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..................................勾股定理的十六种证明方法【证法1】此主题相关图片如下:做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a+b,所以面积相等.即a^2+b^2+4*(ab/2)=c^2+4*(ab/2)整理得到:a^2+b^2=c^2。【证法2】以a、b为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于ab/2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上,B、F、C三点在一条直线上,C、G、D三点在一条直线上.∵RtΔHAE≌RtΔEBF,∴∠AHE=∠BEF.∵∠AEH+∠AHE=90º,∴∠AEH+∠BEF=90º.∴∠HEF=180º―90º=90º.∴四边形EFGH是一个边长为c的..................................正方形.它的面积等于c^2.∵RtΔGDH≌RtΔHAE,∴∠HGD=∠EHA.∵∠HGD+∠GHD=90º,∴∠EHA+∠GHD=90º.又∵∠GHE=90º,∴∠DHA=90º+90º=180º.∴ABCD是一个边长为a+b的正方形,它的面积等于(a+b)^2.∴(a+b)^2=c^2+4*(ab/2),∴a^2+b^2=c^2。此主题相关图片如下:【证法3】以a、b为直角边(ba),以c为斜边作四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于ab/2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB.∵∠HAD+∠HAD=90º,∴∠EAB+∠HAD=90º,∴ABCD是一个边长为c的正方形,它的面积等于c^2...................................∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90º.∴EFGH是一个边长为b―a的正方形,它的面积等于(b-a)^2.∴(b-a)^2+4*(ab/2)=c^2,∴a^2+b^2=c^2。此主题相关图片如下:【证法4】以a、b为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于ab/2.把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上.∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC.∵∠AED+∠ADE=90º,∴∠AED+∠BEC=90º.∴∠DEC=180º―90º=90º.∴ΔDEC是一个等腰直角三角形,它的面积等于c^2/2.又∵∠DAE=90º,∠EBC=90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形,它的面积等于(a+b)^2/2..................................(a+b)^2/2=2*ab/2+c^2/2,∴a^2+b^2=c^2。此主题相关图片如下:【证法5】做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED,∵∠EGF+∠GEF=90°,∴∠BED+∠GEF=90°,∴∠BEG=180º―90º=90º.又∵AB=BE=EG=GA=c,∴ABEG是一个边长为c的正方形.∴∠ABC+∠CBE=90º.∵RtΔABC≌RtΔEBD,∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD+∠CBE=90º.即∠CBD=90º.又∵∠BDE=90º,∠BCP=90º,BC=BD=a...................................∴BDPC是一个边长为a的正方形.同理,HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S,则a^2+b^2=S+2*ab/2c^2=S+2*ab/2∴a^2+b^2=c^2。此主题相关图片如下:【证法6】做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(ba),斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC,交AC于点P.过点B作BM⊥PQ,垂足为M;再过点F作FN⊥PQ,垂足为N.∵∠BCA=90º,QP∥BC,∴∠MPC=90º,∵BM⊥PQ,∴∠BMP=90º,..................................∴BCPM是一个矩形,即∠MBC=90º.∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90º,∠ABC+∠MBA=∠MBC=90º,∴∠QBM=∠ABC,又∵∠BMP=90º,∠BCA=90º,BQ=BA=c,∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.从而将问题转化为【证法4】(梅文鼎证明).此主题相关图片如下:【证法7】做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结BF、CD.过C作CL⊥DE,交AB于点M,交DE于点L.∵AF=AC,AB=AD,∠FAB=∠GAD,∴ΔFAB≌ΔGAD,∵ΔFAB的面积等于a^2/2,ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半,∴矩形ADLM的面积=a^2...................................