19讲 万有引力与天体运动

19讲万有引力与天体运动周毅剑2011-10-7万有引力与航天万有引力定律：F＝GMmr2天体运动规律：GMmr2＝mv2r＝mrω2＝m2πT2r人造卫星同步卫星，近地卫星三个宇宙速度要点探究►探究点一关于万有引力的计算第19讲│要点探究例1在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是()A.太阳引力远小于月球引力B.太阳引力与月球引力相差不大C.月球对不同区域海水的吸引力大小相等D.月球对不同区域海水的吸引力大小有差异D记住：万有引力计算式，距离有平方第19讲如图19－1所示，在一个半径为R、质量为M的均质球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为R2的球形空穴后，对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大？图19-1“割补法”求空心球体万有引力点睛：把求一个力的问题转化为求两个力的合力第19讲│要点探究因半径为R2的小球质量为M′＝43πR23·ρ＝43πR23·M43πR3＝18M，则F2＝GM′md－R22＝GMm8d－R22所以挖去球穴后的剩余部分对球外质点m的引力F1＝F－F2＝GMmd2－GMm8d－R22＝GMm7d2－8dR＋2R22d22d－R2.►探究点二中心天体质量及密度的计算计算天体的质量和密度是高考考查天体运动的重点内容，紧扣天体对它的卫星(或行星)的引力就是卫星绕天体做匀速圆周运动的向心力这一关键解决问题．GmMr2＝m4π2T2r，由此可得：M＝4π2r3GT2；ρ＝MV＝M43πR3＝3πr2GT2R3(R为行星的半径)．点睛：公式推导是关键第19讲│要点探究例2已知地球半径为R，地球、月球球心之间的距离为r，月球公转周期为T1，地球自转周期为T2，在地球表面附近运行的人造卫星周期为T3，万有引力常量为G，由以上条件可知()A.地球的质量为M＝4π2r3GT22B.地球的密度为ρ＝πr3GR3T21C.地表重力加速度为g＝4π2RT21D.月球运动的加速度为a＝4π2R3T23r2D第19讲│要点探究[点评]万有引力定律在天文上的典型应用就是计算天体的质量、密度、半径，此时要紧扣两个关键：一是紧扣一个物理模型：就是将天体(或卫星)的运动看成是匀速圆周运动；二是紧扣一个物体做圆周运动的动力学特征，即天体(或卫星)的向心力由万有引力提供．点睛：环绕模型，向心力由万有引力提供第19讲两类模型的建立中国首个月球探测计划“嫦娥工程”预计在2017年送机器人上月球，实地采样送回地球，为载人登月及月球基地选址做准备．设想我国宇航员随“嫦娥”号登月飞船绕月球飞行，飞船上备有以下实验仪器：A.计时表一只，B.弹簧秤一把，C.已知质量为m的物体一个，D.天平一只(附砝码一盒)．在飞船贴近月球表面时可近似看成绕月做匀速圆周运动，宇航员测量出飞船在靠近月球表面的圆形轨道绕行N圈所用时间为t，飞船的登月舱在月球上着陆后，遥控机器人利用所携带的仪器又进行第二次测量，科学家利用上述两次测量数据便可计算出月球的半径和质量．已知万有引力常量为G.(1)简述机器人是如何通过第二次测量物体在月球所受的重力F.(2)试利用测量数据(用符号表示)求月球的半径和质量．第19讲│要点探究变式题(1)利用弹簧秤测量物体m的重力F(2)R＝FT24π2mM＝F3T416Gm3π4[解析](2)在月球近地表面有GMmR2＝m2πT2R，T＝tN在月球表面有GMmR2＝F故R＝FT24π2m，M＝F3T416Gm3π4点睛：两个模型：（一）环绕模型，万有引力提供环绕天体做匀速圆周运动的向心力，（二）表面模型：万有引力在忽略星体自转时，万有引力等于星体表面重力。►探究点三天体表面的重力加速度第19讲要点探究天体表面及其某一高度处的重力加速度的求法：设天体表面的重力加速度为g，天体半径为R，则忽略天体自转时，mg＝GMmR2，可得g＝GMR2或GM＝gR2.若物体距天体表面高度为h，则重力mg′＝GMmR＋h2，可得g′＝GMR＋h2＝R2R＋h2·g.第19讲│要点探究例3[2010·南昌模拟]一些星球由于某种原因而发生收缩，假设某星球的直径缩小到原来的四分之一，若收缩时质量不变，则与收缩前相比()A.同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的4倍B.星球表面重力加速度增大到原来的4倍C.星球的第一宇宙速度增大到原来的4倍D.星球的第一宇宙速度增大到原来的2倍D第19讲│要点探究[点评]星体表面的重力近似等于星体表面处的万有引力，即mg＝GMmR2，gR2＝GM，所以可以利用重力与万有引力相等来解决星体表面的加速度问题．双星，多星系：两星或多星相互环绕，万有引力作为每一个卫星环绕对方的向心力•①线速度公式：•②角速度公式：•③周期公式：rrrBABABBBAAABArvmrvmrmmG222222BBAABArmrmrmmGBATTBBAABArTmrTmrmmG22222BAOrArB图6-2-1第19讲│要点探究•例4、（2010全国卷1）25．（18分）如右图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。•(1)求两星球做圆周运动的周期。•(2)在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg和7.35×1022kg。求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数）【答案】⑴⑵1.01)(23mMGLT点睛：星系问题关键，中心不再是天体，但仍然要建构一个环绕模型，此时它们之间的万有引力的合力提供了向心力。