第二章 线性电阻电路的等效变换

主要内容等效二端网络、电阻之间和电源之间的等效变换、化简受控源电路、直流电路中的几个问题理解等效变换概念，掌握电阻串并联等效和Y-△等效变换，理解实际电源和受控源的等效变换。电路元件分类：{无源元件有源元件从外部端钮数量可分{二端元件：具有两个引出端多端元件：具有两个以上引出端2.1等效二端网络请同学们举例O(∩_∩)O从能量特性方面可分任何部分电路或网络,向外有两个端钮相连且从一个端钮流入的电流等于从另一端钮流出的电流，则称这一电路为二端网络(或单口网络)。二端网络：分类：{无源二端网络：仅含无源元件有源二端网络：包含有源元件图2-1二端网络定义图特点无源二端网络：二端网络中没有电源有源二端网络：二端网络中含有电源二端网络：若一个电路只通过两个输出端与外电路相联，则该电路称为“二端网络”。（Two-terminals=Oneport）ABAB电路等效：用一个简单的电路替代原电路（复杂电路）→等效的条件：等效电路与原电路的端口具有相同的伏安特性。Req:等效电阻其数值决定于被替代的原电路中各阻值及其连接方式B+-uiC+-ui等效明确（1）电路等效变换的条件（2）电路等效变换的实质（3）电路等效变换的目的两电路具有相同的VCR变换后外电路A中的电压、电流和功率不变化简电路，方便计算1.电路特点:2.2.1电阻串联(ResistorsSeries)+_R1Rn+_uki+_u1+_unuRk(a)各电阻顺序连接，流过同一电流(KCL)；(b)总电压等于各串联电阻的电压之和(KVL)。结论：等效串联电路的总电阻等于各分电阻之和。2.等效电阻Req+_R1Rn+_uki+_u1+_unuRku+_ReqiKVLu=u1+u2+…+uk+…+un由欧姆定律uk=Rki(k=1,2,…,n)u=(R1+R2+…+Rk+…+Rn)iⅠ、u=ReqiⅡ、设端口间只通过一个电阻连接，则Req=(R1+R2+…+Rn)=RkⅢ、由等价条件得串联电阻的分压说明电压与电阻成正比，因此串连电阻电路可作分压电路+_uR1R2+-u1+-u2iºº注意方向!uuRRRuRiRueqkeqkkk例两个电阻的分压：uRRRu2111uRRRu2122+_uR1R2+-u1-+u2iººuRRRu2111uRRRu2122功率关系p1=R1i2，p2=R2i2，，pn=Rni2p1:p2::pn=R1:R2::Rn总功率p=ui=Reqii=Reqi2=(R1+R2+…+Rn)i2=R1i2+R2i2++Rni2=p1+p2++pn由此可知：1）电阻串联时，各电阻吸收的功率与电阻值大小成正比，即电阻值大者吸收的功率大；2）等效电阻吸收的功率等于各串联电阻吸收功率的总和。电阻并联(ParallelConnection)inR1R2RkRni+ui1i2ik_1.电路特点:(a)各电阻两端分别接在一起，两端为同一电压(KVL)；(b)总电流等于流过各并联电阻的电流之和(KCL)。等效令G=1/R,称为电导Geq=G1+G2+…+Gk+…+Gn=Gk=1/RkinR1R2RkRni+ui1i2ik_等效电阻Req+u_iReqi=i1+i2+…+ik+in由KCL:故有i=u/R1+u/R2+…+u/Rn=u(1/R1+1/R2+…+1/Rn)Ⅰ、由等价条件得1/Req=1/R1+1/R2+…+1/RnⅢ、Ⅱ、设端口间只通过一个电阻连接，则i=u/Req其等效电导是：结论：1）电阻并联，其等效电导等于各电导之和且大于分电导；2）等效电阻之倒数等于各分电阻倒数之和，等效电阻小于任意一个并联的分电阻。knkkneqGGGGGG121keqkeqneqeqRRRRRRRGR,即11111121功率关系p1=G1u2，p2=G2u2，，pn=Gnu2p1:p2::pn=G1:G2::Gn总功率p=ui=uuGeq=Gequ2=(G1+G2+…+Gn)u2=G1u2+G2u2++Gnu2=p1+p2++pn由此可知1）电阻并联时，各电阻吸收的功率与电阻大小成反比，即电阻值大者吸收的功率小；2）等效电阻吸收的功率等于各并联电阻吸收功率的总和。2.2.2Y型网络与Δ型网络之间的等效下图是电阻的两种连接方式：图2-8（b）π形电路图2-9(a)Y结构图2-8(a)△结构图2-9（b）T形电路三个电阻分别接在每两个端钮之间就构成△(π)形电路三个电阻一端共同连接于一个结点上，而电阻的另一端接到3个不同的端钮上就构成了Y(T)形电路2.2.2Y型网络与Δ型网络之间的等效图2-7桥型结构电路△—Y连接结构:R1、R3和R5，R2、R4和R5构成如图2-8(a)所示的△结构或者其变形结构图2-8（b），称π形电路R1、R2和R5，R3、R4和R5构成如图2-9(a)所示的Y结构或者其变形结构图2-9（b），称T形电路。显然、Y连接方式，既非串联也非并联。特点：都通过3个端子，与外部相连。