二次函数在给定区间的最值

闭区间上二次函数的最值导航：能利用数形结合、分类讨论思想求闭区间上二次函数最值O-2xy2-1练习、分别在下列各范围上求函数y=x2+2x－3的最值22x(2)31x(3)(1)Rax2(4)31ymin=-4，无最大值ymax=5ymin=-4ymax=12ymin=0O-2xy2-1练习：分别在下列各范围上求函数y=x2+2x－3的最值22x(2)(3)(1)R31x(3)ax2(4)①当-2≤a-1时aymax=-3,ymin=a2+2a-3O-2xy2-1练习：分别在下列各范围上求函数y=x2+2x－3的最值22x(2)31x(3)(1)Rax2(4)②当-1≤a≤0时a①当-2≤a-1时ymax=-3,ymin=a2+2a-3ymax=-3,ymin=-4ymax=-3,ymin=a2+2a-3O-2xy2-1练习：分别在下列各范围上求函数y=x2+2x－3的最值22x(2)(1)Rax2(4)③当a0时a②当-1≤a≤0时①当-2≤a-1时31x(3)ymax=a2+2a-3，ymin=-4ymax=-3,ymin=a2+2a-3ymax=-3,ymin=-4问题：开口向上的二次函数在闭区间上的最大、最小值受到哪些因素的影响？请讨论。练习一1、求2164,1,44yxx的最大值和最小值。2、求2164,4,74yxx的最大值和最小值。3、求2164,5,84yxx的最大值和最小值。4、求2164,9,114yxx的最大值和最小值。开口向下的二次函数在闭区间上的最大、最小值受到哪些因素的影响？例1、求函数y=-x2-2x+3在区间[-2,3]上的最值oxyX=-1-313-24-12解：∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4∴函数的对称轴为直线x=-1∴-2≤-1≤3∴当x=-1时，y的最大值为f(-1)=4当x=3时，y的最小值为f(3)=-12一、定函数定区间例2、已知函数y=ax2+2ax+1-a在区间[0,1]上有最大值2，求实数a的值yx10-1a＞0解：当a=0时，f(x)=1（不合题意）当a≠0时，f(x)=a(x+1)2+1-2a，x∈[0,1](1)当a＞0时，f(x)max=f(1)=2a+1=2，∴a=21二、定区间定轴动函数例2、已知函数y=ax2+2ax+1-a在区间[0,1]上有最大值2，求实数a的值yx10-1a＜0(2)当a0时，f(x)max=f(0)=1-a=2，∴a=-1例2、已知函数y=ax2+2ax+1-a在区间[0,1]上有最大值2，求实数a的值解：当a=0时，f(x)=1（不合题意）当a≠0时，f(x)=a(x+1)2+1-2a，x∈[0,1](1)当a＞0时，f(x)max=f(1)=2a+1=2，∴a=(2)当a0时，f(x)max=f(0)=1-a=2，∴a=-12121综上所述：a=或a=-1(1)当a＞0时，f(x)max=f(1)=2a+1=2，∴a=21yx10-1a＞0yx10-1a＜0解：∵函数的对称轴为直线x=a⑴当a≤0时y的最大值为f(0)=1-a例3求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最大值.yOx10X=a三、定区间动轴动函数(2)当0＜a＜1时y的最大值为f(a)=a2-a+1例3求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最大值.Oxy10X=a(3)当a≥1时y的最大值为f(1)=4+a例3求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最大值.xy10X=a例3求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最大值.解：∵函数的对称轴为直线x=a⑴当a≤0时y的最大值为f(0)=1-a(2)当0＜a＜1时y的最大值为f(a)=a2-a+1(3)当a≥1时y的最大值为f(1)=4+ayOx10X=aOxy10X=axy10X=a思考1：函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最大值为2，求a的值.