第4章 统计物理基础

单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级11第二篇热物理学单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级22●理想气体的温度、压强、内能●能量均分定理●概率、概率分布函数、分布率●平均碰撞频率平均自由程最可几速率平均速率方均根速率●●玻尔兹曼能量分布律本章基本要求第四章统计物理学基础●物质的微观模型、描述系统的状态参量●麦克斯韦速率分布律单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级33热力学系统：大量微观粒子（分子、原子等）组成的宏观体系。外界：热力学系统以外的物体。一、物质的微观模型微观粒子体系的基本特征:(1)分子(或原子)非常小。(4）分子或原子都以不同的速率不停地运动(是杂乱无章的)。(2)热力学系统所包含的微观粒子数非常巨大.(3)分子之间存在相互作用力--分子力.§4-1、统计物理的基本概念单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级44宏观量从整体上描述系统特征和状态的物理量,一般可以直接测量。如压强p、体积V、温度T（状态参量）等。二、系统状态的描述微观量描述系统内微观粒子特征和状态物理量。如分子的质量、直径、速度、动量、能量等。微观量与宏观量有一定的内在联系.例如，气体的压强（宏观量）是大量分子撞击器壁的平均效果,它与大量分子对器壁的冲力的平均值有关。单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级55平衡态(equilibriumstate):在无外界影响的条件下，系统所有可观察的宏观性质不随时间改变的状态。非平衡态:不具备两个平衡条件之一的系统.设一容器，用隔板将其隔开,当隔板右移时，分子向右边扩散在这过程中，各点密度、温度等均不相同，这就是非平衡态。但随着时间的推移….平衡条件:(1)系统与外界在宏观上无能量和物质的交换，(2)系统的宏观性质不随时间改变。单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级66终了(平衡态)扩散(非平衡态)..............................开始隔板..............................抽去隔板...............................单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级77（1）平衡态是一种热动平衡；处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞，每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间改变。（2）平衡态是一种理想概念。两点说明：系统所受外界影响可以略去，宏观性质只有很小变化时，可近似看作是平衡态。单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级88当系统处于平衡态时，三个状态参量存在一定的函数关系：状态方程物态方程(状态方程)当质量M不变时，有单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级99例1氧气瓶的压强降到106Pa即应重新充气，以免混入其他气体而需洗瓶。今有一瓶氧气，容积为32L，压强为1.3107Pa，若每天用105Pa的氧气400L，问此瓶氧气可供多少天使用？设使用时温度不变。解:根据题意，可确定研究对象为原来气体、用去气体和剩余气体，设这三部分气体的状态参量分别为使用时的温度为T分别对它们列出状态方程，有单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级1010设可供x天使用，则有：原有M1每天用量(M2)剩余M3TMVp111TMVp222TMVp333单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级1111例2、一自行车轮胎，在温度为00C时打入空气，直到胎内压强1.5atm.(1)由于摩擦与日晒，车胎温度升高到300C，问此时轮胎内压强为多少？(2)在骑车过程中，胎被刺破一小洞而漏气，问当自行车停下胎的温度又降至00C时，胎内漏掉的气体是原有气体的百分之几？解:(1)设自行车轮胎体积为V0,压强P0=1.5atm,T0=273K,T=303K.胎被刺破前，胎内空气的质量一定，故可由单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级1212(2)车胎漏气，由于车胎内气体压强最终要与大气压相等，即P1=1.0atm,T1=T0=273K.设此时胎内空气质量为M,漏气前质量为M设漏掉空气与原有空气的百分比为x，则结论：而当质量改变时，就只能用当质量不变时，有单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级1313三、分子热运动的无序性和统计规律性什么是统计规律性(statisticalregularity)大量偶然性从整体上所体现出来的必然性。分子热运动无序性统计性单个分子运动情况具有很大的偶然性。大量分子的集体表现存在一定规律性。单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级1414投骰子实验每一面朝上的概率都是1/6①扔骰子单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级1515从入口投入小球与钉碰撞落入狭槽(偶然)隔板铁钉②伽尔顿板实验单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级1616大量偶然事件整体所遵循的规律——统计规律。再投入小球：经一定段时间后,大量小球落入狭槽。分布情况：中间多，两边少。重复几次，结果相似。单个小球运动是随机的,大量小球运动分布是确定的。小球数按空间位置分布曲线单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级1717统计规律的特点:（1）只对大量偶然的事件才有意义.