74导数的几何意义

例1．火箭竖直向上发射，熄火时向上的速度达到100m/s，试问熄火后多长时间火箭向上的速度为0？解：火箭的运动方程为h(t)=100t－gt2，21在t附近的平均变化率为22211[100()()][100]221100()2ttgtttgtttgtttgtt=100－gt－g△t。12当△t→0时，上式趋近于100－gt。可见t时刻的瞬时速度h’(t)=100－gt。令h’(t)=100－gt=0，解得10010010.2()9.8tsg所以火箭熄火后约10.2s向上的速度变为0.例2．一正方形铁板在0°C时，边长为10cm，加热后铁板会膨胀，当温度为t°C时，边长变为10(1+at)cm，a为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率。解：设温度的增量为△t，则铁板面积S的增量△S=102[1+a(t+△t)]2－102(1+at)2=200(a+a2t)△t+100a2(△t)2.因此=200(a+a2t)+100a2△t.St所以铁板对温度的膨胀率为200(a+a2t).令△t→0，得S’=200(a+a2t).练习题1．一物体的运动方程是s=3+t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为（）A．0.41B．3C．4D．4.1D2．设y=f(x)函数可导，则等于（）A．f′(1)B．不存在C．f′(1)D．3f′(1)xfxfx3)1()1(lim03．函数y=2mx+n的瞬时变化率是.314．设，则等于（）A．B．C．D．xxf1)(axafxfax)()(lima1a221a21aC课堂小结：如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到t+Δt这段时间内，当Δt0时平均速度:瞬时变化率也就是位移对于时间的.)()(vttstts1、瞬时速度2、导数的概念有定义，在区间（函数),)(baxfy),0bax（AxxfxxfxyX)()(,000比值我们称f(x)在x=x0可导,并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记为f/(x)．3、导函数与导数（值）的关系如果函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，就说f(x)在开区间(a,b)内可导．这时，对于开区间(a,b)内每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f‘(x0)，这样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x)在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，记作函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系。1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是求函数在点处的导数的方法之一。0x0()fx()fx0xx0x0()fx()fx0x0()fx0x()fxM△x△yxoyy=f(x)ABβy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy▲如图：PQ叫做曲线的割线那么，它们的横坐标相差（）纵坐标相差（）yx请问：是割线PQ的什么?导数的几何意义:xy斜率▲当Q点沿曲线靠近P时，割线PQ怎么变化？△x呢？△y呢？PQoxyy=f(x)割线切线T导数的几何意义:我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:'00000()()()limlimxxfxxfxykfxxx切线这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.PQoxyy=f(x)割线切线T【例1】求曲线y=x2在点P(1,1)处的切线的方程。k=xxfxxfxyxx)()(0000limlim解：△y=f(1+△x)-f(1)=(1+△x)2-1=2△x+（△x）2xxxxxy222∴曲线在点P(1,1)处的切线的斜率为2)2(lim0xkx因此，切线方程为y-1=2(x-1)即：y=2x-1（4）根据点斜式写出切线方程求斜率【总结】求曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的方法：(1)求△y=f(x0+△x)-f(x0)xy求)2(xykx0lim3）（k=xxfxxfxyxx)()(0000limlim练习:如图已知曲线,求:(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.)38,2(313Pxy上一点yx-2-112-2-11234OP313yx.])(33[lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx解：.42|22xy即点P处的切线的斜率等于4.(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.【例2】k=xxfxxfxyxx)()(0000limlim）的切线方程。，过点（求抛物线625xy2200解：设切点（x，x）5(6),2P又切线过点，0)2x0则k=f(x02x200x-6其斜率应满足5x-2200即x-5x+6=00解得x=2，312且k=4,k=6即切线方程y=4x-4,y=6x-9(5)根据点斜式写出切线方程【总结】求过曲线y=f(x)外点P(x1,y1)的切线的步骤：xykx0lim2）利用所设切点求斜率（k=xxfxxfxyxx)()(0000limlim(1)设切点(x0，f(x0))(3)用(x0，f(x0))，P(x1,y1)表示斜率(4)根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k（3）函数f(x)在点x0处的导数就是导函数在x=x0处的函数值，即。这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。)(0xf)(xf0|)()(0xxxfxf（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数。)(xf（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。1.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系。小结