小波分类

小波分析及其matlab工具箱小波分类2020/1/222基本内容1.小波的分类2.常用的基本小波3.正交小波4.双正交小波2020/1/2231.小波的分类第一类:是所谓地“经典小波”，在MATLAB中又称作“原始小波”。第二类：是Daubecheis构造的正交小波第三类：是由Cohen，Daubechies构造的双正交小波2020/1/2242.常用的基本小波Haar小波Haar小波来自于数学家Haar于1910年提出的Haar正交函数集，其定义是：其波形如图所示。的傅里叶变换是：011)(t其它12/12/10tt2/2)(sin4)(jeaj)(t2020/1/2252.常用的基本小波2/121000)(t)1(t)2/(tttt21111Harr小波(a)，(b)，(c))(t)1(t)2/(t2020/1/2262.常用的基本小波Haar小波的优点•Haar小波在时域是紧支撑的，即其非零区间为（0，1）•Haar小波属正交小波。若取，那么•Haar波是对称的。系统的单位冲击响应若具有对称性，则该系统具有线性相位，这对于去除相位失真是非常有利的。Haar小波是目前唯一一个既具有对称性又是有限支撑的正交小波；•Haar小波仅取＋1和－1，计算简单。ZbZj2aj,,0)2(),(ttj2020/1/2272.常用的基本小波Haar小波缺点Haar小波是不连续小波，由于，因此处只有一阶零点，这就使得Haar小波在实际的信号分析与处理中受到了限制。0)(dttt)(02020/1/2282.常用的基本小波Morlet小波Morlet小波定义为其傅里叶变换它是一个具有高斯包络的单频率复正弦函数。考虑到待分析的信号一般是实信号。Morlet小波不是正交的，也不是双正交的，可用于连续小波变换。但该小波是对称的，是应用较为广泛的一种小波。tjteet2/2)(2/)(202)(e2020/1/2292.常用的基本小波MATLAB中将Morlet小波定义改造为：并取该小波不是紧支撑的，理论上讲t可取但是当，或再取更大的值时，和在时域和频域都具有很好的集中，如图所示。5050~)()(ttett02/cos)(22020/1/22102.常用的基本小波-4-2024-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81Morletwavelet:Psi00.510246810121416TheFTofPsiMorlet小波，(a)时域波形，(b)频谱2020/1/22112.常用的基本小波Mexicanhat小波该小波的中文名字为“墨西哥草帽”小波，又称Marr小波。它定义为:式中，其傅里叶变换为该小波是由一高斯函数的二阶导数所得到的,其波形和其频谱如图所示。2/22)1()(tetct4/132c2/222)(ec2020/1/22122.常用的基本小波-4-2024-0.4-0.200.20.40.60.81Mexicanhatwavelet:Psi00.5102468101214161820TheFTofPsi墨西哥草帽小波，(a)时域波形，(b)频谱2020/1/22132.常用的基本小波Mexicanhat小波不是紧支撑的，不是正交的，也不是双正交的，但它是对称的，可用于连续小波变换。由于该小波在处有二阶零点，因此它满足容许条件，且该小波比较接近人眼视觉的空间响应特征02020/1/22142.常用的基本小波Gaussian小波高斯小波是由一基本高斯函数分别求导而得到的，定义为：，式中定标常数是保证。该小波不是正交的，也不是双正交的，也不是紧支撑的。当k取偶数时正对称，当k取奇数时，反对称。下图中给出了k=4时的的时域波形及对应的频谱。2tkk2edtdct/)(821k,,,1t2)()(t)(t)(t2020/1/22152.常用的基本小波-10-50510-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811.2Gaussianwavelet:Psi00.51051015TheFTofPsi高斯小波，取k=4,(a)时域波形，(b)频谱2020/1/22163.正交小波目前提出的正交小波大致可分为四种，即Daubechies小波，对称小波，Coiflets小波和Meyer小波。这些正交小波和前面所讨论的“经典小波”不同，它们一般不能由一个简洁的表达式给出，而是通过一个叫做“尺度函数”的的加权组合来产生的。)(t)(t2020/1/22173.正交小波Daubechies小波Daubechies小波简称db小波。