第四章第3节导数的应用(一)

立足教育开创未来·高中新课标总复习（第1轮）·文科数学·福建·人教版1，Mathtype5.0,几何画板4.0,flashplayer10.0湖南学海文化传播有限责任公司立足教育开创未来·高中新课标总复习（第1轮）·文科数学·福建·人教版2立足教育开创未来·高中新课标总复习（第1轮）·文科数学·福建·人教版3立足教育开创未来·高中新课标总复习（第1轮）·文科数学·福建·人教版41.下列命题中为真命题的是（）A.函数的最大值一定是这个函数的极大值B.函数的极大值可能小于这个函数的极小值C.函数的极大值一定是这个函数的最大值D.函数在开区间内一定不存在最大值函数的极值是区间内局部的最值，极大值可能小于极小值，选B.B立足教育开创未来·高中新课标总复习（第1轮）·文科数学·福建·人教版52.函数f（x）=2x3-3x2-12x+5在[0，3]上的最大值与最小值分别为（）A.5，-15B.5，4C.-4，-15D.5，-16令f′（x）=6x2-6x-12=0，解得x1=2,x2=-1（舍去）.分别求得f（2）=-15，f（0）=5，f（3）=-4，则ymax=5，ymin=-15.选A.A立足教育开创未来·高中新课标总复习（第1轮）·文科数学·福建·人教版63.函数f（x）=x+2log2x，x∈［,2］的最小值为（）A.-B.4C.-2D.1函数f（x）在区间［，2］上是增函数，最小值在x=处取得，且f（）=-，选A.易错点：不会用单调性求函数的最值，无所适从.12A32121232立足教育开创未来·高中新课标总复习（第1轮）·文科数学·福建·人教版74.函数y=sinx-x-1，x∈［0，］的最大值为.当x∈（0，）时，y′=cosx-10，所以函数y=-x+sinx-1在［0，］上是减函数，当x=0，取得最大值ymax=-1，填-1.-12π2π2π立足教育开创未来·高中新课标总复习（第1轮）·文科数学·福建·人教版85.对任意x∈(-1，1)，x3+x2+c-2≥0恒成立，则实数c的最小值为.令f(x)=x3+x2+c-2，x∈(-1，1).由f'(x)=3x2+2x=0，解得x=0，或x=-，可求得当x=0时，f(x)取得最小值[f(x)]min=f(0)=c-2≥0，所以c≥2，实数c的最小值为2，填2.223立足教育开创未来·高中新课标总复习（第1轮）·文科数学·福建·人教版91.“最值”与“极值”的区别（1）“最值”是整体的概念，是整个定义域上的最大值和最小值，具有绝对性；而“极值”是局部的概念，是局部的最小值和最大值，具有相对性；（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最大值，最小值是唯一的，而极值不一定唯一；立足教育开创未来·高中新课标总复习（第1轮）·文科数学·福建·人教版10（3）极值点只能在定义域内部，而最值点可以在区间的端点，有极值的函数未必有最值，有最值的函数未必有极值；函数的极值有可能成为最值，函数的最值只要不在端点取得，必定是在极值点处取得.立足教育开创未来·高中新课标总复习（第1轮）·文科数学·福建·人教版11求函数f(x)在闭区间［a，b］上的最大值与最小值的步骤①求函数y=f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y=f(x)在各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.可导函数f(x)在［a,b］上的最大值不一定是f(x)的极大值；最小值不一定是f(x)的极小值.立足教育开创未来·高中新课标总复习（第1轮）·文科数学·福建·人教版12重点突破：用导数研究函数的最值已知a∈R，函数f（x）=x2-alnx.（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a0时，求函数f（x）在区间（0，2］上的最小值.关注导数的正负来讨论函数f（x）的单调性，通过单调性判断函数在闭区间（0，2］上的极值与端点函数值的大小，求出函数的最小值，注意含参问题要分类讨论.