新北师大版直角三角形的边角关系讲义

1第一章直角三角形的边角关系知识点一、锐角三角函数（正弦、余弦、正切）在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sinc），记作sinA，即sinAaAc的对边斜边。把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即bcoscAA的邻边斜边；把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即atanbAAA的对边＝的邻边。特殊角的三角函数值解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形。锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数。直角三角形中，除直角外，共5个元素，3条边和2个角，它们之间存在如下关系：（1）三边之间关系：222cba；（2）锐角之间关系：∠A+∠B=90°；（3）边角之间关系：sinA=ca，cosA=cb，tanA=ba。（其中∠A的对边为a，∠B的对边为b，∠C的对边为c）(4)面积公式：)(2121为斜边上的高hchabSABC2除直角外只要知道其中2个元素（至少有1个是边），就可以利用以上关系求另外3个元素2、解直角三角形的基本类型和方法：已知条件解法一边及一锐角直角边a及锐角AB＝90°-A，b＝a·tanA，c=sinaA斜边c及锐角AB＝90°-A，a＝c·sinA，b＝c·cosA两边两条直角边a和b，B＝90°-A，直角边a和斜边csinA=ac，B＝90°-A，注意：（1）在解直角三角形中，正确选择关系式是关键：①若求边：一般用未知边比已知边，求寻找已知角的某一个三角函数；②若求角：一般用已知边比已知边，去寻找未知角的某一个三角函数；③求某些未知量的途径往往不唯一。选择关系式常遵循以下原则：一是尽量选可以直接应用原始数据的关系式；二是设法选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就避免用除法计算。（2）对于含有非基本量的直角三角形，比如有些条件中已知两边之和，中线、高线、角平分线长，角之间的关系，锐角三角函数值，周长、面积等等。对于这类问题，我们常用的解题方法是：将非基本量转化为基本量，或由基本量间关系通过列方程（组），然后解方程（组），求出一个或两个基本量，最终达到解直角三角形的目的。在非直角三角形的问题中，往往是通过作三角形的高，构成直角三角形来解决，而作高时，常从非特殊角的顶点作高；对于较复杂的图形，往往通过“补形”或“分割”的方法，构造出直角三角形，利用解直角三角形的方法，实现问题的有机转化3、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)3tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)（2）平方关系1cossin22AA（3）倒数关系tanAtan(90°—A)=1坡度的定义及表示我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或坡比）。坡度常用字母i表示。斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：lhatan注意：（1）坡度一般写成1：m的形式（比例的前项为1，后项可以是小数）；（2）若坡角为a，坡度为alhitan，坡度越大，则a角越大，坡面越陡。1、30°，45°，60°角的三角函数值（重点）根据正弦、余弦和正切的定义，可以得到如下几个常用的特殊角的正弦、余弦和正切值。、正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。正切、余切的增减性：当0°90°时，tan随的增大而增大，4锐角三角函数计算的实际应用（难点）仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角。俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角成为俯角。1、方向角的定义方向角：方向角是以观察点为中心（方向角的顶点），以正北或正南为始边，旋转到观察目标所形成的锐角，方向角也称象限角。如图，目标方向线0A、0B、0C的方向角分别为北偏东15°、南偏东20°、北偏西60°。其中南偏东45°习惯上又叫东南方向，同样北偏西45°又叫西北方向。如OE的方向角为南偏东45°，OG的方向角为南偏西45°，那么，G、E可以说在O的哪个方向呢？由方向角的定义可知，G在O的西南方向，E在O的东南方向。3、解直角三角形的实际应用（难点）在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的应用，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决，具体地说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）之间的关系，这样就可运用解直角三角形的方法了。一般有以下几个步骤：1.审题：认真分析题意，根据题目中的已知条件，画出它的平面图，弄清已知和未知；2.明确题目中的一些名词、术语的汉语，如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度及方向角；3.是直角三角形的，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决；4.确定合适的边角关系，细心推理计算。5【巩固训练】1.（2014年广东汕尾）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值是（）A．B．C．D．2．(2014年天津市)cos60°的值等于（）A．B．C．D．3．（2014•浙江湖州）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长是（）A．2B．8C．2D．44.（2014•扬州）已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）A．3B．4C．5D．65、（2014•广西贺州）网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA=．6、（2013•孝感）式子的值是（）A．B．0C．D．27、（2013•鄂州）如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2，则tanB=（）6A．B．C．D．