电磁场与电磁波谢处方第一章

第1章矢量分析王喜昌教授编写电磁场与电磁波1第1章矢量分析王喜昌教授编写电磁场与电磁波2本章内容1.1矢量代数1.2常用正交曲线坐标系1.3标量场的梯度1.4矢量场的通量与散度1.5矢量场的环流和旋度1.6无旋场与无散场1.7拉普拉斯运算与格林定理1.8亥姆霍兹定理第1章矢量分析王喜昌教授编写电磁场与电磁波31.标量和矢量矢量的大小或模：AA矢量的单位矢量：标量：一个只用大小描述的物理量。AAeA矢量的代数表示：AeAeAAA1.1矢量代数矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示注意：单位矢量不一定是常矢量。A矢量的几何表示常矢量：大小和方向均不变的矢量。第1章矢量分析王喜昌教授编写电磁场与电磁波4zzyyxxeAeAeAAAAAAAAxyzcoscoscos)coscoscos(zyxeeeAAcoscoscoszyxAeeee矢量用坐标分量表示zAxAAyAzxy第1章矢量分析王喜昌教授编写电磁场与电磁波5（1）矢量的加减法)()()(zzzyyyxxxBAeBAeBAeBA两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线,如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律2.矢量的代数运算矢量的加法BAAB矢量的减法BAABB在直角坐标系中两矢量的加法和减法：结合律()()ABCABCABBA交换律第1章矢量分析王喜昌教授编写电磁场与电磁波6（2）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）zzyyxxkAekAekAeAkzzyyxxBABABAABBAcosABBA——矢量的标积符合交换律1zzyyxxeeeeee0xzzyyxeeeeeeAB矢量与的夹角ABABAB0BA//ABAB第1章矢量分析王喜昌教授编写电磁场与电磁波7（4）矢量的矢积（叉积）sinABeBAn)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAeBAzyxzyxzyxBBBAAAeeeBAABBAsinABBABA矢量与的叉积AB用坐标分量表示为写成行列式形式为BAABBA若，则BA//0BA若，则第1章矢量分析王喜昌教授编写电磁场与电磁波8（5）矢量的混合运算CBCACBA)(CBCACBA)()()()(BACACBCBACBABCACBA)()()(——分配律——分配律——标量三重积——矢量三重积第1章矢量分析王喜昌教授编写电磁场与电磁波9三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。1.2三种常用的正交曲线坐标系在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球面坐标系。三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。第1章矢量分析王喜昌教授编写电磁场与电磁波101、直角坐标系zeyexerzyx位置矢量面元矢量线元矢量zeyexelzyxddddzyelleSxzyxxdddddyxelleSzyxzzddddd体积元zyxVddddzxelleSyzxyyddddd坐标变量zyx,,坐标单位矢量zyxeee,,点P(x0,y0,z0)0yy（平面）oxyz0xx（平面）0zz（平面）P直角坐标系xezeyexyz直角坐标系的长度元、面积元、体积元odzdydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd第1章矢量分析王喜昌教授编写电磁场与电磁波11c.圆柱坐和直角坐标的关系22=x,arctan(/)yyxzz或者cossinxyzzz,,a.坐标变量000,,zP点位置zeee,,b.坐标单位矢量2、圆柱面坐标系第1章矢量分析王喜昌教授编写电磁场与电磁波12d.柱坐标的关系zzzeeeeeeeeee.柱坐标的导数关系cossinsincosxyxyeeeeeecossinsincosxyeeeeee有oxy单位圆直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系xeyeee第1章矢量分析王喜昌教授编写电磁场与电磁波13sincoscossinxyxyeeeeeeee得到zeerzf.位置矢量drdddzeeezg.线元矢量dddzzzreezdrdedezeddeedzeeez第1章矢量分析王喜昌教授编写电磁场与电磁波14dddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleSh.面元矢量zVddddi.体积元第1章矢量分析王喜昌教授编写电磁场与电磁波15总结z,,坐标变量zeee,,坐标单位矢量zeerz位置矢量zeeelzdddd线元矢量zVdddd体积元dddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleS面元矢量第1章矢量分析王喜昌教授编写电磁场与电磁波163、球面坐标系,,ra.坐标变量000,,rP点坐标eeer,,b.坐标单位矢量c.