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第七章1.试由傅立叶定律出发,导出单层平壁中进行一维稳态导热时的温度分布方程。已知x=0,t=t1;x=b,t=t2。解:傅立叶定律为/dtqAkdx稳态导热时Aq=常数,故1/dtqAdxk即1qtxCkA(1)边界条件为0x,1ttxl,2tt分别代入式(1)得:1Ct,12ttqkAl∴121tttxtl211ttxtl2.试由傅立叶定律出发,导出单层筒壁中沿r方向进行一维稳态导热时的温度分布方程。已知r=r1,t=t1;r=r2,t=t2;圆筒长度为L。解:傅立叶定律为/dtqAkdr稳态导热时导热速率为常量,即constdtqkAdr或2dtkrLqdr2qdrdtkLr积分之,得ln2qtrCkL(1)边界条件为1rr,1tt2rr,2tt将边界条件代入式(1),并联立求解,得:21122lnttqrkLr,211112lnlnttCtrrr∴2121lnlntttrrr+211112[ln]lntttrrr211211lnlnttrtrrr3.在一无内热源的固体热圆筒壁中进行径向稳态导热。当m11r时,2001t℃,m22r时,1002t℃,其导热系数为温度的线性函数,即0(1)kkt式中0k为基准温度下的导热系数,其值为138.00kK)W/(m,为温度系数,其值为41095.1K1,试推导出导热速率的表达式并求单位长度的导热速率。解:导热速率的表达式为rtkAq(1)对于本问题,)1(0tkk,rLA2,其中L为圆筒壁的长度。稳态热传导情况下,constq,将上述情况代入式(1),并分离变量,可得rdrLkqdtt02)1((2)边界条件为①11r,2001t②22r,1002t积分得201ln22qttrCLk将边界条件①代入式(2),可得211101ln22qCttrLk495)2.273200()1095.1(21)2.273200(24K于是导热速率方程为rttLkqln1)49521(220(3)将边界条件②代入式(3),可得单位长度的导热速率为22220ln1)49521(2/rttkLq4211{23.140.138[(100273.2)1.9510(100273.2)495]}2ln23.135m/W4.有一具有均匀内热源的平板,其体积发热速率为qs)J/(m102.136,平板厚度(x方向)为0.4m。已知平板内只进行x方向上的一维稳态导热,两端面温度维持70℃,平均温度下的导热系数k=377K)W/(m,试求(1)此情况下的温度分布方程;(2)距离平板中心面m1.0处的温度值。解:(1)此情况下的温度分布方程选用直角坐标系的热传导方程为式(7-1),即kqztytxtt2222221①稳态导热,0t②一维导热,0yt,0zt,022yt,022zt于是式(7-1)变为022kqdxtd(1)取中心面为0x,则边界条件为①0.2x,701t②2.0x,701t。式(1)积分两次,可得21212qtxCxCk(2)将边界条件①、②及已知q、k数据分别代入式(2),可得10C,2133.66C于是此情况下的温度分布方程为66.13351.15912xt(2)距离平板中心面m1.0处的温度值20.11591.510.1133.66xt74.117℃5.有一自然冷却的金属圆筒形导体,其外径为100mm、壁厚为20mm。导体内有均匀内热源产生,其值为s)J/(m100137.q。已知导体内只进行一维径向导热,达稳态后,测得外表面温度恒定为100℃,平均导热系数为50K)W/(m。(1)试选用适当的一般化热传导方程,简化后导出此情况下的温度分布方程;(2)求圆筒内表面处的温度值。解:(1)选用柱坐标系的热传导方程(7-2),即kqzttrrtrrrt222221)(11①稳态导热,0t②一维径向导热,0t,0tz,22220ttz则方程变为0)(1kqdrdtrdrdr积分之,可得2124CrlnCrkqt(1)边界条件为①05.0r,100t②05.0r,drdtLrkLrrq221222)(将边界条件①、②及题设有关数据分别代入式(1)可得190C,2494.6C∴724211090ln494.651090ln494.6450trrrr(2)求圆筒内表面处的温度值420.035100.0390ln0.03494.6134rt℃6.有一具有均匀发热速率q的球形固体,其半径为R。球体沿径向向外对称导热。球表面的散热速率等于球内部的发热速率,球表面上维持恒定温度St不变。试从一般化球坐标系热传导方程出发,导出球心处的温度表达式。解:球坐标系的热传导方程为式(7-3),即22222221111()(sin)sinsinttttqrrrrrrk①球表面的散热速率等于球内部的发热速率,球表面上维持恒定温度st不变,故为稳态导热,0t②一维径向对称导热,0t,0t,022t,022t于是式(7-3)变为0)(122kqdrdtrdrdr(1)边界条件为①Rr,Stt②Rr,drdtkRqR23434式(1)积分两次,得2126CqtrCkr(2)将边界条件①、②分别代入式(2)可得10C,226sqCtRk于是球体内的温度分布方程为2266sqqtrtRkk(3)令式(3)中的0r,即得球心处的温度表达式,即206srqttRk7.