，（1）A=B=Fs/F=0，显然是方程的一组解，此时挠曲线y=0，故这组解对应的是原有的直线平衡形式。（2）A、B、Fs/F不全为零（非零解），才可得到弯曲的挠曲线方程y=y(x)，因此，非零解对应的是失稳后的弯曲平衡形式，齐次线性方程组为非零解的条件是：系数矩阵行列式为零。故若A、B、Fs/F有非零解，则必有：0000sincos1001FFBAnlnlnls讨论该方程组的解)(sincosxlFFnxBnxAys2.用静力法确定临界荷载通解17/50493.4nlEIlEIlEInFcr22219.20493.4稳定方程展开整理得：该方程为超越方程，可用试算法结合图解法求解。解得：因，所以临界荷载为：nlnltan00sincos1001nlnlnlEIFn22.用静力法确定临界荷载18/503.具有弹性支座压杆的稳定3.具有弹性支座压杆的稳定一端弹性固定另一端自由的直压杆，弹簧抗转刚度为k1，试写出其稳定方程。根据建立平衡方程Ak11Fyy1MxFBAEIk1δyxly10AM011kFFk1119/50Ak11Fyy1MxFBAEIk1δyxly10AM11kFyEIyMEIy取下段隔离体分析，由又因，于是可得挠曲线微分方程：即：改写为：EIkyEIFy11EIFn2Fknyny1122011kFyM令，上式写为：微分方程的通解FknxBnxAy11sincos3.具有弹性支座压杆的稳定弯矩以y轴负向受拉为正20/50FknxBnxAy11sincos当x=0时，y=0，y′=1当x=l时，Fky11FBAEIk1δyxly10000sincos100111BAnlnlnFk式中，A，B为任意常数。挠曲线的边界条件为将挠曲线方程代入边界条件，得0sincos00111nlBnlABnFkA写成矩阵形式3.具有弹性支座压杆的稳定通解21/50上式为关于A，B，1的齐次线性方程组，当A=B=1=0时，对应原有的直线平衡形式。当A，B，1不全为零时，对应新的弯曲平衡形式，此时，上述方程的系数矩阵行列式必为零，即可得到稳定方程：00sincos10011nlnlnFkFBAEIk1δyxly10000sincos100111BAnlnlnFk3.具有弹性支座压杆的稳定22/5000sincos10011nlnlnFk0sincos1nlnlnFkEInF2EIlknlnl1tanFBAEIk1δyxly1解出n，进而可求得Fcr。展开行列式，得：因，故稳定方程可写为（稳定方程）3.具有弹性支座压杆的稳定23/50BASFFlxykyM=kEIφφ讨论右图所示具弹性转动支座的压杆的临界荷载。压杆下端转动弹簧的刚度为k。设压杆失稳时下端转角为，则相应的反力矩为，设压杆上端支座反力为，则由平衡条件可得：MkSFA0MS0MFlSMkFll有根据压杆任一截面弯矩的平衡条件可得到压杆挠曲线的平衡微分方程为SEIyFyFlx2FnEI令上式化为22kynynlxFl其通解为cossinkyAnxBnxlxFl3.具有弹性支座压杆的稳定24/50已知边界条件为：当时，和；当时，0x0yyxl0y将边界条件代入通解可得如下齐次方程组0-10cossin0kAFkBnFlAnlBnl新的平衡形式要求A、B和φ不能全为零，因此上式的系数行列式应为零，即稳定方程为10010cossin0kFknFlnlnl3.具有弹性支座压杆的稳定25/50将其展开，整理后可得（1）2tan1nlnlEInlkl当转动弹簧刚度k之值给定时，便可由此超越方程解出nl的最小正根，再根据求得临界荷载。2FnEI(1)当k=0时，相当于两端铰接情况，式（1）变为。最小正根为，可求得，这就是两端铰接弹性压杆的临界荷载。tan0nlnl222cr2EIFnEIEIll(2)当k=∞时，相当于一端铰接，一端固定的情况,式（1）变为，最小正根为，可求得：这就是一端铰接，一端固定弹性压杆的临界荷载。tannlnl493.4nlEIlEIlEInFcr22219.20493.43.具有弹性支座压杆的稳定26/50对不同支座情况的压杆均可采用类似的方法求解其临界荷载。下图给出了几种常见的刚性支承条件下等截面弹性直杆的临界荷载值。各种支撑情