小学六年级数学竞赛讲座第10讲 直线几何中的数学思想

第十讲直线几何中的数学思想模块一、从反面情况考虑例1．如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，则阴影部分的面积为平方厘米。解：考虑特殊情况：当H点与D点重合时，阴影部分为△DEF，S△DEF=SABCD−S△ADE−S△BEF−S△CDF，其中S△ADE=14SABCD=14，S△BEF=18SABCD=7，S△CDF=14SABCD=14，所以S△DEF=56−14−7−14=21.解2：考虑特殊情况：当H点为AD中点时，S△EFH=14SABCD=14，S△DGH=18SABCD=7，所以阴影部分的面积=S△EFH+S△DGH=14+7=21.例2．如图，长方形ABCD的长为6，宽为4，E是宽BC的中点，AB上有一点F，使得△DEF的面积为10，则AF=。解：SABCD=6×4=24，S△DEF=10，S△CDE=6，所以S△ADF+S△BEF=24−10−6=8，设AF=x，则BF=6−x，S△ADF+S△BEF=2x+6−x=8，解得x=2.即AF=2.模块二、割补法求面积：例3．四边形ABCD是一个边长为12厘米的正方形，则阴影四边形的面积是平方厘米。（图中单位：厘米）解：设BE=a，DF=b，则四个角上的三角形的面积分别为12ab，1(2)(12)2ab，1(10)(8)2ab，1(12)(4)2ab，所以阴影部分的面积=122−12ab−1(2)(12)2ab−1(10)(8)2ab−1(12)(4)2ab=144−1(122428081012484)2abaabbababbaba=144−76=68.HGFEDCBAABCDEFDCBA428b12b12a10aabbaDCBA42EF模块三、综合问题：例4．如图，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，△ABF比△EDF的面积大9平方厘米，求ED的长是厘米。解：设DE=x，把△ABF和△EDF都加上梯形BCDF，得SABCD−S△BCE=9，所以4×6−1(4)62x=9，解得x=1，所以DE=1厘米.例5．如图，正方形边长是10厘米，图中阴影部分的面积是40平方厘米，那么四边形ABCD的面积是平方厘米。解：正方形边长是10厘米，所以正方形EFGH的面积是100平方厘米，S△EBG+S△FBH=110()2EBBF=50平方厘米，又阴影部分的面积是40平方厘米，所以四边形ABCD的面积是50−40=10平方厘米。例6．如图，已知CD=5，DE=7，EF=15，FG=6，线段AB将图形分为两部分，左边部分的面积是38，右边部分的面积是65，那么△ADG的面积是。解：设A点到CG的距离为a，B点到CG的距离为b，图形左边部分的面积为762ab=38，右边部分的面积为211522ab=65，联立方程组712762115130abab，②×4−①×5得49a=140，7a=20，S△ADG=14a=40。随堂练习1．如图所示，边长分别为6厘米和8厘米的正方形并排放，图中阴影部分ABCDEFHGFEDCBAGFEDCBAGFEDCBA的面积是多少平方厘米？解：阴影部分的面积=SABCD+SCEFG−S△ABE−S△EFG=36+64−6142−882=100−42−32=26.2．如图所示，四边形ABCD的两条边AD=7，BC=3，∠B=∠D=90°，∠A=45°，求这个四边形的面积。解：如图延长AB、DC相交于E，则SABCD=S△ADE−S△BCE，△ADE是以AD为一条直角边的等腰直角三角形，△BCE是以BC为一条直角边的等腰直角三角形，所以SABCD=773322=20.3．两个正方形的面积相差9平方厘米，边长相差1厘米，这两个正方形的面积和是平方厘米。解：设小正方形的边长为a，则大正方形的边长为a+1，(a+1)2−a2=2a+1=9，解得a=4厘米，a+1=5厘米，所以两个正方形的面积的和是16+25=41（平方厘米）。4．两个相同的直角三角形如图所示重叠在一起，阴影部分的面积是。解：OC=BC−OB=EF−OB=10−3=7，阴影ABOD+△CDO=△CDO+梯形OCFE，所以SABOD=S梯形OCFE=12(710)172。5．在长方形ABCD中，AD=15，AB=8，四边形OEFG的面积是9，阴影部分的总面积是。解：S△ACF+S△DBF=118()8156022CFBF，又四边形OEFG的面积是9，所以空白部分的面积=60−9=51，阴影部分的面积=15×8−51=120−51=69.DCBA37O1032FEBADCEDCBA37OABCDEFG