第八章多元函数微分学(6)

第七节多元函数的极值与最值一、多元函数极值1.一元函数极值定义极值的点称为极值点。为极值，取得函极大值与极小值统称值。小大的一个极是函数则称，若，内有定义，在设)()()()(),(,0),()(0000),(xfxfxfxfxNxbaxIxfba3.多元函数极值定义称为极值点。为极值，取得极值的点函极大值与极小值统称值。小大的一个极是函数，则称，若，设000000000),(),(),(),(),(),(,0),(),(PyxfyxfyxfyxfDPNyxDyxPyxfzff极值的定义ABCDz=f(x,y)f在顶点A、B、C、D处有极大值xz0y7.多元函数的极值（广义的定义）ABCDz=f(x,y)f在点D处有极大值D是尖点，xz0y7.多元函数的极值（广义的定义）.z=f(x,y)xz0yADS定义：若在点(a,b)的某邻域内恒有f(x,y)f(a,b),称f(a,b)为极大值S是//xoy面的平面区域或平面曲线,Cf在S的每一点处有极大值吗？用以下广义的定义逐点判别7.多元函数的极值（广义的定义）.二元函数(0,0))(,0(0,0))(,)(),(2222x,yx,yyxyxxyyxf1)0,0(xyfxyz1)0,0(yxf.该函数在原点处连续，但有o？问题：曲面在点(0,0)附近的形状是怎样的呢对称,曲面关于直线0zxy.8.曲面关于x轴对称，在Dxy:122yx上考虑曲面过x轴，过y轴曲面关于y轴对称对称关于直线0zxy一、多元函数极值2.引例引例1)0,0(),(),(),(,0)(),()0,0()),(()2/(1)0,0(),0(41,22121221222zyxzONyxyxzMaxzyxzzezyxyx即：见图故常数、yxzoδ0),0(xyz0)0,(yxz一、多元函数极值2.引例引例2即在原点无极值。而总附近具有如下性质：在原点马鞍面0)(,0)(),(),0(),0,(,00),0(,0)0,()0,0(221102012222PzzPzzONyPxPyyzxxzOxyzzyOx0)0,(yxzz多元函数极值4极值的必要条件)(),(),(000不妨设为极大值取得极值在证：yxPyxfz),(),()()1(000PNPPfPfz)()(),()(),()(),(),(),(),();,(),(),()2(0000000000000000yxyxfyxyyxfxyxfPNyxyxfzPNyxyxfz有极大值在0)(]),([)(0)(]),([)(000000yyxfPfxyxfPfyyyxx一元函数极值的必要条件0),(0),(),()2(0000)()(0000yxfyxfyxfyxPfPfxy是极值二元函数：0)()()1(0)(00xfxfxf是极值一元：3.多元函数极值驻点定义的一个驻点。是二元函数则称点可偏导，且在设),(0)()(),(),(000000yxfzPPfPfyxPyxfzyx的极值点。点却不是函数但反例：的极值点。是的一个驻点是注：22002200)0,0(|2)(0|2)(,),(),()1(xyzOyOzxOzxyzyxfPyxfPyyxx的一个驻点。是、的一个极值点，且是),()()(),()2(0000yxfPPfPfyxfPyx5.极值的充分条件不能确定的非极值极小值极大值是00000)(02PfAACB则：并设：导数，点附近有连续的二阶偏在设),(),(),(),(),(000000PfCPfBPfAyxPyxfzyyxyxx5.极值的充分条件不能确定的非极值极小值极大值是则：并设：00000)(),(),(),(02000PfAACBPfCPfBPfAyyxyxx例1的极值。求22),(yxyxf0)0,0(04220,02)0,0(020222值为：点为其极小值点，极小又为驻点且解：ACBAyfxfyx6.极值的充要条件举例例2的极值。设xyxyxyxf933),(223366,0,66)2,1(),0,1(),2,3(),0,3(0630963432122yfCfBxfAPPPPyyfxxfyyxyxxyx为驻点且解：令令非极值极小值极大值非极值是驻点极小值点极大值点驻点是)(727272721212121224321iiPfPACBAPPPP6.极值的充要条件举例例3的极值。设222),(yxyxyxfz为驻点且解：令令)0,0(0403Pyxzyxzyx03,0114314,1,322AACBzCzBzAyyxyxx且0)0,0(该函数的极小值为：，点为该函数的极小值点P二、多元函数最值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值。前面已经讲过，如果f(x,y)在有界闭域D上连续，则f(x,y)在D上必定能取得最大值与最小值（最值定理）。这种使函数取得最大值与最小值的点既可能在D的内部，也可能在D的边界上。因此，在上述假设下：求函数最大值(最小值)的一般方法是：就是最小值。大值，最小的较，其中最大的就是最最大值和最小值相互比的边界上的值及在内的所有驻点处的函数在将函数DDyxf),(二、多元函数最值注:但这种做法由于要求出f(x,y)在D的边界上的最大值和最小值，所以往往相当复杂。