（2）它是不同于个体规律的整体规律.（3）总是伴随着涨落.“涨落”现象------测量值与统计平均值之间的偏离。(涨落现象是统计规律的重要特征。)对平衡态下的热现象进行微观描述，然后运用统计的方法求得：(1)宏观量与微观量的统计平均值的关系，揭示宏观量的微观本质；(2)平衡态下微观量的统计分布。如：分子速度、能量的分布等统计物理学的任务:单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级1818(2)各种可能发生的事件的概率总和等于1.（几率归一化条件）概率的性质:(1)概率取值域为四、统计的基本概念1.概率如果N次试验中出现A事件的次数为NA,当N时，比值NA/N称为出现A事件的概率。单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级19192.概率分布函数:(X)随机变量:在一定条件下,变量以确定的概率取各种不相同的值。1).离散型随机变量(取值有限、分立)1),2,1(01SiiiPSiP有(3)互斥事件的概率等于分事件概率之和(4)相容事件的概率等于分事件概率之积表示方式概率:单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级2020概率密度等于随机变量取值在单位间隔内的概率。(X)又称为概率分布函数（简称分布函数）。--随机变量x的概率密度(x)2).连续型随机变量(取值无限、连续。如分子速率、能量都是…)随机变量(x)取值在x—x+dx间隔内的概率为dP(x)单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级21213.统计平均值（无限次测量）对于离散型随机变量算术平均值统计平均值随机变量的统计平均值等于一切可能状态的概率与其相应的取值i乘积的总和。i对于连续型随机变量X统计平均值为试比较:（有限次测量时）单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级2222§4-2理想气体的压强公式、温度公式和内能一、理想气体的微观模型和统计假设分子本身的大小比起它们之间的平均距离可忽略不计。除碰撞外，分子之间的作用可忽略不计。分子间的碰撞是完全弹性的。分子所受重力忽略不计1.理想气体微观模型单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级23232.统计假设①分子数密度处处相等；cbannn②分子沿各个方向运动的几率均等。亦即：分子速度在各个方向上的分量的各种平均值相等。abc222231vvvvzyxNvNvvvviN//)(2222212单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级2424一定量的处于平衡态的某种理想气体。设其容器的容积为V,总分子数为N,每个分子的质量均为m。平衡态下器壁各处压强相同，选A1面求其所受压强。二．理想气体的压强公式单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级2525i分子动量增量i分子对器壁的冲量i分子相继与A1面碰撞的时间间隔单位时间内i分子对A1面的冲量即，i分子对A1面的平均冲力考虑一个分子i，以速度奔向一面元A1，与面元碰撞后返回单位时间内i分子对A1面的碰撞次数单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级2626所有分子对A1面的平均作用力压强又因为在平衡态下：单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级2727——分子的平均平动动能宏观量微观量——理想气体的压强公式221vmw其中(3)质量为M理想气体贮存于某容器中，温度为T，根据理想气体微观模型和统计假设,求分子速度在o-xyz坐标中沿各个方向速度的统计平均值为多少？思考:(1)在推导理想气体的压强公式中，没有考虑气体分子间的相互碰撞，如果考虑这一因素，对所得的结果有无影响？平均速度vixNiN=vxdNvx/N=vx(vx)dvx=0+-vx=(对宏观系统没有影响。)（2）能不能用实验直接验证理想气体的压强公式，如果不能，这是因为什么原因？答：不能，公式右边分子的平均平动动能（微观量）是无法用实验观测的。单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级2828温度是气体分子平均平动动能大小的量度此式给出了宏观量与微观量的统计平均值间的关系,揭示了温度的微观本质.三、分子的平均平动动能与温度的关系)wnp已求得又(32kTvmw23212单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级2929例3在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体。如果压缩气体并对它加热，使它的温度从270C升到1770C，体积减少一半，试问这时气体分子的平均平动动能变化多少？解：单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级30301、自由度i（Degreeoffreedom）确定一个物体的空间位置所需要的最少独立坐标数目。四、能量按自由度均分定理如:火车:在一线上运动其自由度为1飞机：在空间飞行自由度为3（经度、纬度、高度）（经度、纬度）轮船：在一曲面上运动自由度为2单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级3131以刚性分子为例双原子分子单原子分子平动自由度t=3平动自由度t=3转动自由度r=2平动自由度t=3转动自由度r=3三原子分子单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级32322、能量均分定理自由度转动平动.刚性分子的自由度数小结单原子分子303双原子分子523三原子(多原子)分子633单击此处编辑母版标题样式•单击此处编辑母版文本样式•第二级•第三级•第四级•第五级3333推广气体分子沿x,y,z三个方向运动的平均平动动能完全相等，可以认为