8、(2013年深圳市)如图3，已知321////lll，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个项点分别在这三条平行直线上，则sin的值是（）A.31B.176C.55D.10109、（2013杭州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA=；②cosB=；③tanA=；④tanB=，其中正确的结论是（只需填上正确结论的序号）10、（2013•攀枝花）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA=，BE=4，则tan∠DBE的值是．11.（2012山东省）把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（）A．不变B．缩小为原来的13C．扩大为原来的3倍D．不能确定12、（2013鞍山）△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则BC的长．13（2012•宁波）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB=，则BC的长为（）A．4B．2C．D．714、（2013甘肃兰州）△ABC中，a、b、c分别是∠A．∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（）A．csinA=aB．bcosB=cC．atanA=bD．ctanB=b15．（2012内江）如图4所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为A．12B．55C．1010D．25516．（2012•济宁）在△ABC中，若∠A、∠B满足|cosA﹣|+（sinB﹣）2=0，则∠C=．17.（2012衡阳）观察下列等式①sin30°=cos60°=②sin45°=cos=45°=③sin60°=cos30°=根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）=．18．（2012攀枝花）计算：．19．（2012深圳）计算：45cos8)13()21(|4|0120．（2012•德阳）计算：．21．（2010山东日照）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90o，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=51，则AD的长为CBA图48（A）2（B）3（C）2（D）122．（2010山东东营）如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB＝，那么AB等于（）(A)m·sin米(B)m·tan米(C)m·cos米(D)tanm米23．（2010湖北省咸宁）如图，已知直线1l∥2l∥3l∥4l，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sin．24、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列线段的比中不等于sinA的是A．B．C．D．25、（2012年陕西）．用科学计算器计算：7sin69（精确到0.01）．26、（2013年陕西）.比较8cos31°35.（填“＞”、“=”若“＜”）ABCm(第8题图)ABCDαA（第14题）1l3l2l4l927．（2014•陕西）用科学计算器计算：+3tan56°≈（结果精确到0.01）28．（2013湖北省鄂州市，7，3分）如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2，则tanB=（）A．B．C．D．29、如图，飞机A在目标B的正上方，地面C处测得飞机的仰角为α，飞机测得地面C处的俯角为β，飞行高度为h，AC间的距离为s，从这4个已知量中任取2个为一组共有6组，那么可以求出BC间距离的有（)组A、3B、4C、5D、6(2014江苏苏州)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．若，则tan∠BPC＝________．解直角三角形在生活和生产中有广泛的应用，在测量高度、距离角度确定方案时都常用到解直角三角形，解这类问题的关键是把实际问题转化为数学问题，常通过做辅助线构造直角三角形来解决问题。类型一、坡度坡角问题1、（2014•德州）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，10斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（）A．4米B．6米C．12米D．24米2．（2013·聊城）河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（）A．12B．4米C．5米D．6米3（2012深圳）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为300，同一时刻，一根长为l米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为【】A.(63)米B.12米C.(423)米D．10米4．（2013河南省）我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位，如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为错误!未找到引用源。，背水坡坡角错误!未找到引用源。，新坝体的高为错误!未找到引用源。，背水坡坡角错误!未找到引用源。。求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度错误!未找到引用源。.(结果精确到0.1米，参考数据：错误!未找到引用源。）115．（2014•常德）如图，A，B，C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB，BC表示连接缆车站的钢缆．已知A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1分别为160米，400米，1000米，钢缆AB，BC分别与水平线AA2，BB2所成的夹角为30°，45°，求钢缆AB和BC的总长度．（结果精确到1米）类型二、仰角俯角问题1．（2014•舟山）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为米（用含α的代数式表示）．2、（2014•株洲）孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°（不考虑身高因素），则此塔高约为182米（结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475）．123、（2014·云南昆明）如图，在数学实践课中，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面A处放置高度为1.5