在通常的实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数f(x,y)的最大值(最小值)一定在D的内部取得，而函数D内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x,y)在D上的最大值(最小值)。多元函数最值举例例4省？尺寸时，才能使用料最长、宽、高各取怎样的当的有盖长方体水箱。问体积为某厂要用铁板做成一个32m)0,0()22(2)(2yxyxxyAmxyyx水箱用料面积。应为为水箱的长和宽，则高、解：设33222,20)2(20)2(2yxyxAxyAyx驻点：且令令取得最小值。时，因此可断定当内只有唯一的驻点函数在AyxD33332,2),2,2()(22222233333立方体的表面积最小即体积一定的长方体中所用的材料最省。时，水箱、高为、宽为当水箱的长为mmm多元函数最值举例例5面积最大？样的折法才能使断面的等腰梯形的水槽。问怎边折起来做成一断面为的长方形铁板，把它两有一宽为cm24)2/0,120(cossinsin2sin24,sin,cos2224,224)(22xxxxAxxxxxcm所以断面面积：高上底长底长，那么梯形断面的下见图，倾角为设折起来的边长为2424-2xx0)sin(coscos2cos240cossin2sin4sin242222令令xxxAxxAx)(8,30)sin(coscos2cos240cos212,00sin22cmxxxxxx驻点：所以上述方程组可化为、由于多元函数最值举例)(8,3cmx最大。时，就能使断面的面积可以断定，当内只有一个驻点，因此数在时的函数值为小。又函的函数值比时内取得。通过计算得知且在的最大值一定存在，并根据题意可知断面面积60,88,602/2/0,120:cmxDcmxxD三、条件极值1.条件极值定义极值；下求得的极值叫做条件在条件0),(),()1(yxyxfz其几何意义为：上。必在因此下的极大值，的最高点即在条件曲线00),(),(0),(0),(),(zyxyxyxyxyxfzxy),(yxfzz0),(yx0z),(00yx三、条件极值1.条件极值定义极值。下求得的极值叫做条件在条件0),,(),,()2(zyxzyxfu叫做约束条件。或中的限制条件方程、称0),,(0),()2()1(zyxyx前面讲的一般的极值叫做无条件极值。条件极值举例例6下的条件极值。在条件求2222xyzxzyzxyuxyz2从约束条件解：yxxyu442代入目标函数得：,42,4222yxuxyuyx又)(200300zyxuuyx代入约束条件令是极小值。知：，即由判别法3333246)2,2,2()(uACBA条件极值举例例7入法。出。这种方法又叫做代而化成无条件极值求变量代入目标函数，从束条件方程解出一个注：条件极值可以由约下的极值。在条件求函数1222yxyxz为极小值。又，得：代入解：由约束条件令)32,31(32132913)31(06)()32(31026)(123)(,1002zxyxxxxxzxzxy问题是：如果从约束条件φ(x,y)=0中解不出x或y，又怎么办？2.Lagrange乘数法的一个条件极值点。下可能是在条件满足：若可设辅助函数：下的条件极值时，在求),(0),(0),(),(0),(0),(),(),(),(),(0),(),(0000yxfzyxPyxyxFyxFyxFyxPyxyxfyxFyxyxfzyx2.Lagrange乘数法该方法还可推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形：.),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(0),,,(,0),,,(),,,(212121能极值点在两个附加条件下的可就是函数，求出的解并使之为零，然后联立，、、、、、均为常数，求其偏导、其中助函数：下的极值，可先构成辅在附加条件求函数tzyxftzyxFFFFFFtzyxtzyxtzyxftzyxFtzyxtzyxtzyxfutzyxLagrange乘数法举例例8.23料最省，求长、宽、高使其用有盖长方体水箱体积mV2),,,,(222xyzzyxyzxzxyS约束条件：高宽长解：目标函数：时用料最少。代入法可知：当：由例解法3261zyx)2(222),,(2xyzyzxzxyzyxF：设辅函解法02022022;022令令令令xyzFyxxyFxzzxFyzzyFzyx时用料最少。由于驻点唯一，知当代入33322222,2zyxzyxxyzzxyLagrange乘数法举例求条件极值的步骤：。函数设),,,()1(zyxFLagrange),,(0)3(000zyxFFFFzyx联立求得可能的极值点，并令极值点。实际问题中有唯一驻点判别法用判别：必是)))4(iiABCiFFFFzyx、、、求)2(Lagrange乘数法举例例9积最大。，求长、宽、高使其体已知长方体的表面积为2a),,,,()高宽长—目标函数解：zyxxyzVi0)(2)(20)(2)(20)(2;0)(2;0)(2))(*)(*)(*)(*)(*)(*321321yxzzxyzxyzyxxyyxFzxxzFzyyzFivzyxzyx式得：，代入