它是由法国女学者IngridDauechies于90年代初提出并构造。Daubechies对小波变换的理论做出了突出的贡献，特别是在尺度a取2的整数次幂时的小波理论及正交小波的构造方面进行了深入的研究，其代表作《TenLecturesonWavelet（小波十讲）》2020/1/22183.正交小波dbN中的表示db小波的阶次，，。当时，db1即是Haar小波。因此，前述的Haar小波应归于“正交小波”类。Daubechies计算出了时的及。db小波是正交小波，也是双正交小波，并是紧支撑的。的支撑范围在，的支撑范围在。小波具有N阶消失矩，在处具有N阶零点。但db小波是非对称的，其相应的滤波器组属共轭正交镜像滤波器组（CQMFB）。10~2N1N10~2N010,,),(ghht1g)(t)12(~0Nt)(tNN~)1()(t)(02020/1/22193.正交小波10－1db2－101db3－10110－1db4db510－110－10510db710－1db810－1db910－1db1001230240510150510024860246051510051510db6dbN小波2020/1/22203.正交小波表7-1Daubechies小波滤波器系数（低通滤波器）2kh2020/1/22213.正交小波对称小波对称小波简记为symN，N=2,3,…,8，它是db小波的改进，也是由Daubechies提出并构造的。它除了有db小波的特点外，主要是是接近对称的，因此，所用的滤波器可接近于线性相位。下图中是N＝4时的对称小波。)(t2020/1/22223.正交小波02468-0.200.20.40.60.811.2Sym4:Phi02468-1.5-1-0.500.511.5Sym4:PsiN＝4时的对称小波，(a)，(b))(t)(t2020/1/22233.正交小波Coiflets小波该小波简记为coifN，N=1,2,…,5。在db小波中，Daubechies小波仅考虑了使小波函数具有消失矩（N阶），而没考虑尺度函数。coifN是紧支撑正交、双正交小波，支撑范围为，也是接近对称的。的消失矩是2N，的消失矩是2N－1。)(t)(t16N)(t)(t2020/1/22243.正交小波0102030-0.200.20.40.60.811.2Coif4:Phi0102030-1-0.500.511.5Coif4:PsiCoiflets小波，(a)，(b))(t)(t2020/1/22253.正交小波Meyer小波Meyer小波简记为meyr，它是由Meyer于1986年提出的。该小波无时域表达式，它是由一对共轭正交镜像滤波器组的频谱来定义的。Meyer小波是正交、双正交的，但不是有限支撑的，但其有效的支撑范围在[－8，8]之间。该小波是对称的，且有着非常好的规则性。2020/1/22263.正交小波-10-50510-0.4-0.200.20.40.60.811.2-10-50510-1-0.500.511.5Meyer小波，(a)，(b))(t)(t2020/1/22273双正交小波由于离散小波变换最后是由两通道滤波器组来实现。因此，正交小波条件下的，和与都不具有线性相位（Haar小波除外）。Daubechies和Cohen提出并构造了双正交小波，其目的是在放宽小波正交性的条件下得到线性相位的小波及相应的滤波器组。)(t)(t010,,ghh1g2020/1/22283双正交小波双正交滤波器组简称biorNr,Nd，其中Nr是低通重建滤波器的阶次，Nd是低通分解滤波器的阶次。在MATLAB中，Nr和Nd的可能组合是：Nr=1,Nd=1,3,5Nr=2,Nd=2,4,6,8Nr=3,Nd=1,3,5,7,9Nr=4,Nd=4Nr=5,Nd=5Nr=6,Nd=82020/1/22293双正交小波这一类小波不是正交的，但它们是双正交的，是紧支撑的，更主要的是它们是对称的，因此具有线性相位。分解小波的消失矩为Nr-1。下图给出的bior3.7的分解小波、尺度函数及重建小波和尺度函数。2020/1/22303双正交小波051015-1012Dec.scallingfunction:Phi051015-4-2024Dec.waveletfunction:Psi05101500.20.40.60.8Rec.scallingfunction:Phi051015-1-0.500.51Rec.waveletfunction:Psi双正交小波bior3.7(a)分解尺度函数，(b)分解小波，(c)重建尺度函数，(d)重建小波)(t)(t)(t)(t