例112立足教育开创未来·高中新课标总复习（第1轮）·文科数学·福建·人教版13(Ⅰ)f′(x)=，x∈(0，+∞).当a≤0时，f′(x)0恒成立，函数在(0，+∞)上单调递增；当a0时，解f′(x)=0得x=或x=-(舍去).当x变化时，f′(x)与f(x)变化情况如下表：所以函数f(x)的递增区间为(a，+∞)，递减区间为(0，a).x(0,)(,+∞)f′（x）-+f(x)单调递减单调递增aa2axaxxxaa立足教育开创未来·高中新课标总复习（第1轮）·文科数学·福建·人教版14(Ⅱ)由(Ⅰ)单调性研究可知：①当≤2，即0a≤4时，f(x)在(0，2］上先减再增，最小值为f()=a-alna.②当2，即a4时，f(x)在(0，2］上是减函数，最小值为f(2)=2-aln2.对含参函数的最值研究，一般需要针对参数的不同影响，进行分类讨论.1212aaa立足教育开创未来·高中新课标总复习（第1轮）·文科数学·福建·人教版15已知a∈R，函数f(x)=x(x-a).(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)当a0时，设g(a)为函数f(x)在区间［0，2］上的最小值，写出g(a)的表达式.(Ⅰ)由已知f(x)，x≥0..变式练习13122xax330222axafxxxxx，立足教育开创未来·高中新课标总复习（第1轮）·文科数学·福建·人教版16当a≤0时，f′(x)0，f(x)在［0，+∞)上单调递增；当a0时，令f′(x)=0，得x=.当x变化时，f′(x)与f(x)变化情况如下表：f(x)在［0，］上单调递减，在(，+∞)上单调递增.x(0,)(,+∞)f′(x)-0+f(x)单调递减单调递增3a239aa3a3a3a3a3a立足教育开创未来·高中新课标总复习（第1轮）·文科数学·福建·人教版17(Ⅱ)由(Ⅰ)单调性研究可知：①当≤2，即0a≤6时，函数f(x)在［0，2］上先减再增，最小值g(a)=f()=-；②当2，即a6时，函数f(x)在［0，2］上单调递减，最小值g(a)=f(2)=-.0a≤6a6.3a3a239aa3a222a综上所述，g(a)=239aa222a立足教育开创未来·高中新课标总复习（第1轮）·文科数学·福建·人教版18重点突破：用导数研究实际应用问题（2007·重庆卷）用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？建立目标函数，用导数工具研究函数的最值，解决实际应用问题.设长方体的宽为x(m)，则长为2x(m)，高为h=，0＜x＜.例218-124.5-3(m)4xx32立足教育开创未来·高中新课标总复习（第1轮）·文科数学·福建·人教版19故长方体的体积为V(x)=2x2(4.5-3x)=9x2-6x3(m3)，0＜x＜.从而V′(x)=18x(1-x).令V′(x)=0，解得x=0(舍去)或x=1，因此x=1.当0＜x＜1时，V′(x)＞0；当1＜x＜时，V′(x)＜0，故在x=1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值.3232立足教育开创未来·高中新课标总复习（第1轮）·文科数学·福建·人教版20从而最大体积V=V（1）=9×12-6×13=3（m3），此时长方体的长为2m，高为1.5m.答：当长方体的长为2m时，宽为1m，高为1.5m时，体积最大，最大体积为3m3.解实际应用问题关键是建立目标函数，在确定的定义域下求目标函数的最值，再回到实际问题进行解释，从而实现建模、解模、检模的完整过程.立足教育开创未来·高中新课标总复习（第1轮）·文科数学·福建·人教版21某造船公司年最高造船量是20艘，已知造x艘船的产值为R（x）=3700x+45x2-10x3（单位：万元），成本为C（x）=460x+5000（单位：万元），可使公司造船的年利润最大的年造船量为.