单调与凹凸

一、函数的单调性二、曲线的凹凸与拐点函数的单调性与曲线的凹凸性第四、六节一、函数的单调性函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究函数的性态时，首先关注的问题。第一章中已经给出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判定函数的单调性却是很不方便的。xyo)(xfyxyo)(xfyabAB0)(xf0)(xfabBA若定理1.设函数则在I内单调递增,)0)((xf(递减).证:无妨设任取由拉格朗日中值定理得0故这说明在I内单调递增.在开区间I内可导,证毕例1.1的单调性讨论函数xeyx解.1xey).,(:D又,)0,(内在,0y函数单调减少；,),0(内在,0y.函数单调增加注意:1.函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．2.单调区间求法问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点(驻点)和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:.,)()(0)(数的符号然后判断区间内导的定义区间来划分函数不存在的点的根及用方程xfxfxf例2.确定函数的单调区间.解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)(xf得2,1xxx)(xf)(xf)1,(2001)2,1(),2(21故的单调增区间为,)1,();,2(的单调减区间为).2,1(12xOy12yxO说明:1)单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,32xy2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,yOx3xy0tanxx则xx2sec1)(x2tan),0(,02πx从而即),0(,0tan2πxxx例3.证明时,成立不等式证:令利用单调性证明不等式的步骤：①将要证的不等式作恒等变形（通常是移项,去分母）使一端为0另一端即为所作的辅助函数f(x)；②求)(xf验证f(x)在指定区间上的单调性③与区间端点处的函数值或极限值作比较即得证例4证明.)0(1arctan)1ln(xxxx证:设xxxxarctan)1ln()1()(,则0)0(211)1ln(1)(xxx)0(0x故)(x在[0，+∞)上单调增加,从而0)0()(x即)0(1arctan)1ln(xxxx例5证明方程2xxe在区间(0,1)内有且仅有一个实根。证明：设2xxexf在区间[0,1]上连续，020f021ef由零点定理，,1,0使0f即2xxe的根存在。fx所以在区间[0,1]上单调增加,xf的图形至多与x轴有一个交点，所以方程仅有唯一解。10xfxex，又AB二、曲线的凹凸性与拐点凹弧凸弧,2)()()2(2121xfxfxxf,)()()(222121xfxfxxfOxyx1x2221xx2)()(21xfxff(x1)f(x2))2(21xxfOxyx1x2221xx2)()(21xfxff(x1)f(x2))2(21xxf定义1.设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称图形是凸的.定义2连续曲线弧上的凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点.yox拐点(1)()0,()[,];fxfxab则在上的图形是凹的定理1设f(x)C[a,b],在(a,b)内具有二阶导数，若在(a,b)内(2)()0,()[,].fxfxab则在上的图形是凸的例1判断曲线y=lnx的凸凹性.解,1,12xyxy所以曲线y=lnx在是凸的.,0yxyO例2.判断曲线的凹凸性.解:,43xy故曲线在上是凹的.例3.求曲线的拐点.解:,3231xy3592xyxyy0)0,(),0(不存在0因此点(0,0)为曲线的拐点.凹凸说明:2)若在某点二阶导数为0,1)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,若)(xf在两侧异号,0x则点))(,(00xfx是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,)(3632xx对应271121,1yy例4.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求y,121223xxy2)求拐点可疑点坐标令0y得,,03221xx3)列表判别)0,(),0(32),(32yxy0320012711故该曲线在)0,(),(32及上凹,凸,点(0,1)及),(271132均为拐点.上在),0(32凹凹凸.),(21)1,(2121e曲线21xey的凹区间是凸区间是拐点为),(2121),(21及;;课堂练习：内容小结1.可导函数单调性判别Ixxf,0)(在I上单调递增Ixxf,0)(在I上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别Ixxf,0)(Ixxf,0)(+–拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点作业P1231，3(1)(2)，4(1)，5P1311(1),(2);例4证.)1ln(,0成立试证时当xxx),1ln()(xxxf设.1)(xxxf则,0)(),0(,),0[)(xfxf可导，且上连续在上单调增加；在),0[,0)0(f时，当0x,0)1ln(xx).1ln(xx即例3.证明时,成立不等式证:令,π2sin)(xxxf2sincos)(xxxxxf)tan(cos2xxxx0从而且证因此定理1设函数f(x)C[a,b],在(a,b)内可导,若在(a,b)内f(x)0,则函数y=f(x)在[a,b]上单调增加,对应的曲线在此区间上升.减少,对应的曲线在此区间下降.若在(a,b)内f(x)0,则函数y=f(x)在[a,b]上单调