电磁场与电磁波基础(第2章)

1.电场力、电场强度与电位重点：第2章电场、磁场与麦克斯韦方程4.麦克斯韦方程的导出及意义2.磁场力、磁感应强度与磁位6.电磁场的能量与坡印廷矢量3.洛伦兹力5.电磁场中的三种电流以及电流连续性原理2.1电场力、电场强度与电位1.电场力库仑定律12201()()4EqqRFRR适用条件两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力;无限大真空情况(式中1291085.836100F/m)可推广到无限大各向同性均匀介质中)(02.电场强度库仑定律还可以换一种方式来阐述：假定电荷q=1C，于是电场力即为q1对单位电荷的作用力,我们将这个特定大小的电场力称为电场强度矢量EFEFE12014qRERR＝由电场强度矢量可以得出两个或多个彼此相对静止的电荷之间的作用力，所以电场强度表示了电场力。结论如果电荷是沿一曲线连续分布的线电荷线电荷密度定义为0limllqdqldldq在空间产生的电场强度为220044lRRdldqdEeeRR整个线电荷在空间产生的电场强度为2014lRldlEeR如果电荷是沿一曲面连续分布的面电荷面电荷密度定义为0limsSqdqSdS整个面电荷在空间产生的电场强度为2014sRSdSEeR如果电荷在某空间体积内连续分布体电荷密度定义为0limVqdqVdV整个体电荷在空间产生的电场强度为2014RVdVEeR3.电位EFqE已知试验电荷q在电场中的受力为在静电场中欲使试验电荷q处于平衡状态，应有一外力与电场力大小相等，方向相反，即WFqE于是，试验电荷q在静电场中由A点移动到B点时外力需做的功为BAWqEdl我们将静电场内单位正电荷从A点移动到B点时外力所做的功称为点B和点A之间的电位差BBAAEdl在自由空间，如果点电荷位于原点，原点到场点A的距离为RA原点到场点B的距离为RB，则B点和A点之间的电位差为20011()44BBAARRBARRRRBAqqEdleedRRRR积分表明，空间两点B和A之间的电位差只与场点所在位置有关，而与积分路径无关。0lEdl因此，在静电场中可将下列左式改写成一个具有普遍意义的式子（右式）lEdl得到空间一段线元上两端点间的电位差为dEdl若单位正电荷是从无穷远处出发移到B点的，则电位差为04BBqR或写成04BBqRBBAAEdl可得电位与电场强度的关系为E此式提供了求解静电场中电场强度的一种方法，即把求解电场强度的问题变成先求解电位而后再通过微分关系求电场强度。一般情况下，用这种方法比直接求解电场强度要简便。由式（1.95）可知ddldEdl2.2磁场力、磁感应强度与磁位1.磁场力当电荷之间存在相对运动，比如两根载流导线，会发现另外一种力，它存在于这两线之间，是运动的电荷即电流之间的作用力，我们称其为磁场力。假定一个电荷q以速度在磁场中运动，则它所受到磁场力为vBFqvB＝这表明：一个单位电流与另外一个电流的作用力可以用一个磁感应强度来描述。B2.磁感应强度磁场的特征是能对运动电荷施力，其施力的情况虽然比较复杂，但我们可以用一个磁感应强度来描述它,即将其定义为一个单位电流受到另外一个电流的作用力。BFqvB＝已知磁场力考虑磁场中载流线元的受力情况，由于IdldqdlIdldldqdqvdtdt所以BdFdqvdBIdldB1dl2dl1I2IRRe21F如图：电流元和之间的作用力为11Idl22Idl01121222[]4RIdledFIdlR01124RIdledBR比较BdFdqvdBIdldB可得毕奥-萨伐尔定律运用叠加原理，可得闭合回路1在空间所产生的磁感应强度101124RlIdleBR上式是计算线电流周围磁感应强度的公式。磁感应强度的单位为牛顿/（安培米），在国际单位制中的单位为特斯拉。024sRsJeBdsRsJ如果电流是分布在某一曲面上时，若面电流密度为，则面电流在空间产生的磁感应强度为如果电流是分布在某一体积内时，若面电流密度为，则体电流在空间产生的磁感应强度为J024RvJeBdvR3.矢量磁位BB穿过某一曲面S的磁感应强度的通量称之为穿过该曲面的磁通量BmsBdS由毕奥-沙伐尔定律02''4RmslIdledSR根据梯度规则21()ReRR上式中的被积函数变成2'1()'RIdleIdlRR根据高斯定律VsvBdSBd0'1()'V4mvlIdldR即0'1[()']V4mvlIdldR利用矢量恒等式()FGGFFG可得111[()']'()()'IdlIdlIdlRRR因为1()0R'0Idl0B根据0ABA称为矢量磁位单位是韦伯/米根据库伦规范，有约束0A可得矢量磁位A0''4lIdlAR04ssJdsAR04vJdvAR采用面电流密度表示采用体电流密度表示这表明整个积分为零，即0svBdSBdv4.标量磁位但在没有电流分布的区域内，恒定磁场的基本方程变为00BHm这样，在无源区域内，磁场也成了无旋场，具有位场的性质，因此，象静电场一样，我们可以引入一个标量函数，即标量磁位函数注意：标量磁位的定义只是在无源区才能应用。Hm即令对于恒定磁场，安培环路定律表明磁场是一个有旋场，在有电流处磁场的旋度不为零。0BJ当一个电荷既受到电场力同时又受到磁场力的作用时，我们称这样的合力为洛伦兹力。FqEqvB我们也可以用这个表达式作为电场强度和磁场强度的定义式。