高数同济六版课件D12_6一致收敛

目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版函数项级数的一致收敛性*第六节一、函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质二、一致收敛级数的基本性质第十二章目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版一、函数项级数的一致收敛性幂级数在收敛区间上的性质类似于多项式,但一般函数项级数则不一定有这么好的特点.例如,级数)()()(1232nnxxxxxxx每项在[0,1]上都连续,其前n项之和为,)(nnxxS和函数)(lim)(xSxSnn10x,01x,1该和函数在x＝1间断.目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版因为对任意x都有:),2,1(1sin222nnnxn所以它的收敛域为(,),但逐项求导后的级数xnxx22cos2coscos其一般项不趋于0,所以对任意x都发散.又如,函数项级数问题:对什么样的函数项级数才有:逐项连续和函数连续;逐项求导=和函数求导;逐项积分=和函数积分目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版定义.设S(x)为)(1xunn若对都有一个只依赖于的自然数N,使当nN时,对区间I上的一切x都有)()()(xSxSxrnn则称该级数在区间I上一致收敛于和函数S(x).在区间I上的和函数,任意给定的0,显然,在区间I上)(1xunn一致收敛于和函数S(x)部分和序列)(xSn一致收敛于S(x)余项)(xrn一致收敛于0目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版几何解释:(如图))(xSy)(xSyIx)(xSy,0,NN当nN时,表示)()(xSxSn曲线)()(xSyxSy与总位于曲线)(xSyn)(xSyn之间.目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版例1.研究级数)1)((1)3)(2(1)2)(1(1nxnxxxxx在区间[0,+∞)上的收敛性.解:111)1)((1kxkxkxkx),2,1(k)3121()2111()(xxxxxSn)111(nxnx1111nxx目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版)(lim)(xSxSnn)1111(limnxxn11x)0(x余项的绝对值:)()()(xSxSxrnn11nx11n)0(x因此,任给0,取自然数,11N则当nN时有)0()(xxrn这说明级数在[0,+∞)上一致收敛于.11)(xxS目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版例2.证明级数)()()(1232nnxxxxxxx在[0,1]上不一致收敛.证:nnnnxxxxxxxS)()()(12)(xS10x,01x,1)()()(xSxSxrnn10x,nx1x,0取正数,21对无论多么大的正数N,,)(11210Nx取,]1,0[0x,)(2101xrN而因此级数在[0,1]上不一致收敛.目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版yOx说明:11nnnxxS)()(xS10x,01x,12n4n10n30n)1,1()(xS对任意正数r1,级数在[0,r]上一致收敛.事实上,因为在[0,r]上,)(nnrxr任给0,欲使,nr只要,lnlnrn因此取,lnlnrN只要,Nn,)(nnrxr必有即级数在[0,r]上一致收敛.目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版维尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法用一致收敛定义判别级数的一致收敛性时,需求出),()(xSxSn及这往往比较困难.下面介绍一个较方便的判别法.若函数项级数)(1xunn在区间I上满足:;),2,1()()1naxunn,)21收敛正项级数nna则函数项级数)(1xunn在区间I上一致收敛.简介目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版证:由条件2),根据柯西审敛原理,,,0N当nN时,对任意正整数p,都有221pnnnaaa由条件1),对x∈I,有)()()(21xuxuxupnnn)()()(21xuxuxupnnn221pnnnaaa则由上式得令,p2)(xrn故函数项级数)(1xunn在区间I上一致收敛.证毕目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版OxRRab推论.若幂级数nnnxa0的收敛半径R0,则此级数在(－R,R)内任一闭区间[a,b]上一致收敛.证:},,max{bar设则对[a,b]上的一切x,都有),2,1,0(nraxannnn,0Rr而由阿贝尔定理(第三节定理1)级数nnnra0绝对收敛,由维尔斯特拉斯判别法即知推论成立.说明:若幂级数在收敛区间的端点收敛,则一致收敛区间可包含此端点.证毕目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版例3.证明级数在(,)上一致收敛.证:),,(x因对任意而级数021nn收敛,由维尔斯特拉斯判别法知所给级数在(,)上一致收敛.目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版说明:维尔斯特拉斯判别法不仅能判别级数的一致收敛性,而且能判别其绝对收敛性.