随机事件的概率

3.1.1随机事件的概率这一天，法国一位贵族、职业赌徒梅累（DeMere）向法国数学家、物理学家帕斯卡（Pascal）提出了一个十分有趣的“分赌注”问题．问题是这样的，一次梅累和赌友掷硬币，各押赌注32个金币．双方约定先胜三局者为胜,取得全部64个金币.赌博进行了一段时间，梅累已经赢了两局，赌友已经赢了一局．这时候梅累接到通知，要他马上陪同国王接见外宾，赌博只好中断了．请问：两个人应该怎样分这64个金币才算合理呢?概率论的生日：1654年7月29日知识引入赌友说，他要再碰上两次正面，或梅累要再碰上一次正面就算赢，所以他主张赌金应按2:1来分.即自己分64个金币的，梅累分64个金币的.23梅累争辩说，不对，即使下一次赌友掷出了正面，他还可以得到，即32个金币；再加上下一次他还有一半希望得到16个金币，所以他应该分得64个金币的，赌友只能分得64个金币的.两人到底谁说得对呢?12341413帕斯卡是17世纪有名的“神童”数学家.可是，梅累提出的“分赌注”的问题，却把他难住了．他苦苦思考了两三年，到1654年才算有了点眉目，于是写信给他的好友费马，两人讨论结果，取得了一致的意见：梅累的分法是对的，他应得64个金币的四分之三，赌友应得64个金币的四分之一.这时有位荷兰的数学家惠更斯在巴黎听到这件新闻，也参加了他们的讨论．结果他们这样回答了梅累的问题；“先做一个树结构图，根据树结构图A胜的概率是3／4时，就把赌钱的3／4分给A，把剩下的1／4分给B就可以了．”于是，概率的计算就这样产生了．（1）实心铁块丢入水中,铁块浮起（2）在0℃以下，这些雪融化一、随机事件观察下列现象：1、不可能事件在条件S下,一定不会发生的事件,叫做相对于条件S的不可能事件.不可能发生新课讲解（4）木柴燃烧,产生热量（3）明天，地球还会转动2、必然事件在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件.一定发生确定事件必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件.（5）转盘转动后，指针指向黄色区域不一定发生（6）杜丽下一枪会中十环不一定发生3、随机事件在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件.确定事件和随机事件统称为事件.一般用大写字母A，B，C……表示.随机事件的注意点：要搞清楚什么是随机事件的条件和结果.事件的结果是相对于“一定条件”而言的.因此，要弄清某一随机事件，必须明确何为事件发生的条件，何为在此条件下产生的结果.概念理解例1判断下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件.（1）在地球上抛一石块,石块会下落；（2）某电话机在十分钟之内，收到三次呼叫；（3）买一张福利彩票，会中奖；（4）掷一枚硬币，正面向上；（5）没有水分，种子会发芽.必然事件随机事件随机事件随机事件不可能事件例题讲解1.判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？(1)“抛一石块，下落”；(2)“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；(3)“某人射击一次，中靶”；(4)“如果a＞b，那么a－b＞0”；(5)“掷一枚硬币，出现正面”；(6)“导体通电后，发热”．例：根据定义，事件(1)、(4)、(6)是必然事件事件(2)是不可能事件事件(3)、(5)是随机事件．跟踪练习2．12件同类产品中，有10件正品，2件次品，从中任意抽出3件，下列事件中，随机事件有__________；必然事件有________；不可能事件有________．(填上相应的序号)①3件都是正品②至少有1件是次品③3件都是次品④至少有1件是正品答案：①②④③解析：抽出的3件可能都是正品，也可能不都是，则①②是随机事件；这12件产品中只有2件次品，那么抽出的3件不可能都是次品，其中至少1件是正品，则③是不可能事件，④是必然事件．答案：①②④③点评：判断事件的随机性或确定性，主要是根据定义来进行：确定不发生的就是不可能事件，确定要发生的就是必然事件，可能发生也可能不发生的就是随机事件．本题易误把③④也当成随机事件，其原因是不注意所给条件中正品和次品的数量，三个概念混淆不清．二、随机事件的概率及频率物体的大小常用质量、体积等来度量，学习水平的高低常用考试分数来衡量.对于随机事件，它发生的可能性的大小，我们也希望能用一个数量来反映.在数学中,用概率来度量随机事件发生的可能性大小.姓名试验次数正面朝上的次数正面朝上的比例思考1：那么如何才能获得随机事件发生的概率呢？试验第一步:每人各取一枚同样的硬币，做10次掷硬币试验，记录正面向上的次数和比例,填入下表中:思考2：试验结果与其他同学比较，你的结果和他们一致吗？为什么?可能不同,因为试验结果是一个随机事件,在一次试验中可能发生也可能不发生.第二步:由组长把本小组同学的试验结果统计一下，填入下表:组次试验总次数正面朝上总次数正面朝上的比例思考3：与其他小组试验结果比较，正面朝上的比例一定一致吗？为什么？不一定,因为试验结果是不确定的.第三步:把全班试验结果统计一下，填入下表：班级试验总次数正面朝上总次数正面朝上的比例第五步：请同学们找出掷硬币时“正面朝上”这个事件发生的规律性.“掷一枚硬币，正面朝上”在一次试验中是否发生不能确定，但随着试验次数的增加，正面朝上的比例逐渐地接近于0.5.第四步：请把全班每个同学的试验中正面朝上的次数收集起来，并用条形图表示.思考4：如果同学们重复一次上面的试验，全班汇总结果与这一次汇总结果一致吗？为什么？可能不一致.因为试验结果是不确定的.1.频数与频率在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例为事件A出现的频率.2.频率的取值范围是什么？Annf(A)=nn0(A)1f3.概率的定义在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率．Ann例如，历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表：抛掷次数(n)频率（）正面向上次数（频数m）204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120500530000149840.499536124720880.5011随着试验次数的增加，正面向上的频率逐渐地接近于0.5.