通信网络基础第一章

1~~~~~~~~~~~~~第1章通信网络概论及数学基础2~~~~~~~~~~~~~1.3通信网络中的数学基础1.3.1随机过程的基本概念1.3.2Poisson过程1.3.3马尔可夫链1.3.4图论基础3~~~~~~~~~~~~~1.3通信网络中的数学基础为了定量地描述通信网络的运行过程、设计通信网络的体系结构和评估通信网络容量、时延和服务质量等，我们需要了解网络中每个链路、节点、交换机/路由器，用户终端等设备的输入输出业务流的行为特征和处理过程。AEFDCBA(t)C(t)D(t)B(t)描述这些行为特征和处理过程的基本数学基础是随机过程和排队论，描述网络结构的基本方法是图论。本节主要讨论常用的随机过程和图论基础，在第三章中将详细讨论排队论的基本内容。4~~~~~~~~~~~~~1.3.1随机过程的基本概念（1）随机过程是用来描述在一个观察区间内某一实体（壶口瀑布水的流量、食堂中的人数）的随机行为。tttX(t)X(t)X(t)(1)(2)(n)•••例如:在通信系统中的噪声就是一个典型的随机过程。(n台性能完全相同的通信接收机的输出如下图。)5~~~~~~~~~~~~~1.3.1随机过程的基本概念（2）随机过程是随机变量概念在时间域上的延伸。直观地讲，随机过程是时间t的函数的集合，在任一个观察时刻，随机过程的取值是一个随机变量。或者说，依赖于时间参数t的随机变量所构成的总体称为随机过程。tttX(t)X(t)X(t)(1)(2)(n)•••t1X(t1)t2X(t2)6~~~~~~~~~~~~~1.3.1随机过程的基本概念（3）设X(t)是一个随机过程，则可以从两个方面来描述X(t)的特征：一是在任意时刻t1，随机变量X(t1)的统计特征，如一维分布函数，概率密度函数，均值和方差等。二是同一随机过程在不同时刻t1和t2对应的随机变量X(t1)和X(t2)的相关特性，如多维联合分布函数、相关函数、协方差矩阵等。tttX(t)X(t)X(t)(1)(2)(n)•••t1X(t1)t2X(t2)7~~~~~~~~~~~~~1.3.1随机过程的基本概念（4）随机过程X(t)的一维分布函数，定义为（1-1）式中P{}表示概率。xtXPxFt)()(xxFxftt)()(如果Ft(x)对x的微分存在，则X(t)的一维概率密度函数定义为（1-2）8~~~~~~~~~~~~~1.3.1随机过程的基本概念（5）通常一维分布函数不能完全描述随机过程的特征，需要采用n维联合分布函数。对于给定的n个时刻t1，t2，…，tn，随机变量X(t1)，X(t2)，…，X(tn)的联合分布函数为：（1-3）nnntttxtXxtXxtXPxxxFn)(,...,)(,)(,...,,221121,...,21若则随机过程X(t)的均值函数为（1-4）,)(xdFXt)()()(xxdFtXEtmtX9~~~~~~~~~~~~~1.3.1随机过程的基本概念（6）若对任给的时刻t1和t2，如下列函数（1-5）存在，则称CX(t1,t2)为X(t)的协方差函数；))()())(()(()(),(cov),(22112121tmtXtmtXEtXtXttCXXX]))()([()()(2tmtXEtXDtDXx（1-6）为X(t)的方差函数。10~~~~~~~~~~~~~1.3.1随机过程的基本概念（7）若对任给的时间t1和t2，RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]存在，则RX(t1,t2)为X(t)的自相关函数。协方差函数，自相关函数、均值函数有下列关系：（1-7）)()(),(),(212121tmtmttRttCXXXX11~~~~~~~~~~~~~1.3.1随机过程的基本概念（8）下面介绍几类典型的随机过程：1.独立随机过程2.马尔可夫(Markov)过程3．独立增量过程4．平隐随机过程5．Poisson过程6．马尔可夫链12~~~~~~~~~~~~~1.独立随机过程设有一个随机过程X(t)，如果对任意给定的时刻t1，t2，…，tn，随机变量X(t1),X(t2),…,X(tn)是相互独立的，也就是其n维分布函数可以表示为：niitntttxFxxxFin121,...,,)(),...,,(21t1t2t3tn-2tn-1tnX(t)t（1-8）则称X(t)是独立随机过程。该过程的特点是任意一时刻的状态与其他任何时刻的状态无关。13~~~~~~~~~~~~~2.马尔可夫(Markov)过程(1)设有X(t)一个随机过程，如果对于一个任意的时间序列：t1t2…tn，n3，在给定随机变量的X(t1)=x1,X(t2)=x2,…,X(tn-1)=xn-1条件下,X(tn)=xn的分布可以表示为：)|(,...,,|1,121...,,,1121nnttnnttttxxFxxxxFnnnnt1t2t3tn-2tn-1tnX(t)tx1x2x3xn-2xn-1X(tn)=xn（1-9）则称X(t)为马尔可夫过程或简称为马氏过程。14~~~~~~~~~~~~~2.马尔可夫(Markov)过程(2)该过程的基本特点是无后效性。即当该过程在t0时刻的状态为已知的条件下，则该过程在t(t0)所处的状态与该过程在t0时刻之前的状态无关。