由接Y接的变换结果：122331233133112231223223311231121GGGGGGGGGGGGGGGGGG312312233133123121223231231231121RRRRRRRRRRRRRRRRRR或上述结果可从原始方程出发导出，也可由Y接接的变换结果直接得到。当一个Y形电阻网络变换为Δ形电阻网络时:213322131113322123313322112RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR若Y形电阻网络中3个电阻(RY)值相等，则等效Δ形电阻网络中3个电阻(R△)值也相等，即:RR31Y或Y3RR简记方法：特例：若三个电阻相等(对称)，则有R=3RY(大Y小)13注意：(1)等效对外部(端子以外)有效，对内不一定成立。但可以用等效电路计算功率*。(2)等效电路与外部电路无关。(YY电阻两两乘积)不相邻电阻R相邻电阻乘积RR例2.1试求图2-10所示电路的入端电阻RAB150150150150RE5050150RE50150RE150150150§2.3电源之间的等效变换)a(11Su2SunSu2su)b(12nkSSSSsknuuuuu1211、电压源的串联一、理想电源的串联和并联注意：只有电压数值、极性完全相同的理想电压源才可并联。其等效电压源即为一个同值的电压源。2.理想电压源与电阻的串联和并联（1）电压源和电阻串联根据KVL得端口电压、电流关系为：u=us1+R1i+us2+R1i=us1+us2+(R1+R2)i=us+Ri其中：（2）电压源和电阻并联电压源和电阻R1的并联,外电路接电阻R结论：端口电压等于电压源电压，电流由电压源和外电路共同决定，与并联电阻无关，因此，电压源和电阻并联可等效为电压源。2Si1Si)a(12nSisi12)b(nkSSSSskniiiii1212、电流源的并联注意：只有电流数值、方向完全相同的理想电流源才可串联。其等效电流源即为一个同值的电流源。4．理想电流源与电阻的串联和并联（1）并联根据KCL和欧姆定律得端口电压、电流关系为：1212121211()sssssuuuiiiiiuiRRRRR其中：（2）串联电压源和电阻R1的串联,外电路接电阻R设外电路所接电阻为R，根据KVL和欧姆定律得端口电压、电流为：siisuRi端口电流为电流源电流，电压则由电流源和外电路共同决定，与串联的电阻无关，电流源和电阻串联可等效为电流源。2.3.2实际电源的两种电路模型及其等效变换实际电源的两种电路模型及伏安关系2.4运用等效变换简化含受控源的电路2.4.1由受控源、电阻组成的二端网络简化对含有独立电源的一端口电路，求输入电阻时，要先把独立源置零（变成无源）：电压源短路，电流源断路，然后按仅含电阻的二端网络求解。方法解析：例2.3试简化图2-23所示的二端网络。根据这个端口的VCR表达式可以画出图c。可见，一个由独立源、受控源与电阻组成的二端网络，总可用一个电压源与一个电阻串联来等效(也可用电流源并联一个电阻表示)UIII200050010101500解：图(b)由图（a）等效变换而得，由KVL有中二端电路的端口伏安关系（VCR）为ociuuRi其中，Ri为输入电阻，uoc为开路电压。注意:对含受控源电路化简，等效变换时，不能把受控源的控制量消除掉。电桥电路如图所示，其中R1、R2、R3、R4是电桥四个桥臂，在电桥一组对角顶点a、b间接电阻R，另一组对角顶点c、d之间接电源。若所接电源为直流电源则这种电桥称为直流电桥。（a）（b）直流电桥电路§2.5直流电路中的几个问题电桥电路电桥的平衡状态:当四个桥臂电阻R1、R2、R3和R4的值满足一定关系时，使得桥支路的电阻R5中没有电流通过支路R5中没有电流通过，则要求a、b两点电位相等可得电桥平衡条件为:4321RRRR也可写成3241RRRR2.5.2负载获得最大功率的条件实际电源产生的功率被电源内阻所吸收输出给负载怎样才能使负载获得最大功率呢？负载电阻RL的功率表达式:2L0L2SL2L0SL2)()(RRRURRRURIP(RL可变)最大功率传输定理:若含独立源的线性电阻单口网络N外接一个可变的负载电阻RL，当RL变到与网络N的戴维南（或诺顿）等效电阻R0相等时(RL=Ro)，负载可获得最大功率。注意：1.最大功率匹配条件是电源电压和电源内阻Rs不变的前提下获得的。因此，在应用最大功率传输定理时，必须注意是Rs不变，RL可变。。2.当时，负载将从电源获得最大功率，其功率的传递效率并不是最大的。SLRR2.5.3具有一定对称性的电路有些网络在电气结构上具有某种对称性质，正确地利用对称性，可大大简化分析。【例2.4】如图所示电阻网络，各电阻相等均为R，求ab端口等效电阻Rab。解：假设a、b端口加一电压源Us，由于电路以acb为轴左右对称，所以节点p与p’，q与q’，o与o’的电位分别相等，将等电位点联接起来就成了图(b)电路，相当于acb为轴将左右部分“对折”到左边，对应的电阻并联R2)RRRRRRRRab2232