解：∵函数的对称轴为直线x=a⑴当a≤0时当x=0时y的最大值为2∴a=-1(2)当0＜a＜1时当x=a时y的最大值为2∴a=-1（舍去）(3)当a≥1时当x=1时y的最大值为2∴a=2综上所述：a=-1或a=2yOx10X=aOxy10X=axy10X=a思考2：求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最小值.yOx10X=aOxy10X=axy10X=a思考2：求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最小值.1）当＜时，y的最小值为f(1)=4+a2）当≥时，y的最小值为f(0)=1-a2121Oxy10X=a解：∵函数的对称轴为直线x=a解：∵函数的对称轴为直线x=a⑴当a≤0时y的最小值为f(1)=4+ay的最大值为f(0)=1-a変题1求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最值.yOx10X=a(2)当0＜a＜1时y的最大值为f(a)=a2-a+11）当0＜a＜时，y的最小值为f(1)=4+a2）当1＞a≥时，y的最小值为f(0)=1-a2121変题1求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最值.Oxy10X=a(3)当a≥1时y的最大值为f(1)=4+ay的最小值为f(0)=1-a変题1求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最值.xy10X=a変题1求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最值.解：∵函数的对称轴为直线x=a⑴当a≤0时y的最大值为f(0)=1-ay的最小值为f(1)=4+a(2)当0＜a＜1时y的最大值为f(a)=a2-a+11）当0＜a＜时，y的最小值为f(1)=4+a2）当1＞a≥时，y的最小值为f(0)=1-a(3)当a≥1时y的最大值为f(1)=4+ay的最小值为f(0)=1-a2121yOx10X=aOxy10X=axy10X=ayOx10X=aOxy10X=axy10X=a)(,)10(2.22的取值范围是则最大值是的函数练习aaxaxxy1,0][D.2,0][C.[0,2]B.0,1][A..01,10,,,)(2max22aaayaxaaxy故有由于对称轴为[解析][解析][答案]D.01,10,,,)(2max22aaayaxaaxy故有由于对称轴为函数f(x)=x2-2x-3在闭区间[t,t+1](t∈R)上的最小值记为g(t),试写出g(t)的函数表达式，并求出g(t)的最小值。解：f(x)=(x-1)2-41)当t＞1时，g(t)=f(t)=t2-2t-32)当t≤1≤t+1时，g(t)=f(1)=-43)当1＞t+1时，g(t)=f(t+1)=t2-4∴g(t)=t2-2t-3t＞1-40≤t≤1t2-4t＜0∴g(t)min=-4四、定函数动区间1.求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值析:函数图象的对称轴方程为x=,又x∈[-1,a]2a故a-1,-,∴对称轴在x=-的右边.2a2121∴(1)当-1≤a时,即a≥0时,由二次函数图象2a可知:ymax=f()=2a4a2xyo-1a(2)当a时,即-1a0时,2a五、动轴动区间∵f(x)在区间[0,2]上的最小值为3,∴可分情况讨论如下:2.已知函数f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2在区间[0,2]上有最小值3,求实数a的值.解:由已知f(x)=4(x-)2-2a+2.a2a2(1)当≤0,即a≤0时,函数f(x)在[0,2]上是增函数.∴f(x)min=f(0)=a2-2a+2.a2(2)当02,即0a4时,a2f(x)min=f()=-2a+2.由-2a+2=3得:a=-12(0,4),舍去.a2(3)当≥2,即a≥4时,函数f(x)在[0,2]上是减函数.∴f(x)min=f(2)=a2-10a+18.由a2-2a+2=3得:a=12.∵a≤0,∴a=1-2.由a2-10a+18=3得:a=510.∵a≥4,∴a=5+10.综上所述,a=1-2或a=5+10.回顾小结：1、数学结合在求闭区间上二次函数的最值中的应用2、分类讨论在求闭区间上二次函数的最值中的应用（含参数）巩固练习：1、已知函数f(x)=2x2-2ax+3在区间[-1,1]上有最小值g(a),求g(a)的函数表达式，并求g(a)的最大值。2、已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是。3、函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-3,2]上有最大值4，求实数a的值。