材料力学第九章压杆稳定

第九章压杆稳定目录§9.1压杆稳定的概念§9.2两端铰支细长压杆的临界压力§9.4欧拉公式的适用范围经验公式§9.5压杆的稳定校核§9.6提高压杆稳定性的措施§9.3其他支座条件下细长压杆的临界压力第二章中，轴向拉、压杆的强度条件为例如:一长为300mm的钢板尺,横截面尺寸为20mm1mm.钢的许用应力为[]=196MPa.按强度条件计算得钢板尺所能承受的轴向压力为[F]=A[]=3.92kN§9–1压杆稳定的概念实际上,其承载能力并不取决于轴向压缩的抗压强度,而是与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时,钢板尺就突然发明显的弯曲变形,丧失了承载能力.一、引言][maxNmaxσAFσ工程中有些构件具有足够的强度、刚度,却不一定能安全可靠地工作.构件的承载能力①强度②刚度③稳定性二、工程实例案例120世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏（TheodoreCooper）在圣劳伦斯河上建造魁比克大桥(QuebecBridge)1907年8月29日，发生稳定性破坏，85位工人死亡，成为上世纪十大工程惨剧之一.三、失稳破坏案例案例21995年6月29日下午，韩国汉城三丰百货大楼，由于盲目扩建，加层，致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破坏使大楼倒塌，死502人，伤930人，失踪113人.案例32000年10月25日上午10时南京电视台演播中心由于脚手架失稳造成屋顶模板倒塌，死6人，伤34人.研究压杆稳定性问题尤为重要1.平衡的稳定性四、压杆稳定的基本概念随遇平衡微小扰动就使小球远离原来的平衡位置微小扰动使小球离开原来的平衡位置，但扰动撤销后小球回复到平衡位置2.弹性压杆的稳定性—稳定平衡状态—临界平衡状态—不稳定平衡状态关键确定压杆的临界力FcrcrFFcrFFcrFF稳定平衡不稳定平衡临界状态临界压力:Fcr过度对应的压力压力等于临界力压力大于临界力压力小于临界力压杆丧失直线状态的平衡，过渡到曲线状态的平衡。称为丧失稳定，简称失稳，也称为屈曲压力等于临界力压杆的稳定性试验五、稳定问题与强度问题的区别平衡状态应力平衡方程极限承载能力直线平衡状态不变平衡形式发生变化达到限值小于限值b变形前的形状、尺寸变形后的形状、尺寸实验确定理论分析计算强度问题稳定问题压杆什么时候发生稳定性问题，什么时候产生强度问题呢？压杆临界压力—能够保持压杆在微小弯曲状态下平衡的最小轴向压力。§9.2两端铰支细长压杆的临界压力挠曲线近似微分方程弯矩FwM令则通解§9.2两端铰支细长压杆的临界压力边界条件：若则（与假设矛盾）所以B=0w§9.2两端铰支细长压杆的临界压力得当时，临界压力欧拉公式挠曲线方程wl欧拉公式与精确解曲线u精确解曲线crPP152.1l3.0时，1、适用条件：•理想压杆（轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀）•线弹性，小变形•两端为铰支座----欧拉公式2、21lFcrEIFcr杆长，Fcr小，易失稳刚度小，Fcr小，易失稳lxAwlksin,3、在Fcr作用下，挠曲线为一条半波正弦曲线Awlx,2即A为跨度中点的挠度例1解：截面惯性矩临界压力269kNN102693§9-3其它支座条件下细长压杆的临界压力1.细长压杆的形式两端铰支一端自由一端固定一端固定一端铰支两端固定2.其它支座条件下的欧拉公式lFcr2l()2cr22EIFlFcrl0.3l0.7l(.)2cr207EIFlFcrl2cr2EIFl—长度因数l—相当长度欧拉公式22cr)(πlEIFlFcrl/4l/4l/2(/)2cr22EIFll对于其他支座条件下细长压杆，求临界压力的方法：从挠曲线微分方程入手；比较变形曲线两端铰支一端固定，另一端铰支两端固定一端固定，另一端自由表9-1各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式支承情况临界力的欧拉公式长度因数=1=0.7=0.5=2欧拉公式的统一形式（为压杆的长度因数）22crπlEIF22cr)7.0(πlEIF22cr)5.0(πlEIF22cr)2(πlEIF22cr)(πlEIF5.讨论为长度因数l为相当长度（1）相当长度l的物理意义压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长度l.l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度.22cr)(πlEIFzyx取Iy，Iz中小的一个计算临界力.若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界压力.I为其相应中性轴的惯性矩.即分别用Iy，Iz计算出两个临界压力.然后取小的一个作为压杆的临界压力.（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩I若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则I应取最小的形心主惯性矩.例题3已知一内燃机、空气压缩机的连杆为细长压杆.截面形状为工字钢形，惯性矩Iz=6.5×104mm4,Iy=3.8×104mm4，弹性模量E=2.1×105MPa.试计算临界力Fcr.x8801000yzyxz880FFlxz880（1）杆件在两个方向的约束情况不同；x8801000yzy（2）计算出两个临界压力.最后取小的一个作为压杆的临界压力.分析思路：解：kN6.134)11(105.6101.214.3)(π2811222crlEIFx8801000yzykN4.406)88.05.0(108.3101.214.3)(π2811222crlEIF所以连杆的临界压力为134.6kN.xOy面：约束情况为两端铰支=1，I=Iz，l=1mxOz面：约束情况为两端固定=0.5，I=Iy，l=0.88mFFlxz880压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定平衡时，横截面上的压应力可按=F/A计算.