式（1-9）右端的条件分布函数可以写成：（1-10）该式称为马氏过程的转移概率。'},')'(|)({)'|(',ttxtXxtXPxxFtt15~~~~~~~~~~~~~3．独立增量过程设X(t2)-X(t1)=X(t1,t2)是随机过程X(t)在时间间隔[t1,t2)上的增量，如果对于时间t的任意n个值0t1t2…tn，增量X(t1,t2),X(t2,t3),…,X(tn-1,tn)是相互独立的，则称X(t)为独立增量过程。该过程的特点是：在任一时间间隔上,随机过程状态的改变并不影响未来任一时间间隔上状态的改变。可以证明独立增量过程是一种特殊的马尔可夫过程。t1t2t3tn-2tn-1tnX(t)tX(t1)X(t2)X(t3)X(tn-2)X(tn-1)X(tn)X(t1,t2)X(t2,t3)X(tn-2,tn-1)X(tn-1,tn)16~~~~~~~~~~~~~4．平隐随机过程(1)如果对于时间t的任意n个值t1，t2，…，tn和任意实数，随机过程X(t)的n维分布函数满足关系式：（1-11）则称X(t)为平稳随机过程或简称为平稳过程。),...,,(),...,,(21,...,,21,...,,2121ntttntttxxxFxxxFnn该过程的特点是随机过程的统计特性不随时间的平移而变化。t1t2t3tn-2tn-1tnX(t)tt1+t2+t3+tn-2+tn-1+tn+17~~~~~~~~~~~~~4．平隐随机过程(2)按照上述定义的随机过程通常称为严（狭义）平稳过程。])([2tXE在实际应用中，我们更关心这样一类过程：其（称为二阶矩过程），且满足下列条件：1）均值为常量（与时间t无关）；)(),(stRtsRXX2）对于任意时刻s和t，其相关函数满足，即相关函数仅与时差t-s有关，而与s,t的取值无关；称这类过程为宽（广义）平稳过程。在实际应用中所指的随机过程通常是宽平稳过程。18~~~~~~~~~~~~~各态历经性(1)为了说明各态历经性，在时间轴上定义下列两种平均：（1-12）（1-13）为随机过程的时间均值和时间相关函数。TTTdttXTtX)(21lim)(TTTdttXtXTtXtX)()(21lim)()(-T0+Ttt19~~~~~~~~~~~~~各态历经性(2)如果X(t)是一个平稳过程，如果X(t)=E[X(t)]=mx依概率1成立（即对所有样本都成立），则称随机过程X(t)的均值具有各态历经性；如果X(t)X(t+)=E[X(t)X(t+)]=Rx()依概率1成立，则称过程X(t)的自相关函数具有各态历经性；如果X(t)的均值和自相关函数都具有各态历经性，则称X(t)是（宽）各态历经过程，或者说X(t)是各态历经的。20~~~~~~~~~~~~~1.3.2Poisson过程(1)在日常生活中，如果我们观察顾客进入商店、银行或其它公共服务场所的过程，我们发现如果把一位顾客的到达看成一个“随机点”，则这是一个源源不断出现随机点的过程。在这一过程中任一段时间内到达的顾客数也是随机的。这类描述到达顾客数及其特征的过程通常称为计数过程。如果我们考察一个交换局中电话呼叫到达（人们拨打电话的行为中拿起电话并拨出对方号码的动作称为一次电话呼叫到达）的过程也具有类似的特征。21~~~~~~~~~~~~~1.3.2Poisson过程(2)设一个随机过程为{A(t),t0}的取值为非负整数，如果该过程满足下列条件，则称该过程为到达率为的Poisson(泊松)过程。(1)A(t)是一个计数过程，它表示在[0,t）区间内到达的用户总数，A(0)=0,A(t)的状态空间为{0,1,2,…}。如图1-12所示。任给两个时刻s和t，且st，则A(t)-A(s)即为[s,t)之间到达的用户总数。22~~~~~~~~~~~~~1.3.2Poisson过程(3)(2)A(t)是一个独立增量过程。即在两个不同时间区间（区间不重叠）内到达的用户数是相互独立的。由于在区间内平均到达的用户数为，则即为单位时间平均到达的用户数或称为到达率。(3)任一个长度为的区间内，到达的用户数服从参数为的Poisson分布，即（1-14）其均值和方差均为。,...2,1,0!))()((nennntAtAP23~~~~~~~~~~~~~1.3.2Poisson过程(4)Poisson过程的基本特征有：nepn)(（1）到达时间间隔n=tn+1-tn相互独立，且服从指数分布，其概率密度函数为（1-15）其分布函数为（1-16）01)(sesPsn该特性说明Poisson过程的到达间隔服从指数分布。相反，如果一个计数过程的到达间隔序列是相互独立同分布，其分布是参数为的指数分布，则该过程是到达率为的Poisson过程。因此，说“顾客到达过程为到达率为的Poisson过程”与说“顾客到达间隔相互独立且服从参数为的指数分布”是等价的。24~~~~~~~~~~~~~（2）对于一个任意小的区间0，将Poisson分布用Taylor级数展开，即利用（1-17）...2)(12e可得：（1-18）)(1}0)()({otAtAP,...2,1,0!))()((nennntAtAP（1-19）)(}1)()({otAtAP（1-20）)(}2)()({otAtAP式中，o()表示的高阶无穷小，即。0)(lim0o25~~~~~~