当不易观察到不等式时，nnaxu)(可利用导数求)(maxxuanIxn例如,级数,1251xnxnn),,0[x,12111max232525),0[nnuxnxnann用求导法可得已知2311nn收敛,因此原级数在[0,)上一致收敛.,1)(25xnxnxun目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版二、一致收敛级数的基本性质定理1.若级数:)(1满足xunn,)(],[)()21xSbaxunn上一致收敛于在区间.],[)(上连续在则baxS证:只需证明,],[0bax.)()(lim00xSxSxx由于)()(0xSxS)]()([)]()([00xrxSxrxSnnnn)()()()(00xrxrxSxSnnnn;],[)()1上连续在区间各项baxun目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版)()()()()()(000xrxrxSxSxSxSnnnn因为级数)(1xunn一致收敛于S(x),N,0故),(N使当nN时,有3)(,3)(0xrxrnn对这样选定的n,,)(0连续在xxSn从而必存在0,有时当,0δxx3)()(0xSxSnn从而得)()(0xSxS,)(0连续在故xxS).()(lim00xSxSxx即证毕目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版说明:(1)定理1表明,对一致收敛的级数,极限运算与无限求和运算可交换,即有)(lim)(lim0011xuxunxxnnnxx(2)若函数项级数不一致收敛时,定理结论不一定成立.例如,级数)1()1()1(12xxxxxxxn在区间[0,1]上处处收敛,而其和函数)(xS10x,01x,1在x=1处不连续.目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版定理2.若级数:)(1满足xunn,)(],[)()21xSbaxunn上一致收敛于在区间则该级数在[a,b]上可逐项积分,xxuxxSnxxnxxd)(d)(001,0bxxa即对且上式右端级数在[a,b]上也一致收敛.证:因为xxukxxnkd)(01xxSxxunxxknkxxd)(d)(001;],[)()1上连续在区间各项baxun目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版所以只需证明对任意),(],[,00xxbaxx一致有xxSxxSxxnxxnd)(d)(lim00根据级数的一致收敛性,),(,0NN使当nN时,有abxSxSn)()(于是,当nN时,对一切),(],[,00xxbaxx有xxSxxSxxnxxd)(d)(00xxSxSnxxd)()(0xxSxSnbad)()(因此定理结论正确.证毕目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版说明:若级数不一致收敛时,定理结论不一定成立.例如,级数2222)1(221e)1(2e2xnxnnxnxn它的部分和因此级数在[0,1]上收敛于S(x)=0,所以.0d)(10xxS但是xxnxnxnxnnde)1(2e22222)1(2211022ee)1(1nnn110)(dxxS①对级数①定理结论不成立的原因:目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版级数①的余项22e2)(2xnnxnxr,10时当nx)2(1e2)(0nnxrn可见级数①在[0,1]上不一致收敛,此即定理2结论对级数①不成立的原因.2222)1(221e)1(2e2xnxnnxnxn①目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版定理3.若级数满足：)(1xunn,],[)()31上一致收敛在级数baxunn],[),()(1baxxuxSnn且可逐项求导,即;),2,1(],[)()2nbaxun上连续在,],[)(1上一致收敛在区间则baxunn;)(],[)1xSba上收敛于在区间证:先证可逐项求导.),()(1xxunn设根据定理2目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版有对,],[baxxxuxxnxanxad)(d)(1)()(1auxunnn)()(11auxunnnn)()(aSxS上式两边对x求导,得).()(xxS再证.],[)(1上一致收敛在baxunn根据,],[d)(1上一致收敛在级数baxxunxan而xxunxand)(1)()(11auxunnnn定理2目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版)(1xunnxxunxand)(1)(1aunn所以.],[上一致收敛在ba级数一致收敛并不保证可以逐项求导.例如,例3中的级数说明:在任意区间上都一致收敛,但求导后的级数xnxx22cos2coscos其一般项不趋于0,所以对任意x都发散.证毕目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版例4.证明函数31sin)(nnxxfn对任意x有连续导数.解:显然所给级数对任意x都收敛,且每项都有连续导数,而逐项求导后的级数31sinnnxn21cosnnxn,1cos22nnnx,121收敛nn故级数②在(,)上一致收敛,故由定理3可知.cos)(21nnxxfn②再由定理1可知.),()(上连续在xf定理1定理3目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版定理4.若幂级数的收敛半径nnnxaxS0)(,11nnnxan),(RRxxxaxxSnxnnxdd)(000,110nnnxna),(RRx则其和函在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