有一半径为R的热圆球物体悬浮在大量不动的流体中,设此问题中自然对流的影响可略,有关的物性为常数。(1)试从球坐标系的能量方程出发,简化为流体在此种情况下能量方程的特殊形式,并写出简化过程的依据;(2)假定圆球表面的温度为RT,流体主体的温度为T,r为自球心算起的距离,试写出上述能量方程的边界条件;(3)由上述边界条件,求解该方程,写出温度分布表达式;(4)求/NuhRk的值。解:(1)因为忽略自然对流,故uuur,,均为零,同时传热仅沿r方向且为轴对称,故0t、0t、022t、022t,又传热为稳态,故0t,于是球坐标系的能量方程(6-32)简化为0)(122rtrrr或0)2(drdtrdrd(1)(2)边界条件为Rr,0ttr,tt(3)式(1)积分两次,可得12CtCr(2)代入边界条件,可得温度分布表达式为rRtttt0(3)(4)根据傅立叶定律,可知RttkdrdtkAqRr0由对流传热系数定义式,对于球体传热0/()qAhtt,得Rkh于是1khRNu8.附图所示为一炉壁传热的示意图,炉壁的内壁面温度恒定为400K,炉壁外空气的温度bt为300K,外壁面与空气之间的对流传热系数h45)Km/(W2,导热系数k)KW/(m45,若取20.yxm,试建立炉壁温度场的结点温度方程组并求各点的温度值。解:针对各结点列出结点温度分布方程,即123400tttK4点:5174240tttt5点:2468540ttttt6点:5396240tttt7点:4872(1)2bhxhxttttkk8点:597108622(3)2hxhxttttttkk9点:86119240tttt10点:811102(1)2bhxhxttttkk习题8附图12345678911绝热绝热⊿X空气tb400K1011点:910112(1)2bhxhxttttkk其中:450.22230012045bhxtk450.20.245bhxtk2(1)2.4hxk,2(3)6.4hxk∴123457546865974885971098611108111191040042400440042400241206.422422412024120ttttttttttttttttttttttttttttttt求解得:123400tttK4379.4tK,5379.4tK,6379.6tK7357.7tK,8359.1tK,9360tK10342.3tK,11342.6tK9.有一长度为0.2m、直径为0.05m的不锈钢锭,其导温系数/hm015602.,导热系数k=20)KW/(m,初始温度为363K。现将钢锭放入温度为1473K的炉中加热。钢锭表面与周围环境的联合传热系数(包括对流和辐射)为100)Km/(W2,试求使钢锭升温至1073K所需的时间。解:由于h值较小,k值较大,估计可以采用集总热容法,为此首先计算Bi数。(/)ihVABk214VDL2124ADLD2214/0.011114224DLDLVALDDLD1000.01110.0560.120iB∴可应用集总热容法。220.0156126.6(/)0.0111oFVA由0exp()bibttBFott得01110731473lnln0.0563631473bibttFoBtt18.2318.230.144126.6126.6Foh10.有一半径为25mm的钢球,其导热系数为433)KW/(m,密度为7849kg/m3,比热容为0.4609kJ/kg,钢球的初始温度均匀,为700K。现将此钢球置于温度为400K的环境中,钢球表面与环境之间的对流传热系数为11.36)Km/(W2。试求1小时后钢球所达到的温度。解:由于h值较小,k值较大,估计可以采用集总热容法,为此首先计算Bi数。3233000411//425108.310333VArr34(/)11.368.3102.2100.1433ihVABk故可应用集总热容法求解。22(/)(/)PkFoVAcVA33243336006.255107849460.9(8.310)432.2106.25510400700400te253.00.253(700400)400t475.8K11.一半无限大固体()~0x,,其初始温度为0T。在时刻0,通过0x的表面有一热通量0q,并保持此通量不变。设有关的物性为常数。(1)试从直角坐标系的能量方程(6-26a)出发,简化为此种情况下的特殊形式,并写出简化过程的依据;(2)将上述方程两侧对x求导,从而得到以热通量q表示的方程,并写出相应的定解条件;(3)求解该方程,获得温度分布的表达式。解:对于本问题,有①固体热传导,0xyzuuu②一维热传导,0ttyz,22220ttyz③无内热源,q=0故能量方程化为22ttx上式两侧对x微分,并同时乘以k,可得22()()ttkkxxx或22qqx定解条件为0,0q00,xqq,0xq令4x,0qq,则上式可以化为2220dddd定解条件为,0
本文标题:第7章热传导
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