56第二章_离散信号频谱的窗谱校正方法

华中理工大学博士学位论文第二章离散信号频谱的窗谱校正方法----基本理论§2.1引言利用DFT可以对离散信号进行频谱分析，但是计算工作量相当大，因此，在快速算法没用发明之前，DFT并没用多大的实际意义。直到1965年，Cooley-Tukey在《计算数学》杂志上首先提出FFT算法之后，DFT才得到广泛的应用。这一快速算法的出现对数字信号分析领域的发展起到了极大的推动作用。从此以后，它作为频谱分析的基础得到了广泛的应用[75,76,77,78]。由于计算机只能对信号的有限多个样本进行计算，信号的FFT谱分析也只能在时域信号的有限区间内进行，这就不可避免地存在由于时域截断(加矩形窗)而产生泄漏[61]，使谱峰值减小，精度降低，求得的信号相位更是面目全非。在数字信号处理中，由DFT或FFT得到的幅值谱是离散谱，是信号与窗函数频谱卷积后，按频率分辨率Δfs=fs/N(fs为信号采样频率，N为分析信号样本长度)等间隔频域抽样的结果（如图21所示）[78]。A幅值f图2-1频谱抽样的离散谱线如果周期信号的频率正好表2-1离散频谱幅值、相位和频率误差表落在某一谱线上，经FFT后得矩形窗Hanning窗Hamming窗幅值误差（％）0--36.40--15.30--18.3相位误差（0）±90±90±90频率误差（Hz）±05Δfs.±05Δfs.±05Δfs.到的频率、幅值和相位是准确的。在一般情况下，信号频率落于两条相邻谱线之间，由于谱线不在主瓣中心，由峰值谱线反映的频率和幅值都不准10华中理工大学博士学位论文确，相位误差更大。从理论上分析，加矩形窗时，最大误差可达364.%，即使加其他窗时，也不能完全消除这一影响，在加Hanning窗时，只进行幅值恢复时的最大幅值误差仍高达153.%，相位误差将更大，表2-1是离散频谱只进行幅值恢复，不进行其他处理时幅值、相位和频率误差[141]。§2.2单频谐波的频谱分析误差产生原因无限长信号x()t（如振动信号、噪声信号等）的频谱分析所采用的方法为对信号进行截取，然后再对截取得到的有限长度信号进行频谱分析。窗函数wt()的作用就相当于对无限长的信号开一窗口，从窗口中取出一段数据，从而完成信号的截取。窗函数都是选择实偶函数，并在时域上将窗函数的中心放于被分析的那段信号的中心。加窗信号的傅氏变换为：Fx.()]()()2πdt.............................................................(2.1)[()twtxtwteTTjft=....∫(∞).∞其中，wtT()由对称窗wt()在时间上平移T/2得到，即T()t.T/)wt=w(2................................................................................................(2.2)设wt()的傅氏变换（如图2-2a）Fwt=W(f[()])......................................................................................................(2.3)根据傅氏变换的奇偶性质，当wt()是实偶函数时，Wf()此时也为实偶函数。又由傅氏变换的时移特性可知（如图2-2b），Fwt=Wfe()jfTπ[T()]...........................................................................................(2.4)设有一周期信号x()t=ACos(2π.f0.t+.),则其傅氏变换结果为（如图2-2c）：A.j.Aj.()0.f0)...............................................................(2.5)Xf=.e.δ(f+f)+.e.δ(f22根据卷积定理，加窗后的谐波信号x()twt.T()的傅氏变换可表示为(图2-2d)：Xf()=FxtwtT()]=Fxt[()]Fwt()]T[()..[T（这里“*”表示卷积）AA.jj...π..jfT={.e.δ(+)+.e.δ(..Wfeffff)}{()}0022A....+)+.]Aj[πTff0).j[πTff.....(0(]=.Wffe+)+.(.)(Wffe................(2.6)0022由此可知，在加窗信号的傅氏分析中，当f≠f0时，将存在泄漏情况。此时的幅值及相位分别为：AY=.Wff(.0)....................................................................................................(2.7)2Φ=...Tf(.f+.......................................................................................(2.8)π0)11华中理工大学博士学位论文对窗长度T=N/fs作归一化处理，则T=1，且令Δf=f.f0代入上面两式可得：A(.)Φ=.π.Δf+.......................................................................................................(2.10)Y=2.Wf...........................................................................................................