用频率来估计“掷一枚硬币，正面向上”的概率是0.5.记P正面=0.5，P反面=0.5。注意以下几点：（1）求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验；（2）只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率；（3）概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；（4）概率反映了随机事件发生的可能性的大小；（5）必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0.因此0PA1．例2、某企业生产的乒乓球被2012年伦敦奥运会指定为乒乓球比赛专用球,目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如表所示：(1)计算表中乒乓球优等品的频率.(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)例题讲解分析：(1)将m、n的值逐一代入求频率.(2)观察各频率是否在某个常数附近摆动，用多次试验的频率估计概率.解：(1)依据优等品频率计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900，0.920，0.970,0.940，0.954，0.951.(2)由(1)知，抽取的球数n不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率为0.950.mnmPn，概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率.提升总结某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习,结果如下表:（1）计算表中进球的频率;（2）这位运动员投篮一次,进球的概率约是多少?0.800.780.750.800.800.850.830.80投篮次数进球次数进球频率8610815122017302540325039跟踪练习(1)联系:随着试验次数的增加,频率会在概率的附近摆动,并趋于稳定.在实际问题中,若事件的概率未知,常用频率作为它的估计值.事件A发生的频率是不是不变的？事件A发生的概率是不是不变的？它们之间有什么区别和联系？n(A)fPA频率是变化的，概率是不变的.(2)区别:频率本身是随机的,在试验前不能确定,做同样次数或不同次数的重复试验得到的事件的频率都可能不同.而概率是一个确定数,是客观存在的,与每次试验无关.1.下列事件：(1)如果a,b∈R,则a+b=b+a;(2)如果ab0,则(3)我班有一位同学的年龄小于18且大于20；(4)没有水，金鱼能活；其中是必然事件的有（）(A)(1)(2)(B)(1)(C)(2)(D)(2)(3)A11;ab随堂练习2.(2012·徐州模拟)一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如表：则样本数据落在(10，40］上的频率为()(A)0.13(B)0.39(C)0.52(D)0.64解：由题意可知样本数据落在(10，40］上的频数为：13+24+15=52.由频率=频数÷总数，可得520.52.100C3.随机事件:在n次试验中发生了m次，则（）(A)0＜m＜n(B)0＜n＜m(C)0≤m≤n(D)0≤n≤m4.下列说法正确的是()(A)任何事件的概率总是在（0，1）之间(B)频率是客观存在的，与试验次数无关(C)随着试验次数的增加，频率一般会非常接近概率(D)概率是随机的，在试验前不能确定CC5.抛掷100枚质地均匀的硬币，有下列一些说法:①全部出现正面向上是不可能事件；②至少有1枚出现正面向上是必然事件；③出现50枚正面向上50枚正面向下是随机事件；以上说法中正确的个数为（）(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个B1.必然事件、不可能事件、确定事件、随机事件、频数、频率、概率的概念.2.概率是频率的稳定值，根据随机事件发生的频率只能得到概率的估计值.3.随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率逐渐稳定在区间[0，1]内的某个常数上（即事件A的概率），概率就是用来度量某事件发生的可能性大小的量.知识总结4.任何事件的概率是0～1之间的一个确定的数，它度量该事件发生的可能性.小概率（接近0）事件很少发生，而大概率（接近1）事件则经常发生.知道随机事件的概率的大小有利于我们做出正确的决策.3.1.2随机事件的意义1.对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的____________稳定在某个常数上,把这个常数叫做P(A),称为______________,简称A的概率.2.只有当频率在某个常数附近摆动时,这个常数才叫做事件A的概率,概率是频率的________,而频率是概率的________.概率反映了随机事件发生的________的大小.频率f(A)事件A的概率稳定值近似值可能性知识引入有人说，既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上，你认为这种说法正确吗？让事实说话！课堂探究1概率的正确理解全班同学各取一枚硬币，连续两次抛掷，观察它落地后的朝向，并记录结果．重复上面过程10次．你有什么发现？有三种可能：“两次正面朝上”，“两次反面朝上”，“一次正面朝上，一次反面朝上”.全班同学各取一枚硬币，连续两次抛掷，观察它落地后的朝向，并记录结果．重复上面过程１０次．计算三种结果的频率，你有什么发现？“两次均正面朝上”的频率与“两次均反面朝上”的频率大致相等；“正面朝上、反面朝上各一次”的频率大于“两次均正面朝上”（“两次均反面朝上”）的频率.事实上，“两次均正面朝上”的概率为0.25，“两次均反面朝上”的概率也为0.25，“正面朝上、反面朝上各一次”的概率为0.5.随机事件的随机性与规律性：随机事件在一次试验中发生与否是随机