板壳理论 课件 chapter1 弹性薄板弯曲的基本理论

第一章弹性薄板弯曲的基本理论薄板弯曲理论的求解方法（位移解法）几何方程物理方程边界条件（初始条件）平衡微分方程（运动方程）弹性薄板的基本微分方程（运动方程）问题的解---板内各点位移第一章弹性薄板弯曲的基本理论板的计算问题归结为寻求一个函数，这个函数必须满足基本微分方程，此外在板的周边还应该满足某些静力条件或运动条件，这就是所谓的边界条件。§1.3边界条件图1.4板的边界条件如图1.4所示，在x=0的边缘为简支边；y=0边为固支边；x=a和y=b两边为自由边。第一章弹性薄板弯曲的基本理论简支边界边界处没有外加弯矩边界处有外加弯矩)0(0xMwxyxwDzdzMMxwywDzdzMywxwDzdzMhhxyyxxyhhyyhhxx222222222222222)1()0(022xxwwM)0(,022xDMxww)0(,0xMMwx(1.3.1)(1.3.2)(1.3.3)第一章弹性薄板弯曲的基本理论(1.3.4)(1.3.5))0(0yyww)(0byQMMyyxy固支边界自由边界边界上没有外载荷作用第一章弹性薄板弯曲的基本理论图1.5边界上的扭矩在薄板弯曲的近似理论中，可以将(1.3.5)中的后两个条件合并为一个。第一章弹性薄板弯曲的基本理论考虑任一边界（不一定是自由边界）上所受的扭矩Myx。在微段CD上：在C处有一集中力Myx在D处有一反向集中力Myx内力Myxdx在微段DE上：在D处有一集中力在E处有一反向集中力内力dxdxxMMyxyxdxxMMyxyxdxxMMyxyx在D处作用由扭矩折算的横剪力dxxMMdxxMMyxyxyxyx单位长度的横剪力xMyx第一章弹性薄板弯曲的基本理论因此，可以认为在边界上任意一点处作用有一折算剪力(1.3.6)于是自由边上的边界条件可以表示为在y=b处：同时可以看到，此时在边界的两端有未被抵消的集中剪力R(1.3.7)(1.3.8)xMQVyxyyByxBAAyxABMRMR,)(0,0byxMQVMyxyyy后一边界条件表示总的分布剪力等于零，它将原有的两个边界条件合而为一。第一章弹性薄板弯曲的基本理论注意到(1.2.4)和(1.2.10)式，(1.3.8)可以改写为(1.3.9)根据(1.2.4)式，上式又可写为在两条自由边的交点上，例如图1.4的B点处，有总的集中反力(1.3.10)(1.3.11))(0)2(,023332222byyxwywxwywBxyBxyByxBCBABMMMRRR2BByxwDR212第一章弹性薄板弯曲的基本理论因此，如果B点没有支承对板施加此集中力，板微分方程的解还需要满足角点条件,即在x=a,y=b处(1.3.12)此时反力大小由(1.3.11)式给出。如果在B点处有支座可以对薄板施加反力，则有下述角点条件,即在x=a,y=b处(1.3.13)02yxw0w第一章弹性薄板弯曲的基本理论边界条件固支边界简支边界自由边界)0(022xxww)0(0yyww)(0)2(,023332222byyxwywxwyw第一章弹性薄板弯曲的基本理论薄板弯曲理论的求解方法（位移解法）几何方程物理方程边界条件（初始条件）平衡微分方程（运动方程）弹性薄板的基本微分方程（运动方程）问题的解---板内各点位移第一章弹性薄板弯曲的基本理论薄板问题的求解就是寻求满足基本微分方程和相应边界条件的挠曲函数。本节通过几个简单的例子来展示薄板问题的求解过程。§1.4简单例题例1均布载荷作用下周边固支的椭圆板。如图1.6所示.图1.6周边固支的椭圆板xyab第一章弹性薄板弯曲的基本理论0nww解：（1）薄板的微分方程qywyxwxwDwD4422444222（2）边界条件（3）取满足边界条件挠度函数其边界方程可以表示为(1.4.1)12222byax第一章弹性薄板弯曲的基本理论显然，上式满足在边界上w=0的边界条件。在边界上有试取挠度函数的表达式为(1.4.2)(1.4.3)222221byaxmw0140142222222222byaxbmyywbyaxamxxw考虑到(1.4.4)可见挠曲函数同样满足了在边界上的条件。nyywnxxwnw0nw第一章弹性薄板弯曲的基本理论由上式解得m后不难得到将式(1.4.2)代入薄板的微分方程中，得(1.4.5)(1.4.6)qbmbamamD422424162442242222232381bbaaDbyaxqw上式即为本问题的精确解，这是因为式(1.4.6)满足了基本微分方程和全部的边界条件。（4）确定挠度函数第一章弹性薄板弯曲的基本理论将(1.4.6)式代入(1.2.4)和(1.2.10)式，就可以得到板的内力分量Mx，My，Mxy，Qx和Qy。将内力分量代入(1.2.14)式，即可求得薄板的全部应力分量及应变分量。[练习]『注意』全部非零的应力分量为9个（x，y，z，xy＝yx，xz＝zx，yz＝zy），应变分量为3个（ex，ey，gxy)。如果设，则椭圆板就成为跨度为2b的平面应变情形下的固支梁；如果设a=b，就可以得到周边固支圆板的准确解答[习题]。