第二章 线性控制系统的运动分析

第二章线性控制系统的运动分析本章是通过求解系统方程的解来研究系统性能的。由于系统的状态方程是矩阵微分方程，而输出方程是矩阵代数方程。因此，只要求出状态方程的解，就很容易得到系统的输出，进而研究系统的性能。本章内容为1线性定常系统齐次状态方程的解;2状态转移矩阵;3线性定常系统非齐次状态方程的解;4线性时变系统的运动分析5线性连续系统方程的离散化;6线性离散系统的运动分析;7用MATLAB求解系统方程2.1线性定常系统齐次状态方程的解线性定常系统齐次状态方程为（1）（2）先考察标量齐次微分方程的幂级数解法axxkktbtbtbtbbx332210假设其解为一幂级数（3）1232132kktkbtbtbb将（3）式代入（2）式)(2210kktbtbtbba)()(ttAxx这时系统的输入为零等式两边t的同次幂的系数相等，因此有0021201!11!2121bakabkbbaabbabbkkk而)0(0xbkkattaktaat!1!211e22因为则解为)0(e)0()!1!211()(22xxtaktaattxatkk（4）模仿标量齐次微分方程的解法，假设线性定常系统齐次状态方程（1）的解为kkttttbbbbbx332210（5）将（5）式代入（1）式1232132kktkttbbbb)(2210kktttAbbbb等式两边t同次幂的系数相等，因此有0021201!11!2121bAAbbbAAbbAbbkkkkk而)0(0xbkkttkttAAAA!1!211e22记作则线性定常系统齐次状态方程（1）的解为)0()!1!211()(22xAAAxkktkttt（6）则)0(e)(xxAtt（7）如果00t则)(e)(0)(0ttttxxA（8）将（8）式代入（1）式验证)()(e)()(0)(0tttdtdtttAxxAxxA)()(e)(00)(000tttttttxxxA和)(0ettA矩阵指数函数又称为状态转移矩阵，记作)(0tt)(tx)(0tx由于系统没有输入向量，是由初始状态激励的。因此，这时的运动称为自由运动。的形态由决定，即是由矩阵A惟一决定的。)(tx)(0ettA2.2状态转移矩阵线性定常系统齐次状态方程的解为)(e)(0)(0ttttxxA或)0(e)()(xxAtt其几何意义是：系统从初始状态开始，随着时间的推移，由转移到，再由转移到，……。的形态完全由决定。)(0tx)(01ettA)(1tx)(12ettA)(2tx)(tx)(0ettA2.2.1状态转移矩阵的基本性质1）AAAAAttteeedtd即AA)()()(ttt2）IA0e即I)0(3）可逆性ttAAee1即)()()(11ttt)()()(020112tttttt4）传递性)()()(020112eeettttttAAA即5）当且仅当时，有BAABttt)(eeeBABA2.2.2状态转移矩阵的求法方法1根据定义，计算)(tkkttktttAAAIA!1!21e)(22方法2应用拉普拉斯变换法，计算)(tAxx对上式求拉普拉斯变换，得)()0()(sssAxxx)0()(][xxAIss][AIs如果为非奇异)0(][)(1xAIxss（9）)(txL)}0(]{[11xAIsL)]0(x]AI[[11s（10）由微分方程解的唯一性ttAe)(L]]AI[[11s例2-2线性定常系统的齐次状态方程为21213210xxxx求其状态转移矩阵ttAe)(解2211221221112112213)2)(1(1321][11sssssssssssssssAI于是ttAe)(Ltttttttts222211e2ee2e2eeee2][AI方法3应用凯莱-哈密顿定理，计算)(t凯莱-哈密顿定理：矩阵A满足自身的特征方程。nn0]det[)Δ(012211aλaλaλaλλλnnnAI即012211aλaλaλaλnnn根据凯莱-哈密顿定理0)Δ(012211IAAAAAaaaannnI-AAAA012211aaaannn（11）例用凯莱-哈密顿定理计算1006293解096293det)Δ(2λλλλλ092AA由凯-哈定理：AA991009AA92AAA22399,,62939629399100所以凯莱-哈密顿定理在线性代数中，凯莱-哈密顿定理（以数学家阿瑟·凯莱与威廉·卢云·哈密顿命名）表明每个实或复方阵都满足方阵的特征方程式。