同理可证,矩形MLEB的面积=b^2.∵正方形ADEB的面积=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积∴a^2+b^2=c^2。此主题相关图片如下:【证法8】如图,在RtΔABC中,设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CD⊥AB,垂足是D.在ΔADC和ΔACB中,∵∠ADC=∠ACB=90º,∠CAD=∠BAC,∴ΔADC∽ΔACB.AD∶AC=AC∶AB,即AC^2=AD*AB.同理可证,ΔCDB∽ΔACB,从而有BC^2=BD*AB.∴AC^2+BC^2=(AD+BD)*AB=AB^2,即a^2+b^2=c^2。..................................此主题相关图片如下:【证法9】做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(ba),斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作AF⊥AC,AF交GT于F,AF交DT于R.过B作BP⊥AF,垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直,垂足为E,DE交AF于H.∵∠BAD=90º,∠PAC=90º,∴∠DAH=∠BAC.又∵∠DHA=90º,∠BCA=90º,AD=AB=c,∴RtΔDHA≌RtΔBCA.∴DH=BC=a,AH=AC=b.由作法可知,PBCA是一个矩形,所以RtΔAPB≌RtΔBCA.即PB=CA=b,AP=a,从而PH=b―a.∵RtΔDGT≌RtΔBCA,RtΔDHA≌RtΔBCA.∴RtΔDGT≌RtΔDHA.∴DH=DG=a,∠GDT=∠HDA.又∵∠DGT=90º,∠DHF=90º,..................................∠GDH=∠GDT+∠TDH=∠HDA+∠TDH=90º,∴DGFH是一个边长为a的正方形.∴GF=FH=a.TF⊥AF,TF=GT―GF=b―a.∴TFPB是一个直角梯形,上底TF=b―a,下底BP=b,高FP=a+(b―a).用数字表示面积的编号(如图),则以c为边长的正方形的面积为此主题相关图片如下:【证法10】..................................设直角三角形两直角边的长分别为a、b(ba),斜边的长为c.做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使A、E、G三点在一条直线上.用数字表示面积的编号(如图).∵∠TBE=∠ABH=90º,∴∠TBH=∠ABE.又∵∠BTH=∠BEA=90º,BT=BE=b,∴RtΔHBT≌RtΔABE.∴HT=AE=a.∴GH=GT―HT=b―a.又∵∠GHF+∠BHT=90º,∠DBC+∠BHT=∠TBH+∠BHT=90º,∴∠GHF=∠DBC.∵DB=EB―ED=b―a,∠HGF=∠BDC=90º,∴RtΔHGF≌RtΔBDC.即S7=S2.过Q作QM⊥AG,垂足是M.由∠BAQ=∠BEA=90º,可知∠ABE=∠QAM,而AB=AQ=c,所以RtΔABE≌RtΔQAM.又RtΔHBT≌RtΔABE.所以RtΔHBT≌RtΔQAM.即S8=S5.由RtΔABE≌RtΔQAM,又得QM=AE=a,∠AQM=∠BAE.∵∠AQM+∠FQM=90º,∠BAE+∠CAR=90º,∠AQM=∠BAE,∴∠FQM=∠CAR.又∵∠QMF=∠ARC=90º,QM=AR=a,∴RtΔQMF≌RtΔARC.即S4=S6.此主题相关图片如下:..................................【证法11】在RtΔABC中,设直角边BC=a,AC=b,斜边AB=c.如图,以B为圆心a为半径作圆,交AB及AB的延长线分别于D、E,则BD=BE=BC=a.因为∠BCA=90º,点C在⊙B上,所以AC是⊙B的切线.由切割线定理,得此主题相关图片如下:【证法12】..................................在RtΔABC中,设直角边BC=a,AC=b,斜边AB=c(如图).过点A作AD∥CB,过点B作BD∥CA,则ACBD为矩形,矩形ACBD内接于一个圆.根据多列米定理,圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和,有此主题相关图片如下:【证法13】在RtΔABC中,设直角边BC=a,AC=b,斜边AB=c.作RtΔABC的内切圆⊙O,切点分别为D、E、F(如图),设⊙O的半径为r.∵AE=AF,BF=BD,CD=CE,∴AC+BC-AB=(AE+CE)+(BD+CD)-(AF-BF)=CE+CD=r+r=2r,此主题相关图片如下:..................................【证法14】如图,在RtΔABC中,设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CD⊥AB,垂足是D.此主题相关图片如下:..................................【证法15】此主题相关图片如下:..................................设直角三角形两直角边的长分别为a、b,斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分,则正方形ABCD的面积为(a+b)^2=a^2+2ab+b^2;把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分,则正方形ABCD的面此主题相关图片如下:
本文标题:(整理)勾股定理的十六种证明方法
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