二次函数的图象与性质

二次函数的图象与性质学习目标知识回顾典型例题和及时反馈1.明确二次函数的定义,善于辨析二次函数与其它函数的区别.2.会用配方法和公式法求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴和二次函数的最大值或最小值.3.会根据二次函数关系式中字母系数来确定抛物线顶点的位置、对称轴的位置等，根据抛物线的位置和形状确定字母系数的值或取值范围.4.会用待定系数法求二次函数的关系式.1.二次函数的定义一般地，形如ｙ=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数称为二次函数，其中x是自变量，y是x的函数.已知任意三个点已知顶点(-k,h)及另一个点已知与x轴的两个交点及另一个点使用范围关系式一般式顶点式两根式2.二次函数的关系式y=ax2+bx+c(a≠0)y=a(x+k)2+h(a≠0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)ｙ=a(x+k)2+h直线x=-k直线x=-k(-k,h)(-k,h)当x-k时，y随x的增大而减小当x-k时，y随x的增大而增大当x-k时，y随x的增大而增大当x-k时，y随x的增大而减小x=-k时，y最小=hx=-k时，y最大=h向上向下yx0yx0a0a0开口方向顶点坐标对称轴增减性最值图象（草图）a≠03.二次函数的图象和性质y=ax2+bx+c(a≠0)配方)0(44)2(22aabacabxayabx2对称轴：直线)44,2(2abacab顶点坐标：y=ax2“上加下减”“左加右减”y=ax2±c(c0)y=a(x±k)2(k0)3.二次函数的图象和性质1.二次函数的概念例1.下列函数是二次函数的是()A.y=(x-3)2-x2B.C.D.322xyxy3112xy误点剖析:本题的易错点是将A作为二次函数，注意必须先化简,然后根据定义做出判断.有的同学选A，你认为正确吗？例2.已知函数y＝(m＋2)x|m|是二次函数，则m等于2分析:根据二次函数的定义,只要满足|m|=2且m＋2≠0就是二次函数.误点剖析:本题的易错点是没有检验而直接得出m=±2.点评:判断一个函数是否是二次函数,应根据以下三条:1.函数关系式是整式;2.化简后自变量的最高次数是2;3.二次项的系数不为零.1.下列函数中,是二次函数的是()A.B.C.D.22)1(xxy122tty212xxy13xy2.已知函数y＝(m-3)xm-3m+2是二次函数，则m等于.2例3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x=4时取得最小值-3,且它的图象与x轴一个交点的横坐标为1，求此二次函数的关系式.2.用待定系数法求二次函数的关系式分析:因为二次函数当x=4时取得最小值-3,所以图象的顶点为(4,-3),对称轴为直线x=4，开口向上，图象与x轴一个交点为(1,0),根据对称性知另一交点为(7,0).顶点坐标是什么?对称轴是什么?图象与x轴的另一交点呢?∵图象经过点(4,-3)、(1,0)和(7,0)解一:设二次函数关系式为y=ax2+bx+c(a≠0),3738312xxy∴16a+4b+c=-3易得：a+b+c=049a+7b+c=0解二：∵抛物线的顶点为(4,-3)∴设其关系式为y=a(x-4)2-3.∵抛物线与x轴一个交点为(1,0),∴0=9a-3∴a=∴即313738312xxy3)4(312xy31解三：∵抛物线与x轴的两个交点为(1,0)、(7,0)∴设二次函数关系式为y=a(x-1)(x-7).又∵抛物线经过点(4,-3),∴-3=a(4-1)(4-7)∴a=∴二次函数关系式为即)7)(1(31xxy3738312xxy请同学们比较哪一种方法更简捷？点评:用待定系数法求抛物线关系式时,若已知条件是图象上的三个点宜采用一般式;误点剖析：不能根据题目中的条件灵活选择二次函数关系式的形式,导致计算繁琐而出现错误.若题目提供的条件含有顶点或对称轴或最大(小)值时,宜采用顶点式;若题目提供的条件和x轴的交点有关时,宜采用两根式.1.已知抛物线的顶点坐标是(-1,-2),且过点(1,10),求此抛物线的关系式.2.已知抛物线过点(0,-2),(1,0),(2,3),求此抛物线的关系式.3.已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1,且过点(2,8),求此抛物线的关系式.4.请写出一个二次函数关系式,使其图象与y轴的交点坐标为(0,2),且图象的对称轴在y轴的右侧.3.二次函数的图象及性质例4.求抛物线y=2x2-4x+5的对称轴和顶点坐标.解法2:将一般式化为顶点式.y=2x2-4x+5=2(x2-2x+1-1)+5=2(x-1)2+3∴顶点坐标是(1,3),对称轴是直线x=1.解:利用公式法:a=2,b=-4,c=5∴,12242ab324)4(5244422abac∴顶点坐标是(1,3),对称轴是直线x=1.你还有其他方法吗?点评:配方法是解二次函数问题中常用的思想方法,利用配方法可将二次函数的一般式化为顶点式,从而为进一步利用二次函数的性质解题奠定基础.例5.(x1,y1)、(x2,y2)是抛物线y=2x2-4x-1上的两点,且x2＜x1＜0,那么,y1、y2的大小关系是y1y2.分析:在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,＜条件x2＜x1＜0,显然,点(x1,y1)(x2,y2)在对称轴的左侧,所以容易判断y1与y2的大小.x=1点评:判断两函数值大小的方法：1.根据对称轴和开口方向判断函数的增减性;2.判断两个函数值对应点的位置.误点剖析:1.不能正确判断点在对称轴的哪一侧.2.没有理解函数的增减性与判断大小的联系.例6.已知二次函数y=-x2+4x-3⑴求二次函数图象与坐标轴的交点坐标.