变式练习212艘立足教育开创未来·高中新课标总复习（第1轮）·文科数学·福建·人教版22年利润P（x）=R（x）-C（x）=-10x3+45x2+3240x-5000，0＜x＜20，x∈N.P′（x）=-30x2+90x+3240=-30（x+9）（x-12），x∈（0，20），x∈N，当1x12时，P′（x）0，P（x）单调递增，当12x20时，P′（x）0，P（x）单调递减.所以x=12时，P（x）取最大值，即年建造12艘船时，公司造船的年利润最大.填12艘.立足教育开创未来·高中新课标总复习（第1轮）·文科数学·福建·人教版23重点突破：用导数研究任意性或存在性问题已知函数f（x）=.（Ⅰ）对任意实数x，均有2a-3f（x）成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若存在实数x，使得2a-3f（x）成立，求实数a的取值范围.求出函数的最值，依据题意实现转化.例3221xx立足教育开创未来·高中新课标总复习（第1轮）·文科数学·福建·人教版24由已知f′(x)=.令f′(x)=0，解得x=-1或x=1.当x变化时，f'(x)与f(x)的变化情况如下表：函数f(x)在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，且当x0时，f(x)0，当x0时，f(x)0，所以[f(x)]max=f(1)=1，[f(x)]min=f(-1)=-1.x(-∞，-1)-1(-1，1)1(1，+∞)f′(x)-0+0-f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减222221xx立足教育开创未来·高中新课标总复习（第1轮）·文科数学·福建·人教版25(Ⅰ)对任意实数x，均有2a-3f(x)成立，等价于2a-3[f(x)]max=1，解得a2，所以a的取值范围是(2，+∞).(Ⅱ)若存在实数x，使得2a-3f(x)成立，等价于2a-3[f(x)]min=-1，解得a1，所以a的取值范围是(1，+∞).解决任意性或存在性问题，往往先考虑函数的最值，然后转化为不等式求解.立足教育开创未来·高中新课标总复习（第1轮）·文科数学·福建·人教版26设函数f（x）=x2-2lnx.（Ⅰ）对任意x0≤［1,2］，不等式f（x0）-m≤0恒成立，求实数m的最小值；（Ⅱ）若存在x0≤［1,2］，使不等式f（x0）-m≤0成立，求实数m的取值范围.变式练习3立足教育开创未来·高中新课标总复习（第1轮）·文科数学·福建·人教版27因为f′(x)=，当x∈(1,2)时，f′(x)＞0，故f(x)在区间[1,2]上单调递增，所以[f(x)]max=f(2)=4-2ln2，[f(x)]min=f(1)=1.(Ⅰ)对任意x0≤[1,2]，不等式f(x0)-m≤0恒成立，等价于m≥[f(x)]max=4-2ln2，所以m最小值为4-2ln2.(Ⅱ)若存在x0≤[1,2]，使不等式f(x0)-m≤0成立，等价于m≥[f(x)]min=1，所以m的取值范围为[1,+∞).22122xxxx立足教育开创未来·高中新课标总复习（第1轮）·文科数学·福建·人教版28已知函数f（x）=x+1+alnx,其中a为常数.（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）令a=1，证明：当x≥1时，有f（x）≤2x.（Ⅰ）用导数工具研究函数的极值，关键是看驻点附近导数符号的变化情况；（Ⅱ）不等式的证明可以通过构造函数的方法，转化为最值来研究.例4立足教育开创未来·高中新课标总复习（第1轮）·文科数学·福建·人教版29(Ⅰ)f(x)的定义域为，.①当a≥0时，f′(x)0，f(x)单调递增，无极值.②当a0时，令f′(x)=0，得x=-a.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：所以当a0时，f(x)在x=-a处取得极小值f(-a)=1-a+aln(-a)，无极大值.0xx11axafxxxx，x(0,-a)-a(-a,+∞)f′(x)-0+