即2.3洛伦兹力重要特性：电荷在电场中会受到力(称电场力)的作用。E取决于源(带电体)的电量、形状及分布情况,它可以是时变的点电荷产生的场及所受的力是计算其它复杂情况的基础0limqqFE电场实验证明：电场力大小与电荷所在位置的电场强度大小成正比，即：FqE重要特性：在磁场中运动的电荷(电流)会受到力(称磁场力)的作用。磁感应强度矢量B:描述空间磁场的分布(大小和方向)。B的方向由磁场力和速度的方向确定。B取决于源(带电体)的电量、形状及运动分布情况max0limqFBvq磁场FqvB2.6由电通量与高斯定律导出麦克斯韦第一方程esDdSqDE0DE凡是矢量场，均有通量可言。电力线的数目就称为电通量。规定一个电荷q所产生的力线条数（即电通量）等于用库仑表示的电荷的大小。用符号表示球面上的电通量密度，即D24qRDRR于是，通过整个球面的电通量为电通量密度与电场强度的关系为0DE根据高斯定律SVVDdSDdVQqdV可得麦克斯韦第一方程：D0/E或若闭合曲面所包围的电荷多于一个以上，则电通量关系应改写为esDdSq并且电场强度穿出球面的电场强度通量为E0/sEdSq2.7由法拉第电磁感应定律与斯托克斯定律导出麦克斯韦第二方程法拉第电磁感应定律mdedt可得麦克斯韦第二方程：BEt感应电动势leEdl闭合路径所包围的磁通msBdS根据斯托克斯定律()lssBEdlEdSdSt2.8由磁通量与高斯定律导出麦克斯韦第三方程磁通连续性原理0SBdS可得麦克斯韦第三方程：0B穿过开表面积S的磁通msBdS根据高斯定律0SVBdSBdV1.传导电流、运流电流和位移电流自由电荷在导电媒质中作有规则运动而形成传导电流2.9由安培环路定律与斯托克斯定律导出麦克斯韦第四方程dlABdSdIdABddIRRdlRdS1dIddSdlη为电阻率，/cdIdSJ/ddlE（电场强度与电势的关系）此式说明传导电流密度服从于欧姆定律(ohm’slaw)，并且传导电流为传导电流的电流密度与电场强度的关系为：cJEccsiJdsEJccEJE形成运流电流的电荷在运动时并不受到碰撞阻滞作用，即使存在与其它粒子发生碰撞的机率，其作用也微乎其微，可忽略不计，因此运流电流不服从于欧姆定律。电荷在无阻力空间作有规则运动而形成运流电流dlvdt假设存在一个电荷体密度为的区域，在电场作用下，电荷以平均速度v运动，在dt时间内，电荷运动的距离为dl则dqdSdlvdSdt如果存在一个面积元dS，当运动电荷垂直穿过面积元时，dt时间内穿过的总电量为vdqdivdSdtvvdiJvds式中运流电流密度为通常，传导电流与运流电流并不同时存在。则穿过的电流为所以，运流电流为vvvssidivdSJdS则穿过闭合面S的位移电流为：电介质内部的分子束缚电荷作微观位移而形成位移电流作一个闭合面S，假定其中所包围的电量为q，根据高斯定律可知sqDdSddssdqDidSJdSdtt式中位移电流密度0dDEJtt传导电流与位移电流2.电流连续性原理麦克斯韦假设，S面内自由电量q的增长应与穿出的位移电流相一致，并且若指定穿出S面的电流为正，则在时变电磁场空间，围绕着通电导体作一闭合面S，则穿入的传导电流和运流电流应等于S面内自由电量q的增加率，即cvdqiidt()cvdsssDJdSJdSidSt于是可得()0cvdsJJJdS即0cvdiii此式称为电流连续性原理电流连续性原理表明：在时变场中，在传导电流中断处必有运流电流或位移电流接续。0cvdEJJJJEvt其中通常，又将电流连续性原理称为全电流定律，该定理揭示了不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。麦克斯韦由此预言电磁波0sJdS或称为全电流密度传导电流与位移电流解：忽略极板的边缘效应和感应电场d)t(uED,duE位移电流密度位移电流)dtdu(dtDJDCSDDidtduC)dtdu(dSdSJi例:已知平板电容器的面积为S,相距为d,介质的介电常数,极板间电压为u(t)。试求位移电流iD；传导电流iC与iD的关系是什么?电场3.麦克斯韦第四方程静电场的环流为零0lEdl稳恒磁场的环流如何呢？?lBdl说明静电场是保守场；对任何矢量场基本性质的研究，就是考察它的通量和环流。对稳恒磁场环流的研究形成了安培环路定理。与环路成右旋关系的电流取正。0iliBdlI內在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度沿任意闭合曲线的线积分（也称的环流）,等于穿过该闭合曲线的所有电流强度（即穿过以闭合曲线为边界的任意曲面的电流强度）的代数和的μ0倍。BBI安培环路定理磁感应强度的环流只与环路内的电流有关，但环路上一点的磁感应强度是由环路内、外电流共同产生的。安培环路定理揭示了磁场的基本性质之一，磁场是有旋场，是非保守场，故磁场中不能引入势能的概念。①②讨论0iliBdlI內当电流呈面分布时③0lSBdlJdS定义自由空间用磁场强度表示的磁通密度为H0BH则安培环路定律可写成lHdlIiiII內在时变场中，应将安培环路定律中的电流拓广为全电流，即()cvdlsHdlJJJds其中麦克斯韦第四方程由斯托克斯定律得()cvdlssHdlHdsJJJdscvddHJJJJJ＝即0EDHJJtt20//cBJEt或2.10微分形式