球坐标和直角坐标的关系222222r=xarccos(/x)arctan(/)yzzyzyxcossinxyzz或者sincossinsincosxryrzr第1章矢量分析王喜昌教授编写电磁场与电磁波17d.球坐标的关系rrreeeeeeeeee.球坐标的导数关系sincossinsincoscossincoscossinsincosrxyzxyzxyeeeeeeeeeee第1章矢量分析王喜昌教授编写电磁场与电磁波18或者sincoscoscossinsinsincossincoscossinxryrreeeeeeeeeee得到,sin,cos0,sincosrrrreeeeeeeeeeee第1章矢量分析王喜昌教授编写电磁场与电磁波19rerrf.位置矢量drddsindrerererg.线元矢量()ddsindrrrrdrderedrrdeerererddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSzrh.面元矢量dddddrrelleSrdddsind2rrVi.体积元第1章矢量分析王喜昌教授编写电磁场与电磁波20ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSzrdddddrrelleSr总结：球面坐标系球面坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元,,r坐标变量eeer,,坐标单位矢量rerr位置矢量dsindddrererelr线元矢量dddsind2rrV体积元面元矢量第1章矢量分析王喜昌教授编写电磁场与电磁波214、坐标单位矢量之间的关系xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐标与圆柱坐标系eezereeesin0cossincos0001圆柱坐标与球坐标系zereeecossincossinsincos0直角坐标与球坐标系xeyesinsinsincoscossinoz单位圆柱坐标系与求坐标系之间坐标单位矢量的关系oxy单位圆直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系xeyeeezeeree第1章矢量分析王喜昌教授编写电磁场与电磁波221.3标量场的梯度如果物理量是标量，称该场为标量场。例如：温度场、电位场、高度场等。如果物理量是矢量，称该场为矢量场。例如：流速场、重力场、电场、磁场等。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：、),,,(tzyxu),,,(tzyxF确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场、),,(zyxu),,(zyxF静态标量场和矢量场可分别表示为：第1章矢量分析王喜昌教授编写电磁场与电磁波231.标量场的等值面标量场的等值线(面)等值面:标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。Czyxu),,(等值面方程：•常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；•标量场的等值面充满场所在的整个空间；•标量场的等值面互不相交。等值面的特点：意义:形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。第1章矢量分析王喜昌教授编写电磁场与电磁波242.方向导数意义：方向性导数表示场沿某方向的空间变化率。coscoscoslim|00zuyuxulululM概念：l0ul•——u(M)沿方向增加；l0ul•——u(M)沿方向减小；l0ul•——u(M)沿方向无变化。M0lMl方向导数的概念l特点：方向性导数既与点M0有关，也与方向有关。问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？——的方向余弦。l式中：coscoscos、、第1章矢量分析王喜昌教授编写电磁场与电磁波25梯度的表达式：3、标量场的梯度（或）graduu意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向概念：，其中取得最大值的方向max|luuelluel梯度的计算：coscoscosuuuulxyz()(coscoscos)xyzxyzuuuueeeeeelxyz第1章矢量分析王喜昌教授编写电磁场与电磁波26zueyuexueuzyx直角面坐标系zueueueuz1圆柱面坐标系ureurerueursin11球面坐标系xyzuuugradueeexyz令xyzeeexyzxyzuuuueeegraduxyz第1章矢量分析王喜昌教授编写电磁场与电磁波27•标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。•标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。梯度的性质：梯度运算的基本公式：uufufuvvuuvvuvuuCCuC)()()()()(0•标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面