(2.9)W(f)w()Tttf-T/2T/21.1/Τ0.2/Τ2/Τ1/Τ时域波形窗谱模函数(a)对称矩形窗函数的时域波形和频谱模函数wtT()1t0TT.2/Τ.1/Τ02/Τ1/ΤW()fTf时域波形窗谱模函数(b)实际窗函数的时域波形和频谱模函数T0Ax(t)tX(f)A/2A/2f-f0f00时域波形傅里叶变换模函数(c)单频率谐波的时域波形和频谱模函数AxtT()0TtYnyKyK.1kk+2k+1k-1k-2f00时域波形离散频谱模函数(d)单频率谐波离散频谱模函数图2-2单频率谐波离散频谱的误差产生原因12华中理工大学博士学位论文显然，当f=f0时，Y=A，Φ=.不存在泄漏情况，得到的幅值、相位和频率都是2准确无误差的。在大多数情况下，当f≠f0时。由加窗信号的傅氏分析得到的频率f、幅值Y和相位Φ并不是真实值，且有旁瓣产生，这就是所谓的离散频谱的栅栏效应、梳状效应、能量泄漏和假频等（如图2-2d所示）。当信号真实频率位于两个相邻离散谱线中间时，即fK.1=f0.Δfs/2，fK=f0+Δfs/2（这里Δfs为频率分辩率）时，求得的信号幅值、相位和频率的误差最大。§2.3离散频谱信号的窗谱校正方法假设加窗信号的频谱主瓣中心为f（即为信号的真实频率），信号幅值为A0；加窗信号FFT结果的频谱中，最高的频谱频率(0)为f，高度为Y；次高谱线频率为f2，高度为Y2。显然，f和f相差仅为一个频率分辨率(1)，对此归(1)一化后，即有f1=f2±1。当f1f2时取“+(1)”号(2)；当f1f2时取“—”号。加窗信号的频谱由窗频谱对信号真实频谱调制而得到，因而可利用窗函数的频谱图形对傅氏分析结果进行校正，以求出真实的频率、幅值和相位[65][67]。(1)频率校正0WWxyf+1ff+1fΔΔΔΔ0yyxyf+1ff+1ff0A图2-3窗函数的频谱函数图2-4频率和幅值的校正频率校正即求出信号幅值谱图上窗谱主瓣中心所处的横坐标f0。设窗函数的频谱函数为Wfff，其窗谱函数为()，W()对称于Y轴（如图2-3所示）。对于任一ΔWf(Δ)，相应的信号离散频谱幅值为y；对于处于Y轴右侧的Δf+1谱线，其窗谱函数为Wf1，相应的信号离散频谱为yf+1(1、yf和yf+1(Δ+)(Δ+)幅值(f)；由WfΔ)、Wf可求出Δf的值，即求出了频率修正量Δffff=.0。由于W()的函数表达式为已知，可构成一函数：WfΔ)yf(mFf=(Δ)==..........................................................................(2.11)Wf+1)y(.f+113华中理工大学博士学位论文m为窗谱主瓣中心两旁相隔为1的两谱线幅值比值，为f的函数，求上式的反函数：ΔfG=m()...............................................................................................................(2.12)=这样便可得到频率修正量Δfff.0。在实际计算中，主瓣中心位于信号真实频率f0处。在图2-4中yf和yf+1是幅值谱主瓣内谱峰左侧和右侧的谱线，将m=yf代入式(2.12)可求出谱线修正量Δf。频率校正yf+1结果为∶f0=(f..)s/ffN.............................................................................................(2.13)N为分析长度，fs为采样频率。可将ΔfG()m称为频率校正函数，对于不同的窗=函数，其Gv()是不同的。如果在同样的采样频率和同样的信号分析样本长度的情况下，对加窗信号的频域抽样位置也就确定下来了，由于信号频率f0的位置固定，即信号频域峰值位置固定，则可得不管信号加了何种窗，所产生的频率误差都是一样的。(2)幅值校正设窗函数的频谱模函数为Wf()，则图2-4中主瓣函数为∶yAW(.0)=.xf...................................................................................................(2.14)这就是信号频谱与窗函数卷积的结果，式中，A为真实幅值，对应主瓣中心f0，现将yyf,xf代入式得∶==yAW(ff.f=.0)................................................................................................(2.15).=fy式中，ff0Δ，故可解出幅值A的值。A=f.............................................................................................................(2.16)Wf(.)(3)相位校正频谱分析所用窗函数都不是对称于Y轴，要向右平移N/2点，其频谱函数相对于Y轴来说有一相移因子e.jNω/2，其相位角∶φ=.Nω/2............................................................................................................(2.17)ω与谱线f的关系为∶ω=2πf/N...........................................................................................................(2.18)将上式代入式(2.17)可得∶φ=.πf..................................................................