a（5）求解内力及应力分量第一章弹性薄板弯曲的基本理论求解步骤（1）薄板的微分方程（2）边界条件（3）取满足边界条件挠度函数•试取挠度函数•验证满足边界条件（4）确定挠度函数（5）求解内力及应力分量第一章弹性薄板弯曲的基本理论例2设一矩形薄板四边简支，板的四个角点处的支承构件发生了不相等的沉陷，研究此时板中的应力。在小变形的情况下，可以认为板的四个角点处发生不相等的沉陷实际上等价于只有一个角点发生了沉陷。这是因为刚体运动不会影响薄板内的应力分布，因此可以在沉陷后的四个角点中任意取三个角点所形成的平面作为基准面，而认为第四个角点相对于此基准面有沉陷即可。如图1.7所示.第一章弹性薄板弯曲的基本理论解：（1）薄板的微分方程qywyxwxwDwD4422444222（2）边界条件设四边简支矩形薄板在角点B处发生了相对于基准面的沉陷，沉陷大小为x，则BC边和AB边的挠度是(1.4.7)在OA边和OC边，边界条件是在这两个边界上还有薄板弯矩的边界条件(1.4.8)(1.4.9)xawybwbyaxxx,0byyaxxMM0,00,00000yyyxxxMwMw第一章弹性薄板弯曲的基本理论取薄板的挠度曲线函数为(1.4.10)xyabwx（3）取满足边界条件挠度函数不难验证，这一挠曲函数可以满足所有的边界条件。[练习]（4）确定挠度函数将式(1.4.10)代入薄板的微分方程中可以满足。因此(1.4.10)式就是问题的正确解答。第一章弹性薄板弯曲的基本理论(1.4.11)0,00,0)1()1(0022222222222xMQVyMQVwyDQwxDQabDyxwDMMxwywDMywxwDMyxyyxyxxyxyxxyyxx（5）求解内力及应力分量[练习]第一章弹性薄板弯曲的基本理论应该注意的是虽然分布反力Vx和Vy都为零，但是集中反力是存在的，其大小为(1.4.12)可见薄板在B点受有向下的反力，类似地不难看出板在O点受有同样大小的向下的反力，而在A和C点则受有同样大小的向上的反力。abDyxwDRBBx)1(2)1(22[练习]第一章弹性薄板弯曲的基本理论习题：1、求解均布载荷作用下周边固支的圆板。求板的内力分量Mx，My，Mxy，Qx和Qy，并求得薄板的全部应力分量和应变分量。第一章弹性薄板弯曲的基本理论习题讲解：（1）首先给出微分方程，列出边界条件。对应分析，避免对条件分析不充分。（2）全部非零的应力分量为9个（x，y，z，xy＝yx，xz＝zx，yz＝zy），应变分量为3个（ex，ey，gxy)。（3）注意计算中的错误。第一章弹性薄板弯曲的基本理论薄板横向弯曲的微分方程是§1.5四边简支矩形板的一般解(1.5.1)如图1.8所示，考虑一个周边简支的矩形板.qywyxwxwDwD4422444222图1.8四边简支的矩形板第一章弹性薄板弯曲的基本理论板应满足的边界条件是(1.5.2)(1.5.3)022xww当x=0,x=a时：当y=0,y=b时：022yww第一章弹性薄板弯曲的基本理论纳维埃(Navier)取如下的双重正弦级数作为方程(1.5.1)的解(1.5.4)mnmnyxAwsinsin•Navier解法其中,,...)3,2,1(,,...)3,2,1(nbnmam式(1.5.4)给定的挠曲函数满足了相应的边界条件。[验证]第一章弹性薄板弯曲的基本理论要确定系数Amn，须将方程(1.5.1)右端的载荷q也展成重正弦级数(1.5.5)将上述诸式一并代入方程(1.5.1)即得式中(1.5.6)(1.5.7)mnmnyxBqsinsinabmnydxdyxqabB00sinsin422200sinsin4DabydxdyxqAabmn代入(1.5.4)即可求得板的位移，进而求得板中内力和应力。第一章弹性薄板弯曲的基本理论如果q为常数q0，即q=q0，则有(1.5.8)或(1.5.9)2220)cos1)(cos1(4DabnmqAmn...)5,3,1,(162220nmDabqAmnmnnmmnyxDqw...),5,3,1,(sinsin1622220(1.5.11)mnnxmyDabqw...),5,3,1(sincos1sin82220即第一章弹性薄板弯曲的基本理论如果在(x,h)处作用一集中力P，则(1.5.10)222sinsin4hxDabPAmn(1.5.12)mnyxDabPwhxsinsinsinsin4222由此得到[练习]hxhxxxhhsinsin4sinsinsinsin4sinsinsinsin422200abPmnPBydxdyxabPydxdyxqabBmnabmn设想P作用在(x,h)为中心面积为42的微小区域，则第一章弹性薄板弯曲的基本理论Navier解法优点：不论载荷如何，级数的计算都比较简单。缺点：1、只适用于四边简支矩形板，而且简支边不能受力矩载荷，也不能有沉陷引起的挠度。2、级数解答收敛很慢。应用上述各式可以求板中各点的挠度，但用来求弯矩和剪力则需要取很多项，因为这些级数经过的微分次数越多收敛得越慢。第一章弹性薄板弯曲的基本理论列维(Levy)取如下的单正弦级数(1.5.13)将上式代入方程(1.5.1)有(1.5.14)mmxYwsinDqxYdyYddyYdmmmmsin2422244•Levy解法板在x=0和x=a的两边为简支。022xww当x=0,x=a时：第一