⑵当-1≤x≤0时,求二次函数y=-x2+4x-3的最大值和最小值.解:⑴令x=0,得y=-3;令y=0由-x2+4x-3=0,得x1=1,x2=3,即函数图象与y轴交于点(0,-3),与x轴交于点(1,0),(3,0).⑵y=-x2+4x-3=-(x2-4x+4-4)-3=-(x-2)2+1抛物线顶点为(2,1),对称轴为直线x=2,∴当-1≤x≤0时,y随x的增大而增大.-1xy20∴当x=-1时,y最小=-(-1-2)2+1=-8,当x=0时,y最大=-(0-2)2+1=-3.(甲生)解:当x=-1时y=-8∴y最小=-8,当x=4时y=-3∴y最大=-3(乙生)解:由于x=2在-1≤x≤4的范围内,∴y最大=1而当x=4时y=-3,当x=-1时y=-8∴y最小=-8.-1xy20???思考:当-1≤x≤4时,求二次函数y=-x2+4x-3的最大值和最小值.错误正确误点剖析:确定二次函数的最值时,容易忽视自变量的取值范围即端点的位置从而导致错误.求最值时,应注意什么?3.将函数y=-x2-2x化为y=a(x-h)2+k的形式为.1.抛物线y=(x－4)2的开口方向,对称轴是，顶点坐标为;在对称轴左侧，即x时，y随x增大而；在对称轴右侧，即x时，y随x增大而;当x=时，y有最值为.2.抛物线y=x2－2x－3的开口______，顶点坐标为________，对称轴为直线________，与x轴的交点坐标为________，与y轴的交点坐标为_______，4.抛物线y=x2+kx+k－1，若它经过原点，则k=____；若它的顶点在y轴上，则k=___.5.抛物线y=x2-bx+2的顶点在x轴的负半轴上，则b=____.6.已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴分别交于(－l，0)、(5，0)两点,当自变量x=1时,函数值为y1;当x=3时,函数值为y2.则下列结论正确的是()A.y1＞y2B.y1＝y2C.y1＜y2D.不能确定例7.抛物线y=ax2+bx+c如图1所示，试确定a、b、c、b2-4ac的符号：xyoa＞0、b＜0、c＞0、b2-4ac＞0.a＞0、b＞0、c=0、b2-4ac＞0.xyo例7.抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、b2-4ac的符号：a＜0、b＞0、c＜0、b2-4ac＜0.a＜0、b＜0、c＜0、b2-4ac＞0.通过学习，你知道如何结合图象判断a,b,c及b2-4ac的符号吗？点评:结合草图判断a、b、c、b2-4ac符号的依据分别是:1.a决定抛物线的开口方向及大小.2.a,b决定对称轴的位置.3.c决定抛物线与y轴交点的位置.4.b2-4ac决定抛物线与x轴交点的个数.1＜＞=＜yxO-1分析:同例7容易得出abc＜0,由于对称轴为x=-1,可以判断2a-b=0;当x=1时，y＞0，所以a+b+c＞0.当x=-1时，y＜0，所以a-b+c＜0.例8.如图,抛物线y=ax2+bx+c,请判断下列各式的符号：abc0、2a－b0a+b+c0、a－b+c0点评:此题是图象题,不仅考查了a、b、c的含义,还结合图象上特殊点提供的信息判断代数式的符号,充分体现了数形结合的思想.你有何收获?例9在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b和二次函数的图象可能为()bxaxy2Dxy0xy0ABxy0xy0CD解该类题目时,一般分别根据图象求出两关系式中系数的符号,然后看是否一致.例10.已知函数y=2x2的图象是抛物线,若抛物线不动,把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位长度,那么在新坐标下抛物线的关系式是()A.y=2(x-2)2+2B.y=2(x+2)2-2C.y=2(x-2)2-2D.y=2(x+2)2+2xy0xy00B解抛物线的平移问题时应该注意什么？1、注意平移的规律：左加右减，上加下减.2、若对称轴移动，实际上可以看作对称轴不动而抛物线向相反方向移动.例11.已知,二次函数图象的顶点为A(1,-4),且过点B(3,0).⑴求该二次函数的关系式.⑵将该二次函数图象向右平移几个单位长度,可使平移后所得图象经过坐标原点?请直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标.解:⑴设二次函数关系式为y=a(x-1)2-4∵二次函数图象过点B(3,0),∴0=4a-4,得a=1.∴二次函数关系式为y=(x-1)2-4即y=x2-2x-3.xy0-13点评:这是一个平移的变形题,求出已知抛物线与x轴的交点坐标,再将其中在原点左侧的交点平移到原点即可.这样的题目最好的解决办法是画出草图,利用图象解决,既快有准.⑵令y=0,得x2-2x-3=0,解得x1=3,x2=-1.∴图象与x轴的两个交点坐标分别为(3,0)(-1,0)∴二次函数图象向右平移1个单位长度后经过坐标原点，平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为(4,0).xy0-1342.将抛物线y=x2向___平移___个单位，再向___平移___个单位，就可得y=x2－4x-4.1.函数y=3(x－2)2－4的图象可由函数y=3x2的图象沿x轴向平移个单位，再沿y轴向平移个单位得到.3.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则()A.a0,b0B.b0,c0C.a0,c0D.a,b,c都小于0xy04.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，有下列结论：(1)a+b+c0；(2)a－b+c0；(3)abc0；(4)b=2a其中正确的结论有()(A)4个(B)3个(C)2个(D)1个xy01-1