设A为给定的n*n矩阵，并设I为n*n单位矩阵，则A的特征多项式定义为：P(λ)=det(λI-A)=0凯莱-哈密顿定理断言：P(A)=0此定理对布于任何交换环上的方阵皆成立。可以简化高次幂的运算;也是计算特征向量的重要工具。A2nA1nA（11）式表明：是、、、、的线性组合nAIA-AAAAAA0213211aaaannnn（12）将（11）式代入（12）式，不断地进行下去，可以看出：IA2nA1nAnA、、、都是、、、、的线性组合1nA2nAkkttktttAAAA!1!211e)(22112210)()()()(nntatatataAAAI（13）)(tai其中，，为待定系数。的计算方法为：)(tai)1(,10ni，，1）A的特征值互异Aiλ应用凯-哈定理，和都满足的特征方程。因此，也可以满足（13）式。iλA112210)()()()(eniniitλλtaλtaλtatai（其中，）ni,,2,1写成矩阵形式)()()(111eee11012122221121121tatataλλλλλλλλλnnnnnnntλtλtλn（14）于是tλtλtλnnnnnnnnλλλλλλλλλtatataeee111)()()(211121222211211110（15）例2-3线性定常系统的齐次状态方程为21213210xxxx用凯-哈定理计算其状态转移矩阵)(t解0)2)(1(2)3(det)Δ(λλλλλλAI11λ22λtttttttttλtλλλtata2222112110eee2ee1112ee2111ee11)()(21e即ttta20ee2)(ttta21ee)(ttttttttttttttttttttttttatat2222222222210e2ee2e2eeee2e3e3e2e2ee0ee200ee23210)e(e1001)ee2()()(e)(AIA2）A的特征值相同，均为1λtλtλtλtλntλnnnnnnnntttntnλλλλλλnnλλλnnλλntatatatata11111ee!11e!21e)!2(1e)!1(11!2)2)(1(3210!2)2)(1(31001)1(1010000)()()()()(221111213121121211311112310（16）3）A的特征值有重特征值，也有互异特征值时，待定系数可以根据（16）式和（15）式求得。然后代入（13）式，求出状态转移矩阵)(tai)(t求系统状态转移矩阵。例2-4线性定常系统齐次状态方程为xx452100010---解应用凯-哈定理计算)(t0)2()1(254det)Δ(223λλλλλλλAIA的特征值为121λλ23λtttttttttttttttλtλtλttttttλλλλλtatata22222112332111210eeee2e2e3ee2eee111223102eee421111210eee11210)()()(311于是tttttttttttttttttttttttttttttttttttttatatat2222222222210e4e3ee8e8e3e4e4e2e2e2ee4e5e3e2e2e2eeee2e2e3ee2)()()(e)(AAIA状态转移矩阵方法4通过线性变换，计算)(t因为nλλλ00211ΛPAPPPAΛ1而tλtλtλtnttIe0e0e!21e2122ΛΛΛ因为对角阵的特殊性质，有：1）矩阵A可以经过线性变换成为对角阵，计算)(t因此，状态转移矩阵为PPPIPPPPPPPPPPPIPPAt-------ttttttttt-ΛΛΛΛΛΛΛΛe!21!21!21ee)(12212211122111例2-5线性定常系统的齐次状态方程为21213210xxxx用线性变换方法，计算其状态转移矩阵)(t解11λ22λ111221111111211λλQP2111Q（17）20011PAPΛtttttttttttt----222221e2ee2e2eeee21112e00e2111eePPAΛ2）矩阵A可以经过线性变换成为约当形阵，计算)(t11110101λλλPAPJtλnntettnttnt110)!2(11)!1(11e21J状态转移矩阵为PPJAtttee)(1（18）3）矩阵A可以经过线性变换成为模态形阵，计算)(t如果矩阵A的特征值为共轭复数经过线性变换，可转换为模态矩