§9-4欧拉公式的应用范围经验公式一、临界应力1.欧拉公式临界应力按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面上的应力为AlEIAFσ22crcr)(πi为压杆横截面对中性轴的惯性半径.()()(/)2222crcr222πππFEIEEσiAlAlli称为压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的长度l和杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响.越大，相应的cr越小，压杆越容易失稳.令ilAIi22crπEσcrcrσAF令则则若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别计算在各平面内失稳时的柔度，并按较大者计算压杆的临界应力cr。二、欧拉公式的应用范围只有在cr≤p的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的临界压力Fcr（临界应力cr）.或2crp2πEσσ1pπEσ2pπEσ令即≥1（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用范围.当＜1但大于某一数值2的压杆不能应用欧拉公式，此时需用经验公式.1的大小取决于压杆材料的力学性能.例如，对于Q235钢，可取E=206GPa，p=200MPa，得916p20610ππ10020010Eσ三.常用的经验公式式中：a和b是与材料有关的常数，可查表得出.2是对应直线公式的最低线.直线公式scrbaσ的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式.12或basbas2令800.19028.7松木701.454332.2铸铁952.568461优质碳钢s=306MPa1021.12304A3钢s=235MPa1b(MPa)a(MPa)材料l直线经验公式bacr式中,a,b是与材料有关的常数(表9.2,p302)。112四、压杆的分类及临界应力总图1.压杆的分类baσcrscrσσ（1）大柔度杆（2）中柔度杆（3）小柔度杆21pπEσ22crπEσbas22.临界应力总图scrσσbaσcr22crπEσcrσ12PσsσlilAFcrcr例题4图示各杆均为圆形截面细长压杆.已知各杆的材料及直径相等.问哪个杆先失稳?dF1.3aBF1.6aCaFA解：A杆先失稳.杆Aal22杆Bal3.11杆Caal12.16.17.07.0dF1.3aBF1.6aCaFA22cr)(πlEIF例题5压杆截面如图所示.两端为柱形铰链约束，若绕y轴失稳可视为两端固定，若绕z轴失稳可视为两端铰支.已知，杆长l=1m，材料的弹性模量E=200GPa，p=200MPa.求压杆的临界应力.30mmyz解：1pπ99Eσm0058.002.003.0)02.003.0(1213AIiyym0087.0AIizz15.0zy30mmyz11586zzzyyyilil因为zy，所以压杆绕z轴先失稳，且z=1151，用欧拉公式计算临界力.kN5.89π22crcrzEAAσF例题6外径D=50mm，内径d=40mm的钢管，两端铰支，材料为Q235钢，承受轴向压力F.试求（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度；（2）当压杆长度为上述最小长度的3/4时，压杆的临界应力.已知：E=200GPa，p=200MPa，s=240MPa，用直线公式时，a=304MPa，b=1.12MPa.解：（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度压杆=11pπ100Eσ222244414)(π64)(πdDdDdDAIi1004122dDlilm6.11404.005.010022minl（2）当l=3/4lmin时，Fcr=?用直线公式计算m2.143minll122754dDlil5712.1240304s2bσakN5.155)(4π)(22crcrdDbaσAF1.稳定性条件2.压杆稳定问题的解题步骤§9-5压杆的稳定校核][stcrnFF][stcrnFFn1稳定校核问题1)计算1，2，；2)确定属于哪一种杆(大柔度，中柔度，小柔度)；3)根据杆的类型求出cr和Fcr;4)计算杆所受到的实际压力F；5)校核n=Fcr/Fnst是否成立。2确定许可载荷前3步同稳定校核问题；4)FFcr/nst。3截面设计问题1)计算实际压力F；2)求出Fcr;；3)先假设为大柔度杆，由欧拉公式求出I,进一步求出直径d(若为圆截面杆);4)计算1和；5)检验1是否成立。若成立，则结束;6)若1不成立，则设为中柔度杆，按经验公式求出直径d(若为圆截面杆);bacrilbaAFcrd7）计算2；8)检验2是否成立。若成立，则结束。例题7活塞杆由45号钢制成，s=350MPa，p=280MPaE=210GPa.长度l=703mm，直径d=45mm.最大压力Fmax=41.6kN.规定稳定安全系数为nst=8-10.试校核其稳定性.活塞杆两端简化成铰支解：=1截面为圆形1pπ86E4dAIi15.62il不能用欧拉公式计算临界压力.如用直线公式，需查表得：a=461MPab=2.568MPa2.43s2bσa可由直线公式计算临界应力.21MPa301crbaσ临界压力是MPa478crcrAσF活塞的工作安全因数][.stcrnFFn511所以满足稳定性要求.例题8油缸活塞直经D=65mm，油压p=1.2MPa.活塞杆长度l=1250mm，材料为35钢，s=220MPa，E=210GPa，[nst]=6.试确定活塞杆的直经.pD活塞杆活塞d解：活塞杆承受的轴向压力应为N39804π2pDF活塞杆承受的临界压力应为N23900stcrFnF把活塞的两端简化为铰支座.AIiilμλpD活塞杆活塞d用试算法求直径（1）先